2019科学突破奖:小拉福格获数学突破奖,许晨阳获数学新视野奖

根据科学突破奖官网消息,2019年度科学突破奖发布。其中数学奖由来自法国的文森特·拉福格获得。而来自中国的许晨阳获得了科学突破新视野数学奖。该奖官方网站描述许晨阳的所在单位有两个,麻省理工学院和北京国际数学研究中心。
 
颁奖盛典将于2018年11月4日举行。
 
 
文森特·拉福格的获奖理由是:对数学多个领域的奠基性贡献,尤其是对函数域情形的朗兰兹纲领的贡献。文森特·拉福格在中学生时代就在法国数学界小有名气。1990、1991年参加国际奥数竞赛,连续两年获得满分成绩。文森特·拉福格的哥哥洛朗·拉福格也是著名数学家,在2002年北京举办的国际数学家大会上,洛朗·拉福格获得菲尔兹奖。
 
 
而科学突破新视野数学奖颁给了多位数学家。我们最关注的获奖者是来自中国的许晨阳教授,许教授的获奖理由是:对极小模型纲领研究的重大进展以及对代数簇模的应用。我们注意到,在本次“数学新视野”奖的三个获奖席位中,许晨阳是唯一一位独占一个获奖席位的得主。1999年至2004年,许晨阳在北京大学数学科学学院学习,获学士和硕士学位。再联想到去年同是北大数学科学学院毕业的恽之玮、张伟也获得过该奖,这段时期北京大学数学专业的“人才井喷”并非虚言。
 
 
科学突破奖为世界上奖金最高的学术奖项,由Facebook创立者扎克伯格夫妇、俄罗斯互联网巨头米尔纳夫妇、中国阿里巴巴集团创始人马云夫妇、谷歌创立者之一布林与23andMe公司创立者沃西基夫妇共同创立。此奖项共设立生命科学、基础物理、数学三大奖项。每个获奖席位300万美元奖金。另外,还为物理和数学的“学术新人”设立了科学突破新视野奖,每个获奖席位60万美金。所谓获奖席位,是指在学术研究中,可能有多个人做出相同成果,如果超过一个人的研究者用因为相同的获奖理由得到奖金,那么这几位研究者平分该席位的奖金。本次颁奖为此奖项的第七次颁发。按官网介绍,会有2200万美元的奖金发出。

驳网易:你凭什么让奥数滚出童年

作者,e^iπ+1=0

 

 

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6月20日网易下属浪潮工作室发表文章题为“请奥数滚出中国小孩的童年”[1](下用“奥数童年”做简写指代此文),而笔者关注的某公众号推送此文,由于题目措辞之激烈,不由得点入阅读。笔者读罢,认为文章中的某些观点并不坚实,故作此文,提出一些不同的见解。
 
 
“奥数童年”首先梳理了国际奥林匹克数学竞赛的起源,而后是中国奥林匹克数学竞赛的发展历史,最后是中国奥林匹克数学竞赛的封禁史。
 
文章的主要观点如下:
 
一、奥数竞赛本质目的是为了选拔真正的数学天才,而中国的奥林匹克数学竞赛则是提高中国学生的整体水平。
 
二、由于没有统一标准的考试决定“小升初”,所以初中学校为选拔好学生,将奥数竞赛成绩作为选拔标准之一,导致奥数竞赛辅导过热。
 
三、奥数训练在中国不受孩子欢迎。
 
四、中央和地方对奥数从开办开始就不信任,以至于后来教育部逐渐封禁奥数加分,奥数保送资格等。(“为什么政府对奥数如此介怀?原因之一大概是,除了作为选拔机制扰乱义务教育的公平性,并给教师增加了外快渠道,奥数本身——真的没啥用。北京理工大学教育科学研究所的杨东平,直接称奥数为“社会公害”,说它“完全违反教育规律”。”)
 
五、奥数只适合极小部分人学习。(“中科院院士、数学家张景中认为只有5%的人适合学习奥数,而北京理工大学的教授杨东平甚至认为5%这个数字都期望过高,应该在3%左右。而即便对于这3-5%的人来说,奥数也并非他们人生路上的指路明灯。”)
 
六、对于参加奥数的学生,在长期回望来看,既对除数学以外的其他领域成就没有帮助,也对学生在社交与心理上没有帮助,甚至有“毒害“。
 
文章提出的观点,是十分具有代表性的观点,且全面,几乎包括了笔者在网络上看到关于奥数竞赛讨论的所有质疑观点,总结而言主要是这样三个问题:一、奥数增加了绝大部分小学生不必要的负担,因为他们不适合学习奥数。二、奥数对于人的长远发展不仅没有正向帮助,甚至有负面影响,而且对于学术界和社会的贡献不大。三、中央和地方不支持奥数教育。笔者将对这些观点,结合文献和事实,提出不同的见解。
 
1.中国奥林匹克数学竞赛的目的是选拔优秀的数学人才,并得到国家支持
 
中国最早诞生的并不是现在饱受诟病的小学奥数竞赛,而是在高中数学竞赛。早在二十世纪五十年代中期,在老一辈数学家苏步青,华罗庚等的指导下,我国就举办了第一次数学竞赛,而由于政治运动影响,这一活动时断时续直到1964年。而这段时期的成就被评价为[2]:“在数学方面才能突出的学生被集中起来并给予特殊的教育;中国的整体数学指导水平得到提升;数以千计的中国学生被鼓励参加学习小组学习课外数学知识;这对美国建立数学奥林匹克竞赛提供了经验。“其评价是正面且高度赞扬的。
 
Fig.1 中国数学奥林匹克竞赛的案例研究
 
而1979年之后,在华罗庚教授的倡导下,我国大陆上的29个省、市、自治区都举办了中学数学竞赛。1980年,在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作,每年下半年举行“全国高中数学联赛”。所以针对文中“于是国务院批复教育部,“五年之内不再举办类似的全国竞赛活动”。 从那以后,国内的奥数比赛和政府脱离了关系,成为了民间赛事,由各省市的数学会承办。“传达的信息,笔者认为是有失偏颇的,全国性质数学竞赛并不是被禁止,而是成为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作。这标志中国数学竞赛成为了一个常规性,规范性的赛事。
这里需要简单介绍一下中国数学会。中国数学会是中国数学工作者的学术性法人社会团体,是中国科学技术协会的组成部分。中国数学会的主要工作有:组织学术交流活动,编辑出版数学刊物,开展国际学术交流,举办数学竞赛,开展普及工作,组织促进数学教育改革的活动,根据国家建设和学科发展的需要举办培训班或讨论班等。[3] 而中国科学技术协会是中国科学技术工作者的群众组织,是中国共产党领导下的人民团体。其领导体制是属中直系统,由中央书记处直接领导。[4] 由此可见,中国数学会并不完全是一个“民间组织“,而”奥数童年“中的措辞是不准确的。
 
2.数学奥林匹克竞赛无论是对学术界还是人的长期发展都有帮助,并不是极少数人的狂欢
 
“奥数童年“中列举论据,包括教育专家与数学家对于奥数的观点,台湾师范大学的团队对奥赛选手的调查,2010年针对苏联奥数学生的研究以及对于”付云皓事件“的评论,认为奥数实则毒害人。由此认为,奥数对于人的长远发展不仅没有正向帮助,甚至有负面影响,而且对于学术界和社会的贡献不大。
针对这些论据,笔者查询了原文章[5],认为可从中得出不同的结论。首先是文中提及台湾大学的团队对奥赛选手的调查,事实上这个调查的主要结论并不只有这一条。在摘要中提到,这些选手在班级中的排名很好,而他们的对于数学和科学的态度积极,有自我学习能力,有创造性解决问题的能力等特征。这些特点却被“奥数童年“忽略了,这是不客观的。
 
Fig.2 台湾团队研究报告的摘要
 
其次,罗马尼亚数学科学学会的2014年的一篇文章[6]指出,有36位获得IMO奖牌获得者,分别获得菲尔茨奖,沃尔夫奖,凯莱奖等数学界重要的奖项,而其中罗马尼亚数学家出现了四次。而文章的结论是:数学竞赛是成为数学家的重要因素,但不是唯一因素,这不是唯一的方法让人喜爱数学。
 
Fig.3 罗马尼亚数学科学学会的文章结论
 
而关于张景中院士提到的,奥数只适合5%的孩子学习,这话却是有背景的。中国新闻网2015年10月16日的新闻,文章标题为:“提倡凭兴趣学奥数“。[7] 而文章中亦提到:” 数学是门很有意思的学科,学数学可以养成科学看问题的思维方法,且目前各个行业都离不开数学,可以说,当下是数学的世纪。“;” “其实,人群中只有5%的人适合学奥数。”张景中以高考题量做比分析称,高考数学二十多道题考两个多小时,奥数只有3道题目可能需要4个小时,“奥数更多是一种思维,学习奥数不能强迫,有兴趣的学生应当给予适当引导。”“观点鲜明,并不是强调奥数不适合绝大多数人学,而是如何学,学什么的问题。笔者在初中的时候参加学校的奥数竞赛班,老师就曾推荐过张景中院士的几何新方法和新体系,属于”走进教育数学“丛书。在初中竞赛中,学习过平面几何知识的同学都知道”三点共线“的梅涅劳斯定理,以及”三线共点“的西瓦定理。这两个定理无论是证明还是应用都是十分重要的,既可以从传统的欧氏几何的角度理解,也可以从射影几何的角度了解,又可以从立体几何的角度获得启示。而此书则从”消点法“开始,利用面积消点的方法由浅入深地解决了一系列射影几何问题,其中梅涅劳斯定理的证明时至今日仍让笔者惊叹,而对数学的喜爱从那时起再未停止,一直到现在。[8]而这一观点则引出机械证明数学定理的想法并逐步展开。此等风景是在课内看不到的,但是其思想并没有艰深到只有5%的学生才能理解。所以张景中院士的话私以为绝不是让人不要学,而是教人想清楚学什么,怎么学,是一个教育学命题。
 
 
Fig.3 几何新方法和新体系
 
 
关于“付云皓事件“的讨论,在题为《奥数天才坠落之后.》的文章与知乎上付云皓回复《. 奥数天才坠落之后——在脚踏实地处 付云皓自白书.》这一来回中,已经引起广泛的讨论,笔者不着过多笔墨讨论。但是”奥数童年“写道:“事实上,付云皓才是那个真正走出了奥数毒害的人,最终过上了正常人的生活。”这一观点,笔者恕不敢苟同。并不是奥数毒害了付云皓,事实上他并未远离数学,而正在为改善中国数学基础教育质量做出贡献。(“现在的我,正稳稳当当地一步一个脚印踩在基础教育的道路上,在广东第二师范学院这所以培养中小学老师为目标的学校。” 出自付云皓在知乎的回应[9])这一点上,他既普通,就如我国千千万万为数学教育事业做出贡献的工作者,也不普通。
 
结语
 
关于奥数教育这个话题是可以一直谈下去的,因为中国奥数教育的确给中国孩子带来很糟糕的体验,导致很多孩子还没学会欣赏数学,就已经磨灭了兴趣。这是我们的数学教育可悲的地方,但是这是因为数学吗?笔者认为不是,而是功利的教育思路,而功利的思路往小了说是由于优质教育资源的稀缺以及基础教育水平较低,往大了说是由于社会资源的不可避免的不公平配置,这并不是因为奥数的初衷所导致的。私认为奥数踢出中国孩子的童年实际上只是一个治标不治本的话,奥数被踢走可能还会有艺术学习(器乐,声乐,舞蹈,书法等),还可能是新的技能比如编程。只要有激烈的竞争存在,用什么来竞争就变得不那么重要了,而是竞争本身的属性会异化一切被用来竞争的对象,很不幸,奥数是其中之一。而对奥数的厌恶甚至成为很多学生讨厌数学的一个开口,这恐怕是最悲哀的地方了,这也是社会和家庭再数学教育上需要做出努力的地方。
最后,一个有趣的事实是,笔者此文中的参考资料或者引述文献基本来源于“奥数童年”,但是笔者却得到了和原文不同的结论,读者可以对比阅读,或者查阅这些文献,欢迎讨论。
 
附:
早在2010年就有工作室给出文章讨论这个问题,推荐:
http://www.360doc.com/content/10/1218/11/5148659_79208210.shtml 来源:本明工作室
 
 
Reference:
[1] 吴静宣 (2018) 请奥数滚出中国小孩的童年 浪潮工作室  https://mp.weixin.qq.com/s/uVLA2xzi5m_MtgCwfeChwA
[2] Swetz, F. (1972). The Chinese Mathematical Olympiads: a case study. The American Mathematical Monthly, 79(8), 899-904.
[3] 中国数学会简介 http://www.cms.org.cn/about.html
[4] 中国科学技术协会简介http://www.cast.org.cn/n200595/n201286/index.html
[5] Wu, W.-T. (1996). Growing up in Taiwan: The impact of environmental influences on the math olympians. International Journal of Educational Research, 25(6), 523–534. doi:10.1016/S0883-0355(97)86729-8
[6] Vasile Berinde, Radu Gologan (2014). Is there an impact of mathematical competitions on the development of mathematical research? The Romanian experience. Revista De Politica Ştiintei Si Scientometrie.
[7] 中国新闻网 (2015) 中科院院士张景中:“提倡凭兴趣学奥数” http://www.chinanews.com/sh/2015/10-16/7573658.shtml
[8] 张景中 (2009) 几何新方法和新体系 科学出版社
[9] 付云皓 (2018) 奥数天才坠落之后——在脚踏实地处 付云皓自白书 知乎
 
