设a是非零向量,已知向量b在与a平行且正向与a一致的数轴上投影为p

求极限 limx→0(|a+xb|-|a|)/x
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海马非马

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不失一般性,把$\mathbf a$和$\mathbf b$用复平面的点表示,且$\mathbf a$对应于正实数a. 易知$\mathbb b=p\sec\theta e^{i\theta}$,其中$\theta$是$\mathbf b$的复角。则所求极限等价于

$\displaystyle lim_{x \to 0} \cfrac {|a+px\sec\theta e^{i\theta}|-a} x$
$=\displaystyle lim_{x \to 0} \cfrac {\sqrt{(a+px)^2+(px\tan\theta)^2}-a}x$
$=\displaystyle lim_{x \to 0} \cfrac{\sqrt{a^2+2apx+p^2x^2\sec^2\theta}-a}x$
$=\displaystyle lim_{x \to 0} \cfrac{2apx+p^2x^2\sec^2\theta}{x(\sqrt{a^2+2apx+p^2x^2\sec^2\theta}+a)}$
$=p$

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