当a大于4的时候怎么弄!

设X1>0。${x}_{n+1}$=$\cfrac{{x}_{n}+a}{1+{x}_{n}}$。 n=1 2 3.。。。。 对每一个实数a,讨论数列${x}_{n}$的收敛性
已邀请:

海马非马

赞同来自: 北燕32

记$a=1+d$, 则
$x_n=1+\cfrac{d}{1+x_{n-1}}$
$\displaystyle =1+\cfrac{d}{1+1+\cfrac{d}{1+x_{n-2}}}$
$\displaystyle =1+\cfrac{d}{2+\cfrac{d}{2+\cfrac{d}{1+x_{n-3}}}}$
$\vdots$
$\displaystyle = 1+\cfrac{d}{2+\cfrac{d}{2+\cfrac{d}{2+\vdots}}}$

先假定当$n \to \infty$时, $x_n$收敛于v, 则

$\displaystyle v=1+\cfrac{d}{1+v}$, 解这个关于v的方程,有
$v=\pm \sqrt{d+1} =\pm \sqrt{a} $

数列如果收敛,必然收敛于实数,所以$a\ge 0$。这时$x_n$的每一项都是正数,上面的负根舍掉。

综上,当$a\ge 0$时, $x_n$收敛于$\sqrt{a}$
当a取其它值时,数列发散。

要回复问题请先登录注册