 

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关于这两天黎曼猜想消息传言:还没到庆祝的时候

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本来关于这个,在论文没有正式公布前,我们哆嗒数学网的小编本来什么都不想说,但不断有人“提醒”我们应该说一说——微信提醒、QQ提醒、各种私信提醒——于是我们还是说一说吧。

 

首先澄清,之前不在公众号发布这个消息,是因为这本来是别人小圈子的内部讨论班,该讨论班的参与和组织者并没有希望把此事在这个时候就变成公共事件。我们不报到也是因为不想影响当事人师生的正常教学授课秩序,与当事者的名气、国籍无关。这不,原定的的讨论班时间被一波莫名其妙的舆论搞得推迟了不是。

 

最新消息是,网传黎曼猜想的证明在10月13日由李忠教授在中科院数学所南楼某教室的讨论班上公布。这个消息被汤涛院士在他的微博“数学文化”上发布。我们也多方打探,这个讨论班的确存在过。

 

 

关于对定理猜想证明的态度,我们知道的有两种:

 

一是网传的郑忠国老师、彭立中老师两位北大数学教授对证明的肯定,认为李忠教授的确证明了黎曼猜想。

 

另外一种就说得比较婉转:“李教授和阿蒂亚爵士都是80多岁的人了,还在勇攀高峰,令人敬佩。他们的证明大家别讨论了,他们的健康才是我们最关心的。”

 

至于哆嗒数学网的小编们的态度?当然是“谨慎的不乐观”,之前对阿蒂亚是这样,现在对李忠教授也是一样。

 

等到论文出世,同行评议,确定结果的时候大家再“高潮”吧,现在真还不是时候。你看,我上面写了那么多文字,前面都要加个“网传”,你们现在在朋友圈兴奋啥呢?

 

 

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我们人类能在四维空间里活下去吗?

 

原文来自AskAMathematician网站

翻译作者,ALIMJAN,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,小米。

 

 

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提问:人能在四维空间里活下去吗?
 
 
回答:不能。 但要理解为什么,先得知道什么是维度。当有人说“我们生活在一个三维世界”时,他真正应该说的(若要十分精确)是 “我们居住的宇宙有三个空间维度”。 有几种方法可以说明你生活在一个三维世界中。 最简单的就是尽可能多地找出相互垂直的方向; 你能轻松地找出三个方向,但你永远找不到第四个方向。
 
 
 
 
这三个方向是相互垂直的,并且没有其它的方向能同时垂直于这三个方向。
 
 
 
如果你感觉非常聪明,你会发现很多其他能展现我们所处的宇宙的三维特性的例子(而不是两维或四维)。例如,如果你能打出一个简单的结,那么你能展示我们肯定生活在三维或更多维度(二维的情形是无结的),如果你能制作一个克莱恩瓶,那么你会是在展示我们绝对生活在四维或更多维度的世界里。
 
 
 
在两维空间中,如果你要让绳子打结,那么你就必须让绳子穿过自身。在三维空间中也同样无法生成一个克莱因瓶。这两个难题的本质是一样的。
 
 
 
维度是一个方向。 生活在一个多个维度世界是指你有多个方向可以移动。生活在多个维度会产生许多怪异的物理效应,而是第一个你会注意到是立即死亡。(我们假设你不知何故突然出现在一个四维的宇宙)
 
 
一个实际的二维生物在三维世界中会坍塌,并且我们没有办法能区别它的外部和内部。被认为是它的内部的东西,在我们这些三维的家伙看起来更像是它的表面。
 
 
如果一个“二次元娃娃”(一个二维的生物)突然被带入到一个三维空间,它的所有内脏都将会变成“外脏”。同样地,因为没有什么在第四个方向上支撑着你的身体,所以如果你发现自己处在有额外维度的空间,那么你的内部会顺着最小(或零)阻力的路径而解体。这将会超级恶心,但也就仅仅是像一层无限薄的浮油而已。任何真正的四维生物甚至都不会察觉到。
 
 

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用多项式来表示布尔逻辑

原文作者,Jeremy Kun,伊利诺伊大学数学博士,谷歌工程师

翻译作者,donkeycn,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,Math001。

 

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问题:用一些多项式来表示布尔逻辑表达式。即:若每个输入变量x取值为0(对应于假)或1(对应于真)。则一般地,对应的多项式的输出值应根据表达式的真假而分别为1或0。
 
解答:只需一个多项式。
 
 
举例说明:表达式┐[(a∨b)∧(┐c∨d)],即:非((a或b)且(非c或d))。
 
诀窍是:碰到“且”就用乘法,碰到“非”就用1去减。于是,“a且b”就对应于“x1 x2”;“非z” 就对应于“1-z”。事实上,如果你有两个二值变量x、y,那么xy为1,当x、y都是1时;为0,当x、y有一个为0时。类似地,1-x为1,如果x为0;为0,如果x为1。
 
 
再结合德·摩根律就可以得到任意表达式了。a∨b=┐(┐a∧┐b)对应为1-(1-a)(1-b)。对于我们上面的例子:
f(a , b, c, d) = 1-(1-(1-a)(1-b))(1-c(1-d)).
展开,得:
1-a-b+ab+(1-d)(ac+bc-abc)
 
 
如果你代入a=1,b=0,c=1,d=0,你就可以得到原来的表达式的值为“真”(因为“非c或d”为“假”)。同样地,对应的多项式的运算结果为
1-1-0+0+(1-0)(1+0-0)=1.
 
 
你可以用下面的列表作为参考,来验证其余的工作:
 
0, 0, 0, 0 -> 1
0, 0, 0, 1 -> 1
0, 0, 1, 0 -> 1
0, 0, 1, 1 -> 1
0, 1, 0, 0 -> 0
0, 1, 0, 1 -> 0
0, 1, 1, 0 -> 1
0, 1, 1, 1 -> 0
1, 0, 0, 0 -> 0
1, 0, 0, 1 -> 0
1, 0, 1, 0 -> 1
1, 0, 1, 1 -> 0
1, 1, 0, 0 -> 0
1, 1, 0, 1 -> 0
1, 1, 1, 0 -> 1
1, 1, 1, 1 -> 0
 
 
讨论:这一技巧被广泛应用于计算机科学理论中,将布尔逻辑嵌入到多项式中。显然,之所以称之为“布尔代数”,是因为它的确是代数的一个子集。
 
 
 
此外,由于布尔可满足性问题:“用算法来确定布尔表达式是否可满足(选择一组变量的值使表达式的值为真)”是NP难(NP-hard)的,这可以用来表明与多元多项式有关的某些问题也是非常困难的。例如,求多元多项式的根(这里甚至可以假设你对代数几何一无所知)是很困难的,因为:即使你只是简单地考虑来自布尔表达式的那些多项式也将是NP难的。
 
 
 
这里有一个更有趣的例子,涉及到在现代机器学习中出现的优化问题。现在设想一下你要优化一个在一组二次等式约束下的多项式f(x)。这也是NP难的。而下面简单解释一下原因。
 
 
 
设φ是一个布尔表达式,f_φ是对应的多项式。首先,多项式中使用的每个变量xi可以通过约束x_i(x_i - 1)=0被限制为只能取0、1二个值。
 
 
你甚至可以证明:哪怕需优化的目标函数仅仅是二次的,它依然是一个NP难的问题。作为练习,可以将子集和的问题表示为使用类似选择作为约束条件的二次规划问题。据此,你甚至把子集和表示成具有线性约束的二次规划问题。
 
 
 
最后话说回来,这篇文章的重点很简单,多元多项式可以编码任意的布尔逻辑表达式。
 

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200多年前,剑桥大学的数学考试题目

原文来自Reddit论坛的帖子

翻译作者,Humphrey Liu,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,Math001。

 

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其实这套题,前面还好。到后面各种古董装置的出现,就有点不好办了。
 
 
1、已知年利息率为5%,求360.10英镑存3个月所得利息。
 
 
2、 0.5416天 = (    )小时=(   )分钟=(   )秒
 
 
3、 法制圆周角是400°,则法制7.928703°=英制(    )°(    )′(    )″(英国人圆周角360°)
 
 
4、 证明:任意三角形的三个内角和等于两个直角。
 
 
5、 构造一个正方形使得它的面积等于已知多边形的面积。
 
 
6、证明:半圆上的圆周角是直角;优弧上的圆周角大于直角,劣弧上的圆周角小于直角
 
 
7、证明:在一个直角三角形中,作斜边上的高,所得两个新的直角三角形与原直角三角形相似,它们也彼此相似。
 
 
 
8、 利用圆给出正切的定义,画出135°的弧对应的正切线,并用67°30′的正切值表示135°的正切值。
 
 
9、 在一个直线型三角形中,已知两条边和夹角。研究另外两个角的计算公式;借助对数,应用这个公式解决如下问题:已知三角形的两个边长为562和320,夹角128°4′,求另外两个角。
 
 
10、 通过一个例子,解释并证明关于直角球面三角形的纳皮尔法则。
 
 
11、在椭圆中,证明短轴是长轴和通径的比例中项。
 
 
12、 在椭圆中,证明共轭直径的平方和是一个常数;
即.  AC²+ CB²=CP²+CD²
 
 
13、如果一个圆柱体被一个平面相对于轴斜切,求截面的形状?
 
 
14、证明二次方程解的求根公式; 并在已知两根和与积的情况下,求出根的表达式。
 
 
15、 给出等差数列前n项和的表达式,并应用此公式计算首项是1,公差是7的等差数列前n项的和。
 
 
16、 在平衡理论中,证明力的合成基本命题。
 
 
17、 物体作匀加速度下落时,证明物体由静止开始下落的空间位移与时间的平方定律; 根据这个定律,在物体下落n秒过程中,求出最后两秒物体的位移。
 
 
18、 解释什么是钟摆的摆长; 根据摆长的变化,以及振动时间的误差,给出一个公式,可以计算出相应的引力或重力的变化。
 
 
19、 解释普通虹吸管的构造,工作原理和操作方式。
 
 
20、 解释并举例说明液体比重计的构造和使用。
 
 
21、解释哈德利象限仪的构造原理及使用方法;
 
 
22、解释常用天文望远镜的构造;并说明制约其放大倍数增大的原因。
 
 
23、 确定一个地方纬度的最佳方法是什么?
 
 
24、解释船舶在海上确定经度的方法。
 
 
25、如果两颗恒星位于二至圈,在它们北极距离不变的情况下,赤经的差为180°; 如果这种偏差是由地轴自转轴的章动引起的,那么它们在北极距离上最大偏差的比例应该是多少呢? 根据布拉德利的光行差理论,最大偏差的比率是多少?
 
 
26、解释术语:平均近点角和真近点角; 并描述开普勒问题的用途(开普勒问题提出了从平均近点角中寻找真近点角的方法)。
 
 
27、阐述牛顿提出的万有引力定律; 根据万有引力定律,解释牛顿推断的现象:木星的卫星被吸引朝向木星。
 
 
28、分点岁差是什么意思?岁差的值是如何通过观察确定的? 牛顿对其原因的解释是什么?
 
 
29、如果地球沿着椭圆轨道运动,太阳位于一个焦点,证明:万有引力与离太阳的距离平方成反比。
 
 
30、给定以下曲线画图,其中x为横坐标,a为给定的常数,并计算曲线下面积。曲线为:
 
 

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场面热闹,但阿蒂亚黎曼猜想的证明仍然不明朗!

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终于,在中秋节,我们一起看了阿蒂亚关于世纪大猜想黎曼猜想的证明发布演讲。这个演讲更像是一个宣称“我证明了”声明的又一次发布会,细节仍然不明朗。

不得不说,从发布会的角度来说,这是一次非常成功的“产品发布会”。人们在发布会前兴致勃勃的讨论,等待那一天的到来,直到“发布会”开始时,各路“粉丝”挤爆了海德堡获奖者论坛的官网,直播频道瞬间崩溃。论坛的工作人员不得不手举着自己的手机,来一场类似“抖音”式的山寨直播,让人心疼。

 

证明过程的最粗的主干,每个高中生都能理解。用的反证法,假设黎曼猜想不成立,在临界带中找一个不在临界线上的零点b,然后利用他那神奇的Todd函数T(s)构造新的一个函数F(s)。得到F(2s)=2F(s),推出F是常值零函数。从而黎曼ζ函数是零函数,矛盾。

 

这个思路和宣讲开始前网上就披露的PDF论文一模一样,不过有的细节不同。比如论文中引出的矛盾点是F(s)=2F(s),而不是上一段的F(2s)=2F(s),我们暂且理解成笔误。关键是那个Todd函数具体是什么,仍然不明就里——即便网上有篇据说是阿蒂亚写的关于Todd函数的论文,里面的Todd函数的定义依旧不明确——至少从数学意义上来说是不明确的,它依赖于某个物理常数。

 

更有网友指出,阿蒂亚的这篇论证,引用了一个他自己的错误结论。而这个错误,在他一次学术演讲中,台下的听众当场指出了。

看来,这个是否是真的有一个惊天进展,只能继续等待了。

 

阿蒂亚结束演讲的时候,掌声是热烈的。但在数学里,再热烈的掌声都不及专家们苛刻的审稿意见来的权威。数学里,这些专家的从来都是挑剔的,无论你之前有多少成就,论文内容就是承认你工作的唯一指标。数学里,更为残酷的是,哪怕你有500页的论文,只需要一行的错误就可以否定你的全部。

 

未来的时间里,人们也许会催促、等待这个证明的更多细节,甚至,讨论班、答辩会纷至沓来,直到该领域的主要专家承认或者否定这个证明。——这是最好的发展轨迹,也有可能,作者永远不公布细节、不解释,从而石沉大海。

 

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爆!新晋菲尔兹得主舒尔茨:望月新一abc猜想的论证是错误的!

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近日,京都大学数理解析研究所(RIMS)贴出一篇10页的简短文章《为什么abc依旧是猜想》(Why abc is still a conjecture),现在文章能在京都大学数理解析研究所(RIMS)上找到(http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/SS2018-08.pdf)阐述了望月新一教授提供的ABC猜想的论文并不能证明ABC猜想(there is no proof)。文章由两人合写,一位作者是)2018年菲尔兹奖得主彼得·舒尔茨(Peter Scholze),另外一位作者是雅各布·斯蒂克斯(Jakob Stix)也是相关领域的顶级专家。

 

 

作者在文章开篇就明确指出,文章的论证有问题,而且认为通过小修小补并不能挽救整个证明过程。 文章指出的错误是关于关键的不等式(1.5)的证明。证明中关于j²系数的取舍有不可绕过的坎。当然,出于数学家的谨慎(或者是出于礼貌),文章中两次提到是个人观点(in our opinion)。

 

 

abc猜想是一个数论猜想,最先由乔瑟夫·奥斯达利及大卫·马瑟在1985年提出。数论中,很多问题,包括一些菲尔兹奖级别的问题,都仅仅是abc猜想的简单推论。如果abc猜想能被证明,将是数论这门学科的重大进步。


2012年8月,日本京都大学数学家望月新一在其个人主页公布了有关abc猜想的“证明过程”。长达500页的证明,用到很多他自创的概念和理论。文章艰深,让众多专家也无法理解。但望月新一也没像其他学者一样,在各地举办讨论班解释他的论文,而是希望其他人自行阅读,从论文挖出更多有价值的东西——历史上格罗滕迪克的理论也有相似路径。于是,论文的正确性一直没有得到确认,一些人相信望月新一是正确的,但一些专家再没有确认之前,也表示不能认同。望月新一也撰文抱怨,数学界轻视了他的文章。于是,坊间开始流传“顶级论文无人能懂”的传说。

 

 

这回,指出其错误的舒尔茨教授,是数学界最顶级专家之一。作为顶级专家,不仅读了论文,还指出了错误。文章中也提到,望月新一试图解释他们提出的问题不是问题。结果如何,还得再看!

 

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真的吗?阿蒂亚爵士声明证明100万美元的黎曼猜想!

 

 

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菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主阿蒂亚爵士(Sir Atiyah)日前声明证明了久负盛名的黎曼猜想。并将在9月24日在海德堡获奖者论坛上发表这个演讲。从目前论坛官网披露的信息来看,证明方法是一个全新的方法,但并不复杂(simple proof)。这次的证明基于之前冯诺依曼、希策布鲁赫、狄拉克的工作。

 

 

黎曼猜想是数学界最重要的猜想之一(有人说可以把“之一”两字去掉)。克雷数学研究所现在还悬赏100万美元征解。问题本身,只需要有过复变函数学习经历的人都能看懂。而它的一个等价变形,高中生都能看懂。

 

黎曼猜想原始版本

 

考虑下面一个函数项级数定义复变函数,

在实部Re(s)>1时,级数收敛,其余部分(s≠1)可以用解析延拓得到。解析延拓后的函数,叫做黎曼ζ函数。经过,一些简单的计算,对于负偶数,ζ(-2n)=0,那么负偶数就是黎曼ζ函数的平凡零点。而黎曼ζ函数还有别的零点,叫做非平凡零点。目前,发现的黎曼ζ函数的非平凡零点是的实部都是1/2。于是,黎曼猜想是说黎曼ζ函数的所有非平凡零点的实部都是1/2 。

 

高中生能看懂的版本

 

我们先来定义这样两个函数。

对于一个正整数n,我们把它所有的约数加起来,得到的正整数记为σ(n)。比如24的约数为1,2,3,4,6,8,12,24,那么σ(24) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = 60。 

同样是正整数n,我们把不大于它的所有正整数的倒数加起来,记为H(n), 就是说H(n)=1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n . 比如H(3)= 1 + 1/2 + 1/3 = 11/6 。 

通过σ(n)和H(n),黎曼猜想等价于下面这个不等式成立:

是否是“真”证明还得等待

 

不过,声明要得到确认,需要同行专家审稿通过。数学界内,之前也有声明证明某个大猜想,最后发现证明错误的情况。就阿蒂亚爵士本人,之前也有“劣迹”,2016年他声明证明了六维球面S6上无复结构但没有了后文。

至于这次是真是假,作为吃瓜群众只能等待了。我们哆嗒数学网小编发稿时,海德堡获奖者论坛已经崩溃。

 

 

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什么都是数学?搞个蛋啊!

 

原文作者:John D Cook

翻译作者,独行者,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,Math001。

 

 

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你将如何用公式描述一个蛋的形状呢?这里告诉你蛋的一个方程如下:

 


我们会发现,如果k=0,我们便会得到一个椭圆。k越大,越不对称于y轴。


我们在Mathematica上验证一遍:

代码


    ContourPlot[
        x^2/16 + y^2 (1 + 0.1 x)/4 == 1, 
        {x, -4, 4}, {y, -3, 3}
    ]

 


我们让k=0.05,这样看上去更像是一个椭圆。

对参数的研究


如果要对一个鸡蛋进行详尽的描述,你该如何确定a, b, k的值呢?


令y=0,则2a是鸡蛋的长度。令x=0,则2b是鸡蛋在中心的宽度。需要注意的是,这不是鸡蛋的最高位置,因为最高处在中心的左侧。(如果k是正数,则在左边。k可以为负数,这样最高处则会翻转到y轴的右边)。


我们通过确定最高处x的值来表示k。


我们有以下方程

隐函数求导可知

在最高处y的导数为0, 所以等式右边也应该为0。于是我们便知道了k的值。

 

曲率


k值越大,鸡蛋便会在左边变的越平整,右边则会越尖。我们会对鸡蛋两端的变化进行量化分析。


由隐函数F(x,y)=0确定的曲线,曲率可以由以下式子算出

上面的等式在我们关注的(±a, 0)两个点上可以化简掉很多参数。


于是,曲率简化成:

因此,在我们一开始给出的例子当中,当a=4,b=2和k=0.1时,左边的曲率为0.6,右侧的曲率为1.4。第二个例子,k=0.05,则左侧曲率为0.8,右侧曲率为1.2。


同样是这两个例子,那么如何计算鸡蛋的体积呢?

 

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万物皆数:被上帝选中的幸运儿皆是数学世界中的一种计算方式

 

长久以来,“随机”的问题就令人着迷。从史前时代起,原始人就观察到了一系列不能够解释、不符合常理的现象,这些现象没有什么明显的原因,纯粹是来自大自然的“馈赠”。在最初,人们找不到什么更好的解释,于是他们归咎于神灵。日食、彩虹、地震、瘟疫、洪水或者彗星都被视为来自上天的神圣消息,只有那些能够与上天“对话”的“专业人士”才能解读。于是,这个任务往往被交给巫师、神使、祭司或者其他的萨满,这些人会在大众面前做一场全套的仪式(这就是他们谋生的手段),用来质问神灵,因为他们不再想等待让这些随机事件自己出现。换句话说,古代的人们已经开始想方设法地自己创造出“随机”效果。

“孛罗芒西”(La bélomancie),或者称之为“箭卜术”,就是非常古老的例子之一。对于想要问神的问题,将可能的各种答案写在箭身之上,然后把这些箭放在箭筒之中,摇晃箭筒并且随机抽取出一根:这就是神的回答。举例来说,公元前6世纪,古巴比伦国王尼布甲尼撒二世就是用这种方法选择他的敌人,进而发动战争。除了箭之外,人们用来抽签的物品简直多种多样:小石头、黏土片、小木棍或者彩色球。古罗马人给这些物品起了个名字叫“离者”(sors),法语中“抽签”(tirer au sort)一词的字面意思就是“抽出离者”。类似的还有“ 巫术”(sortilège)一词,这个词的原意有两个?质问神灵或者来自神灵的审判。

慢慢地,“抽签随机”的机制流传开来,在很多的应用中都能发现它们的身影。一些政治系统曾经使用过它们,比如在古代的雅典,人们用这种方法选出参加众议院五百人会议的市民,又比如,在几个世纪之后的威尼斯,人们把这种方法用在了总督任命的程序之中。“随机”同样也是游戏创作者们的重要灵感来源。人们利用它发明了猜硬币正反面游戏、带编号的色子(当然还借助了柏拉图立体的外形),甚至卡牌游戏。

正是这种能够“传递神的旨意”的随机游戏,最终吸引了一些数学家的注意力。这些数学家开始有了“玩儿转命运测量器”的奇怪想法,通过逻辑和运算,他们研究了未来将会发生的事情的概率。

所有这一切都始于17 世纪中叶巴黎科学会?博向所有与会者提出了一个他自己构思的问题。他说,试想一下,有两个玩家在玩儿随机游戏并且押了钱,先赢得3局者胜出,当玩儿到2∶1的时候,游戏被中断了,试问这两位玩家该如何分割赌桌上的赌注?


在当日与会的所有科学家中,有两个法国学者对这个问题产生了特别的兴趣,他们是皮埃尔·德·费马和布莱兹·帕斯卡。在几封书信往来之后,这两位学者最终得出的结论是,第一位玩家应该获得四分之三的赌注,第二位玩家应该获得四分之一的赌注。


为了得出这一结论,两位学者演绎了假设游戏没有被中断的、各种可能发生的场景,然后估算了玩家1和玩家2各自的获胜概率。于是,在假想的“下一轮”游戏中,玩家1有50%的概率获胜,而玩家2也有50%的概率获胜。在这种情况下,两位玩家就需要再来一轮,而这一轮当中,两位玩家的获胜概率依然是相等的,也就是说,两位玩家分别获胜的场景都有25%的概率会发生。所有关于这个游戏“未来”的可能走向,可以用下页的图表来表示。


总之,我们可以看到,在未来,玩家1有75%的概率获胜,而玩家2只有25%的概率获胜。于是,帕斯卡和费马一致认为,两者应该按照同样的比例分割赌注:玩家1拿75%,玩家2拿25%。

 


两位法国学者的推论过程可以说非常富有成效, 大部分博弈游戏( 概率游戏) 都能够用这种方法来检验。瑞士数学家雅各布· 伯努利是第一批紧跟帕斯卡和费马脚步的学者之一, 他在17 世纪尾声的时候撰写了《猜度术》(Ars Conjectandi )一书,这本书在1713 年伯努利死后出版。在这本书中,伯努利分析了经典博弈游戏,并且首度提出了概率论中的基本原则之一:大数定律。

 

 

这条定律确认了,在随机试验中,我们重复的次数越多,结果的平均值就越明显,并且趋近于一个极限值。换句话说,从长期来看,即使是最复杂的随机,最终都会产生一个平均行为,因此,所谓的“随机”也就不再存在了。

 

为了理解这个现象,我们倒是不必离题太远,只需要一个简单的“猜硬币正反面”游戏就能感受到大数定律的存在。假设我们投掷一枚硬币,正反面均匀,每一面都有50% 的概率朝上,可以用以下直方图来表示。

 

 

现在,假设你连续投掷硬币两次,并且记录正面和背面朝上的次数。有三种可能:两次都是反面,或者两次都是正面,或者一次正面一次反面。人们很容易认为这三种情况发生的概率是相同的,但事实却并非如此。实际上,出现一正一反的可能性为50%,而出现两次正面或者两次反面的概率都只有25%。

 

 

这种“不平衡”的结果,实际上是由于“两次不同的随机过程可能产生同样的最终结果”所导致的。当我们连续投掷两次硬币的时候,实际上会产生以下四种情况:反―反,反―正,正―反和正―正。反―正和正―反两种情况产生的是同一种结果,即一正一反,这就解释了为什么一正一反出现的概率是其他情况的两倍。类似地,玩家们都会知道,如果我们同时投掷两枚色子,它们的点数和等于7 的概率要远远高于等于12 的概率,因为等于7 的情况有很多种(1 + 6,2 + 5,3 + 4,4 + 3,5 + 2 和6 + 1),而等于12 的情况只有一种(6 + 6)。

我们投掷的次数越多,这个现象就越明显。最初出现机会均等的那些场景逐渐地产生区隔,一些成了极少数,一些成了普遍情况。如果你连续投掷10 次硬币, 会有大约66%的概率得到4 ~ 6 次反面;如果你连续投掷100 次硬币,有96% 的概率会得到40 ~ 60 次反面; 如果你连续投掷1000次硬币, 有99.999 999 98% 的概率会得到400 ~ 600 次反面。

如果我们分别画出投掷10 次、100 次和1000 次的直方图, 就可以看到,逐渐地,绝大多数“未来的可能”围绕着中心轴收紧,以至于那些对应着极端情况的矩形,我们的肉眼已经看不见了。

 

总之,正如大数定律所断言的那样:无限次地重复某个随机试验,最终的平均结果必然不再是随机的,而是无限接近一个极限值。

这一原则是测验调查和其他数据统计的操作基础。在某一人群中,选择1000 人,问他们更喜欢黑巧克力还是牛奶巧克力。如果600 人回答黑巧克力,400 人回答牛奶巧克力,则很有可能在整个群体中?哪怕这个群体总数有几百万人?比例仍然是一样的,60% 的人喜欢黑巧克力,40% 的人喜欢牛奶巧克力。调查某个随机抽取的人的口味可以被认为是一个和扔硬币猜正反面游戏相同的随机实验,只是我们的选项从正面和反面换成了黑巧克力和牛奶巧克力。

当然了,我们可能运气不好,正好抽到了1000 个人全都更喜欢黑巧克力,或者1000 个人全都更喜欢牛奶巧克力。但是这种极端情况发生的概率也是极端小的,因为大数定律向我们保证了,只要随机抽取的样本足够大,所获得的结果就有非常大的可能会接近整个人口的平均值。

进一步考察多种场景和它们在未来可能发生的概率,我们还可以建立一个置信区间,并且评估错误的风险。比如,我们可以说,有95%的可能会出现如下情况,即这个人群中喜欢黑巧克力的人数比例在57%~63%之间。实际上,任何缜密的调查研究都应该总是能获得这些可以显示其精确度和可靠性的数字。

当你喝醉走路时,你知道你找到了圆周率吗?

原文作者:RHETT ALLAIN,东南路易斯安娜大学物理副教授。

翻译作者,radium,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,Math001。

 

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宛如来到一个不曾发现的海域,最妙的事情莫过于你可以通过一种新的方式找到圆周率的值,比如说,醉汉走路式的随机游走。那么问题来了,什么是随机游走?好问题!我现在就来告诉你。

你站在某个位置上开始走动。最简单的情况就是从x=0这个位置上开始。如同抛掷一枚硬币,正面?漂亮,我们向右移动一个单位。反面?也行,我们就向左移动一个单位。只要你开心,重复这个过程,那么恭喜你,你实现了一维上的随机游走。通常的,我倾向于画一个图来解释这个过程,但是今天我将用python中的随机游走代码来替代它。来看这个代码。


n=0

ball=sphere(pos=vector(0,0,0), radius=0.1, color=color.yellow)
attach_trail(ball)

start=sphere(pos=vector(0,0,0), radius=0.2, color=color.red)

while n<100:
  rate(5)
  temp=random()
  
  if temp<0.5:
    ball.pos.x=ball.pos.x+1
  
  else:
    ball.pos.x=ball.pos.x-1
  n=n+1
ball.color=color.cyan
ball.radius=0.2
start.radius=0.2

练习代码将帮助你理解具体的过程,但我也将伪代码展现出来了。

从0到1中提取随机数
如果数字小于0.5,向x轴的正方向移动
如果数字大于0.5,向x轴的负方向移动
重复这个过程,直到你百无聊赖为止

但是随机游走一步就太没意思了,在次数较多的情况下又会发生什么情况呢?现在设置重复100步,当然,我一次性跑完,我将在-100到100之间的任何地方。但是如果我将这100步运行1000次,我就可以计算出平均情况下我会落在哪个地方。这个直方图展示了一维情况下,1000次100步的随机游走:


这样我就找到了一个点来描述平均位置,但为什么要这么麻烦呢?似乎很显然终点位置的平均值就在原点啊。可以理解,如果每一次我都是一相同的概率不是向左走就是向右走,很多次之后,那么我向左走的步数等于向右走的步数,好像也是,我会回到原点。

那么我们画一个从原点到终止点的总距离的图像又会怎样呢?x轴的值是取的是位移的绝对值,和从开始到结束的总距离一样。

 

 

是的,事实上,这看起来很疯狂,平均的距离(不是位置)是7.848而不是0.但这也是合理的,如果你看第一个直方图,x的最终位置出现次数最多的是在x=0这个点上。但是x=-1和x=1的总次数超过了x=0上的值,而且也是取的正值,这两件事便导致了非零的平均位移。

好吧,为了不让你等太久,那我们就一起去寻找π。所以我将给你一些“派”因为我通常在π节吃派(开个玩笑,我经常在π节写π才是正道)。当然,你已经意识到随机游走的平均位移由步数所决定,恩,是这样的,但对吗?但是它将证明平均位移也由π决定。我们给出关系如下(祈求你不要叫我推导它):

 


在这个表达式中,n是步数,从中,我们可以用随机游走去寻找pi的值。“A计划”如下:一次随机游走10步(做1000次,取平均值)。重复这个过程,再一次随机游走20步,30步,以及更多。如果你画一个平均位移平方关于步数的关系图,你可以得到一条斜率为2/π的直线:

 

 

这里的斜率为0.631,因为它等于2/pi,所以我们可以得到pi值为3.1696.不太精确(π=3.1415....),但对我来说已经足够接近了。这意味着,你可以在那个区域内做一条直线去更好的估计pi。你可以通过改变每一次游走的步数去估计。当你在程序中输入更多的步数(例如1000步),嗯,我可能应该输入更多的步数,因为这样更精确。啊哦,好吧你可以去胡搞瞎搞一下。


二维的随机游走

 

也许这就是爱情吧,我被随机游走深深的迷住了。但总在我快要失去控制时,有人把我拉回来了。在这期间我也做了一个二维的随机游走。就像一维的随机游走一样,这时,我的每一步就有4种选择—+x, -x, +y, -y。对的,这仍然是一个离散的随机游走(一个格子状的随机游走),每一步都只有一个单位,因此我也只在坐标轴上的整数值位置。

这就是我可视化的二维随机游走100步的代码,只要你开心,你可以随意修改它。


n=0
ball=sphere(pos=vector(0,0,0), radius=0.1, color=color.yellow)
attach_trail(ball)
start=sphere(pos=vector(0,0,0), radius=0.3, color=color.red)
while n<100:
  rate(25)
  temp=random()

  if temp<0.25:
    ball.pos.x=ball.pos.x+1
  elif (temp>=0.25 and temp<0.5):
    ball.pos.x=ball.pos.x-1
  elif (temp>=0.5 and temp<0.75):
    ball.pos.y=ball.pos.y+1
  else:
    ball.pos.y=ball.pos.y-1

  
  
  n=n+1
ball.color=color.cyan
ball.radius=0.5
start.radius=0.5

为了更“好看”,我改变了两个小球的大小和颜色,代表随机游走开始和结束的位置。看着“醉汉”在哪里乱窜,好吧,好玩吧!来,让我们来看一些有用的干货。我随机游走100步,重复1000次,平均位移会是多少呢?你期待的直方图如下:

 


直方图告诉我们平均位移为8.820个单位。也许这不是太坏的结果,就像之前的一维随机游走一样,你可以找出平均位移和步数之间的关系:

 


见证奇迹的时刻,我再一次绘出了平均位移的平方和步数之间在关系图,在这一个例子中,斜率为π除4.

 


从数据中的到的斜率,我们得到了π的值为3.136,哇哦,不太差。但这仍不是最好的方法,但很有趣哦~

 

让我们再随机游走一次

 

我保证这是最后一次随机游走了,至少在这篇帖子上是这样。这次游走仍然在二维,但有一点不同,哪有“醉汉”只在x轴或y轴方向上移动的啊?我们让每一步都成一个随机的角度进行游走。这就意味着我的走动不一定停在一个整数点上。


n=0
ball=sphere(pos=vector(0,0,0), radius=0.1, color=color.yellow)
attach_trail(ball)
start=sphere(pos=vector(0,0,0), radius=0.3, color=color.red)
while n<100:
  rate(25)
  temp=random()

 theta=temp*2*pi
 dr=vector(cos(theta), sin(theta),0)
 ball.pos=ball.pos+dr  

  n=n+1
ball.color=color.cyan
ball.radius=0.5
start.radius=0.5

这对距离的寻找会出问题吗?我们依旧来看距离平方关于步数的图:

看吧,这就是我们想要的结果。这就是π,就像一位隐藏在现实世界背后的日本忍者,它会突然出现在你没料到的地方。

 

家庭作业

 

你不做点关于π的家庭作业吗?

看看是否会得到一个更好的距离平方关于步数的图。尝试多一点的步数,或许没那么多噪音。
如果你创立一个方向和每一步的大小都是随机的二维的随机游走过程,看看会发生什么?我承认这有点艰苦,因为你不能用均匀随机数(均匀分布的随机函数),除非你来决定每一步的范围。你可以限定每一步的范围从0到1,然后用高斯分布去决定每一步的大小。
尝试用三维的离散随机游走去寻找π。小技巧:你可以寻找三维中距离和步数。

 

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数学大师金字塔中的人物他们都是谁?

 

原文作者:Alucinor 。

翻译作者,风无名,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,Math001。

 

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我想我大概在这个事上花了两个月。如果只干这件事,且不停的话,一个月就可以完成了。现在,它终于完成了。
 
 
 
这幅图片中的数学家是:
 
 
高斯、牛顿、阿基米德、欧拉、柯西、庞加莱、黎曼、康托、凯莱、哈密顿、艾森斯坦因、帕斯卡、阿贝尔、希尔伯特、克莱因、莱布尼兹、笛卡尔、伽罗瓦、莫比乌斯、雅克布·伯努利、约翰·伯努利、丹尼尔·伯努利、狄利克雷、费马、毕达哥拉斯、拉普拉斯、拉格朗日、克罗内克、雅克比、波尔约与罗巴切夫斯基、诺特、热尔曼、欧几里得、勒让德。
 
 
 
这些传记信息,由于大部分都是来自于我的记忆,所以我并不是完全确信;不过,如果认出了错误,请指出来。谢谢。
 
 
还需要指出来,图片并不一定真实地代表了那些数学家在真实生活中的样子,因为我有意识地对他们的头发进行了微调,也因为并不存在关于他们的非常好的图片(或者缺乏权威的肖像)。
 
 
很不幸的是,一张图片能容纳的内容太少了,历史上值得显示的数学家远远多于此;这幅图中的多数数学家,都是我在我的数学史课上所熟悉的。
 
 
 
 
卡尔·弗里德里希·高斯 1777-1855
 
 
被认为是历史上最伟大的三个数学家之一。以仅用尺、规作出正十七边形而著称(这个壮举是从古希腊以来从没有被发现的,古希腊人知道的仅仅是最多十五边形),得到了“边数是费马素数的任一多边形都可以做出”的结论,《算数研究》这部书论著作提出了“模记号法”, 发现了代数学基本定理,计算了谷神星的轨道,还有大量电磁学、测地学的著作,发明了回光仪,以及其它太多的贡献需要提及。由于担心被拒绝,他拒绝发表他关于非欧几何的思想。被认为是彭加莱之前最后一位数学全才。
 
 
 
 
 
艾萨克·牛顿 1642-1727
 
 
 
历史上最伟大的三个数学家中的第二个。因为发现了重力,撰写物理学的各种著作,共同发明微积分(另一个发明人是莱布尼兹)而闻名于世,以及他最优秀的著作《自然哲学的原理》(手上那本书)。他独自工作。他发明他自己的望远镜,并且发现了二项定理。他不喜欢对错误言语太多,所以别人认为他脾气不好。不过,他声称他的工作就像是坐在海边捡贝壳,从来不知道海洋的底部有什么东西。
 
 
 
阿基米德 前287 - 前212
 
 
 
历史上最伟大的三个数学家中的最后一个。因为提出了杠杆的概念,发明了螺杆泵,计算了球与圆柱体的体积之比而为人知晓(手上拿着球和圆柱)。据传说,当他发下了辨别金子是否掺假的方法的时候,在大街上边跑边喊“优瑞卡!”[译者注:Eureka!意思是“我发现了”]。他在战争中被一个士兵杀死了,原因未知。也许是因为,那个士兵踩了他在地面上的工作而惹恼了他。还可能是,为了完成一个数学问题的解而拒绝被那个士兵带走。他喜欢在任何地方做数学。如果有烟灰的话,他会在上面写写画画。他甚至用皮肤上的油来写:在古希腊,欲后涂油是一个习俗。
 
 
 
莱昂纳得·欧拉 1707 - 1783
 
 
一些人称呼他为“分析的化身”。他在数论方面有大量工作,计算了级数1/n^2的和(双手之间的公式),与达朗贝尔提出了“函数”的概念,能够在头脑中进行巨量的计算。喜欢小孩子,并且有很多小孩子。慢慢地眼睛瞎了,在七十岁的时候完全失明。他的失明并没有阻碍他数学的洞察力,相反,在他彻底失明之后,“视觉”不再阻碍他的洞察力了。
 
 
 
朱尔斯·亨利·庞加莱 1854 - 1912
 
 
被认为是最后一个数学全才。因为对三体问题的猜想,相对论相关的一些概念的研究而成名——一些人说他应该获得(狭义)相对论的所有荣誉。以他的名字命名的庞家莱圆盘模型,使用一个圆盘来可视化了双曲几何
 
 
 
奥古斯丁·路易·柯西 1789 - 1857
 
 
高斯同时代的人。因为对微积分的工作(包括极限、连续性的概念),一些代数与复分析的工作而为人熟知。他旁边的公式是复分析中的柯西定理,他下面的是著名的柯西不等式。
 
 
波恩哈德·黎曼 1826 - 1866
 
 
德国数学家,他思想的原创性给高斯留下深刻的印象。因非欧几何、积分论的观念而著名。由于疾病很早就去世了。他旁边的球体是黎曼球体的一个立体投影。
 
 
 
乔治·康托 1845 - 1918
 
 
德国数学家。克罗内克一贯地批评他的方法,然而他仍然因为发展了集合论的概念而著称。他的观念被希尔伯特以及其他伟大的数学家所接受,他熬不过克罗内克的批评,他自己进了精神病院。他旁边的分形是一个康托集。
 
 
 
阿瑟·凯莱 1821 - 1895
 
 
英国数学家。与他的朋友西尔维斯特(Sylvester)建立了不变量理论,并且成功地让女学生进入剑桥。也以n维几何的概念著称。
 
 
 
威廉·罗恩·哈密顿 1905 - 1865
 
 
被认为是最伟大的爱尔兰数学家。14岁的时候,他就掌握了他这一生所使用的所有语言。发现了四维超复数和四元数代数。前者的发现是当他在第三维中不能找到一个方法来表示复数的时候。在生命的晚期,酗酒成为他的个人问题。
 
 
 
费尔迪南 ·戈特霍尔德·马克斯·艾森斯坦因
 
 
杰出的数学家、高斯的学生.他的导师认为他是他的最好的学生之一、最伟大的数学家之一。不幸的是,他很年轻地就去世了。
 
 
 
布莱士·帕斯卡 1623 - 1662
 
 
始创了概率论。他是一个法国数学家,向其他数学家提出了摆线问题,也以笛沙格(Descargues)定理的逆定理著称。他前面的三角形队列就是帕斯卡三角,也是二项展开式的项的系数。
 
 
 
尼尔斯·亨里克·阿贝尔 1802 - 1829
 
 
一个贫穷的瑞典数学家。他教数学并且在代数方面做了一些工作。在他的同代人能认识他的工作的价值之前,他年纪轻轻地就去世了。
 
 
 
大卫·希尔伯特 1862 - 1943
 
 
哥廷根天文台的台长,高斯的后继者之一。对代数做了一些贡献。支持了康托尔的集合论。试图在哥廷根给艾米·诺特谋取一个职位,不过最后失败了。试图去完全地理解一个新概念的时候,他很慢,这一点也很出名。
 
 
 
菲利克斯·克莱因 1849 - 1925
 
 
哥廷根天文台台长,高斯的另一个后继者。对于代数做了贡献,也以克莱因瓶子(图中手上)著称。
 
 
 
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 1646 - 1716
 
 
 与牛顿同为微积分的创立者。不过他与牛顿之间的竞争很激烈。除了数学以外,在哲学、政治学、法律、历史方面他也很擅长。
 
 
 
勒内·笛卡尔 1596 - 1650
 
 
他的名言“我思故我在”(Cogito ergo sum,他的衣领上)。他发明了笛卡尔坐标系,并且因此创立了整个几何学系统。那句话经常被错误地解释为一个人存在是因为他思考,其实它的意思是:正在思考这个行为是唯一存在的真实情况。
 
 
 
 
埃瓦里斯特·伽罗华 1811 - 1832
 
 
一个杰出的数学家,他的天才没有被很好地承认。他的审查者理解他的表述很困难,而他经常声称太简单而不需要解释。他的一生中著作很少,并且准确地预料到了将在决斗中死去。群论、伽罗华理论与代数的相关贡献让他成名。
 
 
 
 
奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯 1790 - 1868
 
 
德国数学家。莫比乌斯带就是用他的名字命名的。莫比乌斯带只有一个面(手上拿着)。也对代数做出了贡献。
 
 
 
伯努利家族(雅克布 1654 - 1705(图片的左边)、约翰 1667 - 1748(图片的右边)、丹尼尔 1700 - 1782 图片的下面)
 
 
伯努利家族是一个杰出的家族,其中一些人是数学家。丹尼尔·伯努利是约翰·伯努利的儿子,对于应用数学做了很多贡献。他的父亲与雅克布·伯努利彼此竞争,并且经常论战。他们的一个争论关涉到:为了使一个小珠子最快速地从一个绳索的一端到另一端,绳索应该是什么形状的(正确答案是摆线)。丹尼尔·伯努利经常被排除在欧拉与达朗贝尔的争论之外。
 
 
彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷 1805 - 1859
 
 
高斯的学生,他在数论方面的工作受到了老师的鼓舞。又一次,在一个教会庆典上,高斯想烧掉他的《算术研究》手稿献祭,眼见就要点着了,狄利克雷及时的救下了这个手稿。(我不确定这个故事的真实性,我在其他地方看到的)
 
 
 
 
皮耶·德·费马 1601 - 1665
 
 
被认为是十七世纪最伟大的数学家。在数论方面有很多工作,提出了引起很多数学家与挑战者注意的费马大定理(他声称已经证明了该定理,不过它的证据从未发现)。也创立了后来被发现不一定是素数的“费马素数“。高斯对费马大定理不感兴趣。
 
 
毕达哥拉斯 前572 - 前492
 
 
他拥有最著名的毕达哥拉斯定理(手上拿着一个标记直角的几何图形,汉语通称“勾股定理”)事实上是巴比伦定理的证明。他对数的抽象是受到赞誉的,还包括偶数、奇数的性质。他认为所有事物都是数。
 
 
 
皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 1749 - 1827
 
 
法国数学家,对数理天文学、物理学做出很多贡献。以微积分中的拉普拉斯方程、拉普拉斯变换为著名。一些人认为他是像牛顿一样伟大的科学家,并且称呼他为法国的牛顿。
 
 
 
约瑟夫·路易斯·拉格朗日 1736 - 1813
 
 
拥有很坏的饮食习惯的数学家。他第一个提出了微积分中的中值定理,在数论方面做了一些工作。然而,他的《分析力学》被认为是他最好的工作。
 
 
 
 
奥波德·克罗内克 1823 - 1891
 
 
代数与数论领域的数学家。在其他人之前掌握了伽罗华的域理论,不过对数学家使用无理数持批判态度,并且说数学应该建立在整数间关系的基础上;他对林德曼说无理数并不存在。他也批判康托尔,并且不认同他的概念。这最终导致康托进了精神病院。
 
 
 
德卡尔·古斯塔夫·雅克布·雅克比 1804 - 1851
 
 
声誉经常被误认为其弟兄的一位数学家。因数论、代数、阿贝尔函数方面的工作而著名。
 
 
波尔约·亚诺什 1802 - 1860 与 尼古拉斯·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基 1793 - 1856
 
他们都是最早向公众提出非欧几何的人(要记得高斯并没有向公众提出)。康德的《纯粹理性批判》广有受众,在那本书中,非欧几何被认为是荒谬的;因而他们的想法备受挑战。高斯称赞两位数学家的工作,仅有罗巴切夫斯基的观点在哥廷根获得了高斯的支持。在给波尔约的信中,高斯声称如果给予他称赞就好像给自己称赞一样。使用非欧几何作为反例,罗巴切夫斯基也挑战了欧几里得的第五公设。
 
 
 
艾米·诺特 1882 - 1935
 
 
埃尔朗根大学数千名学生中唯二女学生的数学家。她受到了希尔伯特与克莱因的影响。虽然希尔伯特试图帮她在哥廷根获得一个职位,不过没有成功。她因在非交换代数方面的原创性工作而著名。
 
 
 
 
索菲·热尔曼 1776 - 1831
 
 
她父母不鼓励她从事科学。但她还是成为了女数学家。受了高斯数论工作的影响。当她在二次互反律方面做了一些发现之时,她伪装成一个男子来给高斯写信谈论这些发现(因为她担心,如果高斯知道了她的性别将不会接受她)。然而, 当她真的揭示了她的身份,高斯对她的工作印象深刻并且更加尊重她,因为由于社会的偏见,对于女人来说在科学上获得成功更加困难。
 
 
 
欧几里得 前325 - 前265
 
 
一个希腊数学家,以《几何原本》中的几何学工作而著称。他的工作主要是平面几何;他的一些公设,包括最后的那个,并不适应于非平面的曲面。不过,他对几何的的很多观点被广泛接受了很多个世纪。
 
 
阿德利昂·玛利·埃·勒让德
 
 
数论领域的数学家。他的二次互反理论从来没有被他自己成功地证明,但是由于被更年轻的高斯证明了,他很嫉妒高斯。
 
 
 

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你感受了什么?你爱着什么?——2018数学家大会精彩回顾

2018年国际数学家大会(ICM)在国际数学联盟主席森重文深思的语调中谢幕,他的发言激起了参与者对会议中最欣赏什么和学习了什么的思考.


本届大会将作为第一届在南半球举办的国际数学家大会载入史册,这是充满了激发灵感的对话、令人着迷和开天辟地的数学思想的两个星期.

 


来自114个国家的3018位数学家出席了这场全球数学大聚会,共计10506名与会者和416000次网上浏览. 大会的九天期间,社交网络汇集了236万人的关注.

 

以下是本次大会的一些高光时刻(温馨提示,视频更精彩):

 

悼念“闪耀之光”米尔扎哈尼 

 


7月31日,安静而有序的人流走向报告厅参加(WM)²,史上第一届世界数学女性会议(World Meeting for Women in Mathematics,ICM2018晚上的卫星会议),见证了人们对第一位也是目前唯一一位女性菲尔兹奖得主(2014首尔ICM获得)的哀悼. 最近亡故的伊朗数学家米尔扎哈尼(Maryam Mirzakhani)为了诸如照明难题的数学方程倾其一生. 她在抽象数学方面杰出的贡献,解决了一个有关光线、台球、风和其他物体的反射与传播相关的悬而未决物理问题. 人们预言她的结论会在科学、体育和其他领域获得许多应用.


“2018菲尔兹奖得主面对面”和“为什么菲奖被誉为‘数学界诺贝尔奖’”

 


贝卡尔(Caucher Birkar), 费加里(Alessio Figalli),舒尔茨(Peter Scholze)和文卡特什(Akshay Venkatesh)因他们在学术领域的不同贡献,把数学界最有声望的奖项带回了家. 我们与历史学家巴拉尼(Michael J. Barany)对话,关于这惹眼的奖项,他告诉了我们一些它的历史,并消除了我们对它的一些讹传.

 

达斯卡拉基斯讲述深度学习与机器学习

 

纵贯本次数学家大会,脸书直播会采访一些具有独特个性的数学家。 “计算的诗人”、奈望林纳奖得主达斯卡拉基斯(Constantinos Daskalakis)讲述深度学习和机器学习. 


贝卡尔: ”没有梦想的数学人不是数学家.“

 

 

贝卡尔以他独具创造性的数学方法和代数几何为人所知. 陈荣凯教授称他与他同事最近的工作是“双有理几何的巨大突破”. 陈荣凯叙说着贝卡尔蹒跚学步时在被战争撕裂的库尔德的生活经历,以及之后在英国寻找难民庇护的事. 陈荣凯说:“他的经历,尤其是对于那些在艰苦之地、处于困境的年轻人来说,是启发性的.”


254度灰 —— 多贝茜的美丽的逻辑财富

 

 

对于自己的工作在纯数学之外被应用,多贝茜(Ingrid Daubechies)显得很高兴. 她的突破性工作被应用于JPEG2000标准(一种电子图片的储存格式)的开发. 她独特的数学公式使得数据可以更有效地压缩和存储. 得益于她的研究,人们可以轻松地储存和发送自拍和旅拍照片了.

 

维拉尼举办“地球的年龄”公开讲座

 

 

在标志性的蓝色西服和绿色大领花的装束下,2010年菲尔兹奖得主维拉尼(Cédric Villani)举办了一场公开讲座,阐释了科学家们如何确定地球的真实年龄.

高斯奖得主多诺霍:乐见我们的数学改变着世界!

 

原文来自2018年国际数学家大会官网

翻译作者,whymath,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,Math001。

 

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斯坦福大学的大卫·多诺霍(David Donoho)教授被授予2018年度高斯奖,以表彰其在数学领域之外获得了重要应用的杰出数学贡献。该消息由国际数学联盟(IMU)主席森重文在2018年8月1日国际数学家大会(ICM) 开幕式的上午宣布。

 

 

 当日上午,里约热内卢里约会议中心内的国际数学家大会现场,官方称赞大卫·多诺霍“对数学做出的奠基性贡献”。

 

 颁奖结果宣布后,多诺霍教授谈起了他的早年研究理论被应用到生活中时所他所体验到的乐趣。“几十年前我做了些事,当我看见它们的的确确发生在我们身边时,我感到无比的自豪。我们在改变世界这件事上拥有一种力量,这种力量让我对我所选择的事业十分满足”。

 

 他说,所谓的数学事业并不仅限于纯数学或发表论文。“数学和世界的其它部分有极多的联系,随着时间过去,我们看到越来越多的这种联系。现代世界就是建立在数学之上的”。他随即举了智能手机的例子,其交织了大量的诸如素数分解的数学基础知识。

 

 多诺霍教授于1957年出生在美国加利福尼亚州,他将自己的职业生涯奉献给了统计学,信息理论和应用数学的研究,并为理论和计算统计学以及信号处理和谐波分析做出了奠基性贡献。他的一些算法为理解最大熵原理,鲁棒过程的结构和稀疏数据描述做出了重要贡献。

 

大卫·多诺霍现任教于斯坦福大学,此前则执教于伯克利大学。他拥有普林斯顿大学的优等学位和哈佛大学的统计学博士学位。他曾在多个行业工作,包括石油勘探,信息技术和计量金融。 他曾获得麦克阿瑟奖学金(1991年),考普斯总统奖(1994年),维纳奖(2010年)和邵逸夫数学奖(2013年)。

 

高斯奖(Gauss Prize),是由国际数学联盟和德国数学协会联合颁发的纪念德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯(1777-1855)的奖项,从2006年开始,在每一届国际数学家大会上颁布奖项。高斯教授在数论,统计学,数学分析,微分几何,地球物理学,天文学和光学学领域都做出了重大贡献。

 

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巴西:我们拥有世界上最大规模的奥数竞赛!

 

原文来自2018年国际数学家大会官网

翻译作者,radium,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,Math001。

 

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在里约热内卢举办的2018年度国际数学家大会(ICM)的这个特殊仪式上,数百名朝气蓬勃的巴西中小学生收到了巴西奥数比赛的金牌---而18岁的卢卡·艾斯柯贝利就是其中的一员。卢卡来自南部里奥格兰德州立大学,他因杰出的数学能力,在富有革新精神的巴西公校奥林匹克数学竞赛(OBMEP,Brazilian Maths Olympiad for Public Schools——编者注,虽然名称是公校,其实私校现在亦可参赛了)中获得了六次金牌。而 OBMEP是世界上规模最大的中小学数学竞赛,会有超过8%巴西人口的学生参加此项竞赛考试,以测试数学水平。

 

 

去年,超过1800万青少年参加了初赛(超过智利人口!),这项竞赛由巴西基础数学和应用数学研究所(IMPA)和巴西数学会主办,覆盖了巴西全国99.6%的城市。

 

OBMEP协调员兼IMPA副主任克劳迪奥·拉得利姆解释说,每年都有6,500名奖牌获得者受邀请学习当地大学的课程,并从CNPq(Brazilian National Council for Scientific and Technological Development巴西国家科学技术发展委员会)获得每月100雷亚尔(约185人民币)的科学启动奖学金(PIC)。 “由大学的教授授课,教授他们在原本所在学校不能学到的学科以及讲解原本所在学校不能遇到的题目。 与此同时,我们试图激励他们继续在大学深造,“他说。

 

卢卡学习PIC的课程已经有好几年了,他说这些学习有助于他在目前就读的私立学校获得奖学金,并且希望在ITA航空学院学习计算机工程。 他感慨道,“因为学校里经常会有很多学生对数学不感兴趣,老师们不得不花很多时间督促他们。”PIC帮助他与一群志同道合的学生在一个课堂上,因此课程“感觉更好”(flow better——说唱音乐术语,喜欢rap的自然懂在说什么),他说。

 

PIC教学方法与传统的中小学课程不同,来自圣埃斯皮里图州的法比奥拉·洛特里奥(18岁)解释说,今年她和她的三胞胎姐妹一起获得了她的第三枚金牌。这三人现在在圣埃斯皮里图州联邦大学一起学习数学。 在她早期的PIC时代,法比奥拉发现很难适应不同的数学学习方式,“但是一旦习惯了它,我开始越来越喜欢数学。 之前在学校,总是专注于公式,而忽略了概念的理解。

巴西公校奥林匹克数学竞赛(OBMEP)于2005年开始举办,旨在发掘具有在数学上有一定能力的学生,目的是帮助这些青少年(从小学六年级到高中一年级) 激发他们在数学方面的潜力,重点是逻辑运用能力和创造能力,而不是传统的公式记忆。

自2005年开始举办以来,OBMEP已经对巴西所有公立中小学校的学生进行了测试,去年对私立中小学校也进行了测试。 今年13%的金牌奖给了私立教育机构的青少年。 (编者注:巴西人阿维拉(Avila)在2014年获得了数学最高荣誉菲尔兹奖)

 

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2018年计算机科学最高荣誉奈望林纳奖得主:灵感来自传统文化

 

原文来自2018年国际数学家大会官网

翻译作者,萧瑟向来,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,Math001。

 

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康斯坦蒂诺斯·达斯卡拉基斯,现年37岁,是麻省理工学院的教授,也是2018年度奈望林纳奖的获得者。他在2018年于里约热内卢举办的国际数学家大会开幕式上被授予该奖项。

 

 

 达斯卡拉基斯当前的工作专注于博弈论和机制设计。他研究出了用以理解人类博弈中策略性行为的算法和数学工具。

 

 数学家康斯坦丁诺斯·达斯卡拉基斯的工作是他对希腊传统的终身致敬。

 

 “希腊文学学(编者注:philology,文学学,不是文学)核心是人,” 达斯卡拉基斯说: “我的研究使用数学计算来研究人。 所以它的灵感来自于希腊观照人的传统。”

 

 奈望林纳奖于1981年创办,用芬兰数学家罗尔夫·奈望林纳(1895-1980)的名字命名,他著有两部书,50篇文章,将数学概念介绍给非数学工作者。该奖项是理论计算机科学界最高荣誉之一。

 

 “我喜欢质疑而不是把事情看作理所当然,” 达斯卡拉基斯在视频资料中说: “有时提出正确的问题已经向做出发现前进了一半。”

 

 

 达斯卡拉基斯于1981年生于希腊雅典,以解决“纳什均衡”闻名。纳什均衡是全世界数学家已经花费六十多年试图解决的一个方程。在他关于纳什定理的博士论文中,达斯卡拉基斯追踪了阻碍纳什均衡适用性的计算障碍,并证明了需要新的,更现实的平衡概念。

 

 “博弈论设定于已存在的、由其他人设计的复杂战略环境,而机制设计则考虑反方向的问题,即如何设计系统,以便人们彼此进行战略性交互。”

 

 在其业余时间,达斯卡拉基斯探索希腊民俗文化。

 

 “对希腊文化的了解越多,我的改变就越多,对希腊民族认同感就越多,”达斯卡拉基斯说。

 

有资格获得奈望林纳奖的数学家必须在获奖当年的1月1日不满40岁。

 

奈望林纳奖委员会由陳繁昌(Tony F. Chan, 中国)主持,由马尼德拉·阿格雷瓦尔(Manindra Agrawal , 印度),埃马纽埃尔·坎兹(Emmanuel Candès, 美国),沙菲·戈德瓦塞尔(Shafi Goldwasser, 以色列),尼克·欣汉姆(Nick Hingham, 英国)和乔恩·克莱因伯格( Jon Kleinberg, 美国)组成。

 

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2018年陈省身奖得主柏原正树

 

原文来自2018年国际数学家大会官网

翻译作者,Aria,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,Math001。

 

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京都大学的名誉教授柏原正树(Masaki Kashiwara)在2018国际数学家大会(ICM)上获得了陈省身奖. 大会开幕式早晨,国际数学联盟(IMU)主席森重文(Shigefumi Mori)颁布了这一奖项,森重文称赞了他"将近五十年工作生涯在代数分析和表示论做出的杰出和重要的工作".
 


柏原正树在其广泛的工作中解决了许多复杂的问题,例如Kazhdan-Lusztig猜想和量子群的晶体基理论. 在此之前他杰出的工作获得了弥永奖(1981),  朝日奖(1988),日本学士院奖(1988), 和京都数学奖(2018).
 


出生于1947年日本结城,柏原正树在东京大学完成了数学学士和硕士学位,并于1974年在代数分析创始人佐藤幹夫(Mikio Sato)的指导下在东京大学完成博士学位.
 

这位日本数学家从1984年起成为了京都大学数理所(RIMS)的高级研究员,1973成为RIMS副教授(1971年始为助理研究员). 1984年他也在名古屋大学获得副教授职位.
 


2010年,国际数学家大会(ICM)开始颁发陈省身奖,用于嘉奖在数学领域取得卓越成就的学者. 该奖项创立于2009年,由国际数学家联盟(IMU)和陈省身奖基金(纪念中国数学家陈省身,他毕生致力于数学研究和数学教育)合作创建. 除了24K金质奖章外,获奖者获得的50万美金将对半分给获奖者本人和他指名的机构,用于支持数学研究、教育和相关项目.
 


2018年陈省身奖的归属由如下成员组成的组委会裁定:主席Caroline Series (英国), Jordan Ellenberg (美国), Gerhard Huisken (德国), Michio Jimbo (日本), 和Benoit Perthame (法国).

 

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八卦新晋菲尔兹:难民、分居、怕小孩、得奖像玩

哆嗒数学网成员 ALIMJAN、小米、小饕、radium 各自翻译了本文的一部分

 

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贝卡尔:我飞了起来!

 

 

菲尔兹奖得主高雪·贝卡尔(Caucher Birkar)具有库尔德和英国的双重公民身份,而且还具有难民状态。“我非常高兴,同时非常兴奋。获得这个奖意味着我能继续数学研究和从事我钟爱的事业。”在2018年国际数学大会开幕式上获得菲尔兹这一权威奖项的贝尔卡满带笑容的说道。


1978年,贝尔卡出生在两伊之交库尔德地区的马里万省。现在他已经是剑桥大学的研究员了。几百年前,在这同样一片土地上,生活着伟大的数学先贤——比如,莪默·伽亚谟(1048——1131)、艾德丁·图西(1048——1131)。现在贝尔卡也追随他们来到了数学世界。“当一名库尔德人是艰辛的,”贝卡尔说到,“我们库尔德人有句俗话:‘除了大山,库尔德人没有朋友。’我希望我获奖的消息能带给4000万库尔德人哪怕一丝丝笑容。”贝卡尔生长在伊朗农村,他的哥哥在那时教了他数学。“我的父母都是农民,我应该是不可能在数学上有什么成绩的。”贝尔卡在官方的获奖视频中感谢了库尔德的传统文化,他说靠它才活了下来。

从德黑兰大学毕业后,他一直致力于解决现代数学中如极小模型,法诺簇和奇点问题等关键问题。过去8年里,贝卡尔已经为该领域做出了杰出贡献,并且已经获得了巴黎基础科学数学奖和美国数学协会摩尔奖。


对于这位年轻的数学家来说,他的职业有两个阶段。第一步是学习前人已经积累的知识。 “阅读优美的数学世界就像漫游在一个美丽的古镇。当你四处遨游时,你会发现那些华丽的建筑。第二阶段,就像突然间我有一双翅膀,我飞了起来,在城市上空鸟瞰我在地上看不到的景色。“

 

费加里:家庭生活还没有“最优”的最优传输专家

 


阿雷西奥·费加里(Alessio Figalli,)1984年出生于意大利的那不勒斯。他在最优传输理论中的贡献帮助他夺得了数学界的最高荣誉并名留数学史。


关于数学,他最喜爱的事情之一就是能够在世界上任何地方开展工作,但他的家庭生活却不像他的研究方向,远远没有达到“最优”。令人沮丧的是,他和老婆十天才能见一次面;不过他希望能很快解决这个问题。“在我的数学生涯中我已经解决了一些困难的问题,我也知道自己今后三四十年的研究方向。只有一个问题我真心希望能马上解决,那就是我能和我的老婆生活在同一个城市。”


阿雷西奥·费加里现在是苏黎士联邦理工的教授。他的工作建立了等周问题与最优传输问题之间的联系:前者在罗马神话中已有踪迹,而后者则探究运输给定质量的最优解。“他显然已经是当今全球数学界一股推动力,”路易斯·卡法莱利在一次介绍费加里工作的讲座上说道,“他的解决问题方法灵活、动态而有成效。他一定会成为这个时代最有影响力的数学家之一。”


当他还是孩子的时候,他从未意识到——或从未被告知——他对数学的兴趣将会成为一个职业。在发现了这种可能性之后,他便义无反顾地投入了这个领域并在其中展露锋芒。

 

文卡特什:曾经被视为神童

 

 

亚克西·文卡特什(Akshay Venkatesh),2018年菲尔兹奖得主,13岁时便开始了本科阶段的学习,并在20岁之前完成了普林斯顿大学的博士学位。“7岁左右的时候我有了这个螺旋图案的笔记本,然后开始写下这些二进制数。”他回忆道。

 

成为两个孩子的父亲改变了他的职业生涯和家庭生活。“在数学中,我们倾向于追求过分的完美。我觉得其实被别人强迫停止去干某件事情挺好的。孩子们就很擅长阻止你尝试去干其他事情。”他开玩笑说。


这位斯坦福教授目前在声望很高的普林斯顿高等研究院工作。这个研究院自从成立以来便“承包”着菲尔兹奖,超过半数的菲尔兹奖得主都曾在某段时间于这个研究院工作过。

 

作为一个在印度新德里出生,在澳大利亚长大的美国居民,文卡特什因其在数论方面的杰出贡献今天把这个数学界最有威望的奖项带回了家。他利用动力学中的想法来解决数论问题——一个上世纪70年代末密码学出现之前没有任何应用的抽象问题。

 

压力大的时候,文卡特什通过跑步来清理头脑和放松。如果跑的过程中还是可以思考的话,他解释道,那么他会跑得更快一些。“在你做数学的很多时候,你会卡壳。但你会觉得能够尝试去解决问题是一件很荣幸的事。你会进入一种超然的状态然后感觉自己成为了某些很有意义的东西的一份子。”他思考着说。

 

他的贡献在数学研究的好几个领域中都是奠基性的,他在研究中使用的探究式的富有创造性的方法也备受称赞。“多亏了他明智地创新地使用现代数学工具来研究数论,”彼得·撒纳克(Peter Sarnak)在文卡特什颁奖大会上说,“他在影响着从自守形式到表示论的很多领域。”


舒尔茨:数学中还有无穷多个问题等着我

 

 

年仅30岁的菲尔兹奖得主,彼得·舒尔茨(Peter Scholze),已经被科学界认为是世界上最有影响力的数学家之一。 然而,他是一个非常脚踏实地的人。


我经常对我想要理解的东西有一个模糊的概念,但又不知道如何用精确的语言描述它,”他说。 “直到我读了另一篇论文,突然间,我想我就可以表达了。


长长的头发以及超强看清模式之间联系的能力,他被称为“数学界中的莫扎特”。一些同时代的人不得不承认,舒尔茨的存在令他们敬畏。他是今年获得奖牌的热门人选,他获得该奖对于在该领域工作的人来说并不意外。


24岁时,他在仅5个学期完成本科课程和硕士学位后,成为德国波恩大学的正教授。

2010年,他将数论中的一个定理(哈里斯和泰勒合著的数学证明《The Geometry and Cohomology of Some Simple Shimura Varieties》)的证明从288页简化为37页,宣告了一个时代巨人的出现。

他在波恩的博导问迈克尔·拉波波特评论说,“非常荣幸能够将他从大学生时代带到最杰出的数学家之一。 他引起了算术几何学的革命,“拉波波特补充道。 “舒尔茨的作品令人瞩目的是他的创意的终极简洁性。 他定理的简洁具有深深的吸引力以及经典的荣耀。


舒尔茨获得顶级数学奖就跟玩一样: 欧洲数学学会奖(EMS),2016莱布尼兹奖(Leibniz),2015费马奖(Fermat),2015奥斯特洛斯基奖(Ostrowski),美国数学会Cole奖,2014克雷研究奖(Clay Research),2013拉马努金奖(SASTRA),Prix奖和Cours Peccot奖的前任获奖者。 现在,他用菲尔兹奖章将樱桃放在蛋糕上作为点缀。


他的工作重点是建立算术和几何之间的桥梁。 尽管已经取得如此大的成就,但他的潜力依然深不可测,而舒尔茨根本没有放缓的迹象。 “一旦你解决了一个问题,就会有10个问题随之而来,”他解释道。

 

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2018数学最高奖菲尔兹奖公布!

 

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根据2018国际数学家大会(ICM)官方网站消息。2018年被视为国际数学最高奖项的菲尔兹数学奖已经揭晓他们是:

 

就职于剑桥大学的伊朗裔英国数学家 高雪·贝卡尔(Caucher Birkar)

 

For his proof of the boundedness of the Fano varieties and for contributions to the minimal model program.

 

 

表彰其证明法诺簇的有界性并对极小模型程序的贡献;

 

 

 

 


就职于苏黎世联邦理工学院的意大利数学家阿雷西奥·费加里(Alessio Figali)

 

表彰其最优传输理论及其在偏微分方程、度量几何和概率论方面的应用;

 

for his contributions to the theory of optimal transport and its applications in partial differential equations, metric geometry,and probability.

 

 

 

就职于波恩大学的德国数学家彼得·舒尔茨(Peter Scholze)

 

表彰其将p进制域上的算术代数几何转换成对拟状完备空间(perpectoid space)并将其应用在伽罗瓦表示论上,以及对上同调理论的发展做出的贡献;

 

For transforming arithmetic algebraic geometry over p-adic fields through his introduction of perpectoid spaceS, with application to Galoids representations and for the development of new chomology theories.

 

 

 


就职于普林斯顿大学印度裔澳大利亚数学家亚克西·文卡特什(Akshay Venkatesh)

 

表彰其综合解析数论,齐次动力系统,拓扑学和表示论的贡献;

For his synthesis of analytic number theory,homogeneous dynamics, topology,and representation theory 

 

 

 感谢 小饕、萧瑟向来、ALIMJAN、math001 第一时间的翻译 

 

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2018世界大学数学学术排名:普林斯顿第一、北大中国第一

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2018年世界大学学术排名,也就是俗称的上海交大版大学排名,日前公布一流学科排名,我们哆嗒数学网依然只是关注数学学科的排名。

 

 

数学学科排名方面,美国院一如既往的表现出色,占据前十名中的六个席位。而英国和法国分别占据两席。第一到第十分别是:普林斯顿大学(美国)、巴黎第十一大学(法国)、斯坦福大学(美国)、牛津大学(英国)、纽约大学(美国)、麻省理工学院(美国)、剑桥大学(英国)、加州大学洛杉矶分校(美国)、索邦大学(法国)、加州大学伯克利分校(美国)。

 

 

值得一提是数学榜单前十中的新面孔法国索邦大学。这个学校与2018年1月由巴黎第六大学(又名皮埃尔和玛丽居里大学)和巴黎第四大(又名巴黎索邦大学)学合并后组成。而索邦正好是之前四大的名称。合并之前,六大以理工科为主、四大以文科为主。2010年,法国政府启动“卓越大学计划 ”,希望通过重组实现学术资源的深层整合,从而吸引最优秀的教师、研究人员和学生进入法国顶尖大学,最终提高法国高校在国际上的学术知名度,同时提升法国科学成就的世界影响力。在此背景下两所强校合并,并沿用在欧洲有着悠久历史传统,被誉为"欧洲大学之母"的欧洲中世纪的索邦神学院的名称。——这是一个例子,说明类似中国“双一流”高校建设的政府计划,一些西方国家同样在实施。
 

亚洲方面,日本的京都大学排名第一,总排名17名。以色列的耶路撒冷希伯来大学排名第二,总排名第19。沙特阿拉伯的阿卜杜勒阿齐兹国王大学排名第三,总排名第29。来自中国的北京大学排名第四,总排名第40。下面的亚洲前十因为并列原因,其实有15所高校。

 


 中国高校有74所大学进入榜单。在中国的高校的排名中,排名第一的是北京大学,世界排名第40名。是唯一一个进入前50名的中国高校。哆嗒数学网下面再为你奉上所有中国高校的排名。

 

 

 

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谁将获得2018数学最高奖——菲尔兹奖?

 

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足球世界杯刚结束,四年一度有着“数学界奥运会”之称的国际数学家大会即将在8月在巴西里约热内卢开幕。届时,大会将颁发数学界最高荣誉的菲尔兹奖。

谁将获得菲尔兹奖呢,国外有个投票网站做了一次投票,结果非常有趣。其实,在菲尔兹奖的评选上,也经常会有“大热必死”现象。因为获奖有40岁的年龄限制,所以有传言,评委会优先考虑最后一次机会获奖的人。另外,很少情况下,会将奖颁发给同一个国家或者同一个学校的人。所以下面的舒尔茨和布伦德也许在国籍上会有冲突。

我们将前10名和大家一起讨论。

 

 


第十名 胡戈·度米尼尔-柯平(Hugo Duminil-Copin) 法国

 

 

概率论、随机过程专家,现为日内瓦大学教授。

度米尼尔-柯平对伊辛模型的研究情有独钟,此模型在物理研究中有着特别的地位。度米尼尔-柯平对此模型的研究让他收获无数荣誉。

所获奖项:2013奥博沃尔法赫奖、2016欧洲数学会奖、2017科学突破新视野数学奖、2017雅克·埃尔布朗奖、2017勒夫奖


第九名 詹森·米勒(Jason Miller) 美国

 

 

概率论、随机过程专家,现为剑桥大学教授。

 他与Sheffield一起关于高斯自由场的研究(GFF),奠定了他在随机游走、布朗运动研究方向上的学术地位。

所获奖项:2015戴维逊奖、2016怀德海奖、2017克雷研究奖

 

第八名 张伟(Wei Zhang) 中国

 

 

数论专家,现为麻省理工教授。

很高兴在这个列表中看到中国人。他在博士二年级的时候,他对库达拉(Kudla Conjecture)猜想的工作,让他在数论领域崭露头角。张伟的成名作是和恽之玮合作,对L函数为L函数的泰勒展开的高阶项提供几何解释。

所获奖项:2013拉马努金奖(SASTRA)、2016晨兴数学奖、2018科学突破新视野数学奖

 

第七名 西蒙·布伦德(Simon Brendle) 德国

 

 

微分几何、偏微分方程专家,现为哥伦比亚大学教授。

布伦德解决了共形几何中关于山辺英彦方程(Yamabe Equation)相关的一些主要问题。另外,他和Schoen合作证明了微分球面定理(differentiable sphere theorem),这是整体微分几何的基础问题。他还证明了向武义-劳森猜想(Hsiang–Lawson's conjecture)。

所获奖项:2012欧洲数学学会奖、2014博谢奖、2017费马奖

 

第六名 马丽娜·维娅佐夫斯卡(Maryna Viazovska) 乌克兰

 

 

离散几何专家,现为国立基辅大学教授。

维娅佐夫斯卡大学时期,获得了2次国际大学数学竞赛(IMC)的第一。维娅佐夫斯卡的成名作是解决了8维空间的球体堆积问题,她还和同事一起解决了24维的球体堆积问题。在此之前,人类只是解决了3维和3维以下的球体堆积问题。而3维情况的解决使用了大量的计算机计算,而维娅佐夫斯卡的8维和24维情况的证明,却被人形容为“简单的让人吃惊”。

所获奖项:2016年塞勒姆奖、2017克雷研究奖、2017拉马努金奖(SASTRA)、2017欧洲组合学奖、2018科学突破新视野数学奖

学生时代奖项:国际大学生数学竞赛两次第一

 

第五名 乔迪·威廉姆森(Geordie Williamson) 澳大利亚

 

 

群论几何表示论专家,现为悉尼大学教授。

威廉姆森是澳大利亚科学院史上最年轻的院士。威廉姆森对Kazhdan-Lusztig猜想用纯代数方法重写和简化了证明。在这个过程中,威廉姆森研究出了一种技术手段,在群论的诸多问题中,使用这个技术手段可以得到一些的重要成果。

所获奖项:2016年接连获得谢瓦莱奖、2016欧洲数学学会奖、2016克雷研究奖、2016科学突破新视野数学奖

 

 

 

第四名 齐普里安·马诺列斯库(Ciprian Manolescu) 罗马尼亚-美国

 

 

规范场论、低维拓扑专家,现为加州大学洛杉矶分校教授。

马诺列斯库在学生时代是数学竞赛的高手,连续三届以满分获得国际数学奥林匹克竞赛((IMO))金牌。进入学术生涯后专注于低维拓扑的研究。2013年在马诺列斯库发表了一篇论文,否定的解决了5维以及5维以上的流型中的三角形解剖猜想。

所获奖项:2012欧洲数学学会奖、2017费尔特里内利奖

学生时代奖项:国际数学奥林匹克3金、摩根奖

 


第三名 阿雷西奥·费加里(Alessio Figalli)  意大利

 


变分法、及偏微分方程专家,现为苏黎世联邦理工学院教授。

费加里在做运输优化理论的相关问题时,问题和蒙日-安培方程联系了起来,他和Philippis一起工作,得到了关于这个方程的一些重要结果。他擅长于一个技术手段,把本来看似是偏微分方程的问题转化为几何不等式的问题。以至于后来很多重要的方程,他的工作有所涉及,比如哈密顿-雅克比方程、薛定谔方程、伏拉索夫-泊松方程。


所获奖项:2012欧洲数学学会奖、2017费尔特里内利奖

 

第二名 费尔南多·马克斯(Fernando Marques) 巴西

 

 

几何、拓扑以及偏微分方程专家,现为普林斯顿大学教授。

马克斯的的成名作是和Neves一起解决了Willmore猜想。另外,去年他和Irie, Neves一起声明解决了某种一般情况下的丘成桐猜想,并把论文挂在了网上。


所获奖项:2013拉马努金奖(ICTP)、2016维布伦几何奖

 


第一名  彼得·舒尔茨(Peter Scholze) 德国

 

 

算术代数几何专家,现为波恩大学教授。

学生时代的舒尔茨多次参加国际数学奥林匹克竞赛(IMO)获得三金一银。24岁时,成为德国历史上最年轻的正教授。舒尔茨在博士论文中提出了状似完备空间(perfectoid space)的概念和与之配套的相关技术手段。利用该技术手段也可将霍奇理论中的法尔廷斯近纯定理(almost purity theorem)加以推广。此技术手段还能提供新角度展现其它问题,在志村簇或由拉坡坡特(Rapoport)和钦克(Zink)引入的空间中都可找到实例。

所获奖项:2013拉马努金奖(SASTRA)、2014克雷研究奖、2015费马奖、2015奥斯特洛斯基奖、2015柯尔代数奖、2016莱布尼兹奖、2016科学突破新视野数学奖(本人谢绝)、2016欧洲数学学会奖

学生时代奖项:国际数学奥林匹克3金1银

 

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2018国际奥林匹克数学竞赛,美国第一,俄罗斯第二,中国第三

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2018国际奥林匹克数学竞赛(IMO)刚刚公布。中国队连续四届与团体第一无缘,以199的总分获得第三名。第一名是美国,212分,第二名是俄罗斯,201分

此次比赛,团体第一的归属由关键是第6题决定。而这一题中国获得19分(满分42分),美国获得31分,俄罗斯获得23分。

另外,中国台湾179分,排名第6,中国香港,89分,排名第49。中国澳门61分,排名第65。

中国队从上世纪八十年代开始就是国际奥林匹克数学竞赛的霸主,他们1989年到2014年期间25次参赛,获得19次团体第一。而从2015年开始,因为美国、韩国等国家也开始效仿中国的数学竞赛集训模式,实力增强,在最近的四届竞赛中,美国获得三次第一,另外一次被韩国获得。

 

 

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哥德尔定理是如何玩坏数学的!

原文作者,Dr. Dilts,俄勒冈大学数学博士

翻译作者,风无名,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,Math001。

 
 

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哥德尔的不完备定理是那种能把你脑浆敲出来的一个定理。

 


在上一篇博客,我们讨论了定理本身及其影响。简单说来,它们显示出了数学本身的内在局限性。


哥德尔第一定理与一致性、可证明性这两个概念有关。一个数学系统(由一些假设组成,这些假设被称作是“公理”)称为一致的,如果它们没有矛盾存在。换句话说,你不能证明一个既真又假的语句。


在任何逻辑系统内,都有很多语句,也就是那些你能说出的东西。比如,我像这样说“所有的素数都比十亿小”。它是一个错误的语句,但是我仍能说出它。

 

但是,仅仅因为我能说出一个语句,并不意味着我可以证明它为真或者假。大多数情况下,那个语句是难以证明的,所以你不知道如何证明它。可是,还有一种可能,存在既不能证明为真,也不能证明为假的语句。这种语句,我们称为不可证明的语句。任何拥有不可证明语句的逻辑系统(公理集)成为不完备的。

 

哥德尔第一不完备定理说了:如果你有一个一致的数学系统(也就是,一堆互不矛盾的公理),并且你可以做算数运算,那么,一定存在使用那些公理不能证明的语句。[原注1]


换句话说,数学是不完备的。证明所有的事情,是不可能的。(译者注: 笼统地说数学是不完备的,是不对的。此文作者这里提供的是一个不严谨的简单说法。)


哥德尔第一不完备定理的最基础的想法,就是这句话:“这句话是不可证明的”。


如果你能证明这句话是正确的,根据定义,它就是可证明的。但是这句话自己说了它是不可以证明的;同时由于它是真的,它也是不可以证明的。但是它不能既是可证明的又是不可证明的。因此,这句话必须只能是不可证明的。


虽然这就是我们将来采用的基础的想法,问题是,在数学里面,并不存在一个明显的形式化的方法来说“这句话是不可证明的”。你说的可证明是什么意思?“这句话”指什么?使用什么公理呢?


哥德尔的证明必须让所有的这些都完美的严格化。


第一步要证明的是:任何严格的数学语句都可以转化为一个数,反过来也可以。



这一步是精妙的,不过并不复杂。从某种意义上说,这就像一段代码,它把每一字母都转化成一个数。比如,我们可以这样做:a转换成1,b转换成2,等等。单词”math"将会转化成"13-1-20-8"。计算机也使用了类似的模式来把文本存储像成0和1的形式。

 

为了把数赋给严格的数学语句,哥德尔使用了类似的方法来进行编码。实现这种编码的方式并不唯一,不过我将要讲一种与哥德尔最初的方法比较接近的方法。


第一步,对于你的某个数学系统的每一个数学符号,给予一个数。[原注2]比如,也许”0"被存储为1, “=”被存为储2, "+"存储为3.


一条数学语句就是这些符号的一个列表。使用数对单个的符号进行编码,就可以等价地说,语句就是数的列表。例如 0=0等价于(1,2,1)。

 

为了把语句编码为唯一的数,我们让它的哥德尔数等于一部分素数的幂的乘积,幂的次数为数学符号在列表中的位置。因此,0=0的哥德尔数是2^1 · 3^2 · 5^1 = 90。

 

 

对于一个语句S,比如”0= 0”,我们使用记号G(S)来指代它的哥德尔数。因此,G(0=0) = 90。


正如你意识到的,即使是对中等长度的语句,哥德尔数也会很快变得非常大。不过,大小不是一个问题,我们不需要把它们写下来,你只需要知道这样的数存在就可以了。


关键的问题是:对于任一个数,我们可以返回来得到一条数学语句。


每一个数都可以唯一地分解为素数的乘积。如145530 = 2^1 · 3^3 · 5^1 · 7^2 · 11^1,所以145530代表了 0 + 0 = 0.

 

 

任一严格的数学语句都可以用这种方式翻译成一个数。乃至一个证明,也仅仅是一些捆绑在一起的语句而已。(“A” 蕴含“B”, 并且“B”蕴含“C”,所以“A”蕴含“C”)。那就意味着,我们展示了所有的数学都能够仅用数来写出来。[原注3]

 

类似地,存在一个算数的方法来检查一串使用哥德尔数来表示的语句,是否是另一串使用哥德尔数来表示的语句的证明。[原注4]

 

把数学语句翻译成数,看起来像是有趣的技巧,它是哥德尔不完备定理的证明的关键。

 

它如此重要的原因在于,它让我们把任何关于证明、可证明性的问题转化为关于数的算数问题。因此,为了证明任何(可证明的)语句,我们可以仅仅使用数以及数的性质。

 

 

例如,考虑这个被我称为Unprovavle(y)的语句。这个语句是:“y是某个语句的哥德尔数,并且不存在一个数x使得x是那个语句的证明的哥德尔数”。

 

因此,unprovable(y)本质上在说“y所代表的语句”是不可证明的。但是,它除了是一个关于证明与语句的问题以外,它还完全是一个关于数、数的算数关系的问题。

 

这个准确的算术关系是非常复杂的,不过的确可以被精确地定义。类似的,Prime(y),这个简单得多的语句语句“y是一个素数”, 存在一个算术关系Unprovable(y)。于是,Prime(y)断言了一个数如何,这个断言可以被一些相对而言比较简单的算术来判定。

现在,我们将来来带长途征程的最后一部分了。

 


哥德尔的证明的本源的想法是这句话:“这句话是不可证明的”。使用Unprovable(y)这句精确的数学语句,我们可以让这句不精确的语句完全精确。[原注5]

 

为了得到“这句话是不可证明的”的精确版本,我们将使用 “对角线引理”。(一条引理只是你用于证明其它定理的定理[原注6])。对角线引理表明了,就我们正在使用的数学系统而言,存在一个语句S它满足:S是真的,当且仅当Unprovable(G(S))是真的。(注意,unprovable(y)的输入是某个语句的哥德尔数。这个例子中,这个语句即S)

 

清楚一点说,对角线引理并没有证明S或者Unprovable(G(S))是真的,仅仅证明了它们或者同时为真或者同时为假。你开动脑筋,想想这到底啥意思?

 

 

对角线引理也表明了:一个未知的可能非常长的数学语句S,是真的,当且仅当 unprovable(G(S))是真的。但是unprovable(G(S))是真的,(根据unprovable(y)的定义)意味着S是不可证明的。

 

所以,如果我们能够证明“ 语句S是真的”,对角线引理表明我也能证明“unprovable(G(S))是真的”。但是,unprobable(G(S))说的是“S是不可证明的”!因此,S既是可证明的又是不可证明的,这就是一个矛盾。

 

因此,S必然是不可证明的。

 

语句S就是我们正在寻找的 “这句话是不可证明的” 这个语句的准确的版本。因此,不是每一个语句都是可以证明的。

 

可怜的数学,被人玩坏的数学……

 


[原注1] 关于数学系统,还有很多更加技术性的假定,比如,它必须是“有效的”,又叫做“可递归地枚举的”。对哥德尔的证明来说,这些假定是至关重要的。就我想向外行读者做介绍的这篇文章的主要部分来说,我觉得它们过于技术化了。我会在后面的脚注里面解释为什么那个系统需要是有效的。

 


[原注2] 算术的公理化也就是皮亚诺算术。皮亚诺并没有直白地提及所有的自然数。事实上,它仅提及了0.它拥有一个能否计算下一个数的“后继函数”S。因此,S(0)就是1的定义,S(S(0))是2的定义。所以,当把数学语句翻译成哥德尔数的时候,我们的编码仅需要给0、S赋值,而不需要给每一个数单独赋值。那意味着我们的编码仅需要考虑有限多个符号。


[原注3]这里指任何从我们的公理、选定的符号所生起的数学。


[原注4] 在上一篇文章中,我们忽略了很多重要的技术性的假设。其中之一,在这里说一下。那就是,你的数学系统(公理的集合)是有效的(effective)。在本质上,这意味着,存在一个这样的计算机程序:从理论上,能够列出你的数学系统的所有定理,而不列出任何不是定理的语句。对于不完备定理所考察的基本的数学系统——皮亚诺算术, 这一点是真的。对于标准集合论(ZFC),这一点也是真的。还存在一些不有效的系统,它们趋向于无用或无趣。比如有一个这样的系统:把算术中所有真的语句都作为公理。于是,任何真的东西都是公理,从而证明上是平凡的。为了让算术证明的校验(check)能工作,你的数学系统是有效的,这个假定是至关重要的。


[原注5] 哥德尔找到了一个直接说这个语句的方法。我们会采取一个略微不同的、更容易理解的途径, 不过哥德尔证明的主要动机是一样的。


[原注6] 引理一般是相对容易证明的,对角线引理也是这样。然后,它的证明是技术性的,并不是很有启发性。

 

 

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十大数学专业的体育、娱乐明星,第一名你一定想不到!

 

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混迹娱乐圈和体育圈的人很多时候给大家的感觉是,前者头脑简单,后者四肢发达。而数学专业内的人给多数人的感觉是有着极高智商的“书呆子”。我相信,很少有人两者联系起来。而下面我们盘点的10位娱乐圈和体育圈的明星,他们曾红极一时,却是(或者曾经是)数学专业的。

 

第十名 约翰·尤索

 

如果你喜欢看美国橄榄球联盟NFL的球迷,你一定多少听过约翰·尤索这位球员。他曾经是巴尔的摩乌鸦的护锋。限于美式橄榄球运动在中国的爱好者并不多,所以尤索在中国并不出名。但是在美国的推特上,尤索可是红极一时的“网红”,出名的原因是他球员和数学家的双重身份——一位五大三粗的橄榄球球员做数学研究,这画面……好美!

尤索在球员时期还在撰写数学论文,并发表在专业杂志上。他还在训练比赛之余,去各个大学开数学讲座,分享数学成果。现在他从球员生涯退役了,去了麻省理工继续攻读数学博士,极有可能走向数学学术的道路。

 

 

第九名 格伦·约翰逊

 

如果你是英超的球迷,一定会对格伦·约翰逊影响深刻。约翰逊司职右后卫,在2009年到2012年,是这位球员的巅峰时期。在这段时间内,这位黑人球员站稳了利物浦和英格兰国家队主力位置。2010年,代表英格兰参加世界杯,止步16强。而16强英德大战中约翰逊就在场上。那场比赛兰帕德明显越过门线的吊射被判无效,加速催生后来足球运动的门线裁判、门线技术以及视频VAR裁判技术。

令人意外的事情是,格伦·约翰逊在他职业生涯的巅峰时期还利用业余时间在开放大学攻读数学学位。其实欧洲很多球员在很多时候都在同时考虑退役之后的事情,不少人也会去修个学位。小编觉得约翰逊修数学学位并不是想成为数学家,而是通过一种训练提升对数字的敏感,这对退役后的财务运作有所帮助。

 

 

 

第八名 奥特马尔·希斯菲尔德

 

如果你是德甲的老球迷,对这个名字绝对不会陌生。这个名字会让你想起巴斯勒、埃芬博格、卡恩的时代。希斯菲尔德在德甲是绝对功勋教练,长期职教过多特蒙德、拜仁慕尼黑两支球队。作为球队主教练,他总共获得过7次德甲冠军、2次欧冠冠军。

当他在瑞士巴塞尔踢球时,他用业余时间在附近的略拉赫学园(Lorrach College)修得了数学教师和体育教师的执照。而希斯菲尔德本人也提到过,数学的思维方式对他排兵布阵有所帮助。

 

 

 

第七名 泰瑞·海切尔

 

如果你喜欢看美剧,一定会知道这部曾经大红大紫的电视剧《绝望主妇》。而剧中让人又爱又恨的女主之一的苏珊的扮演者正是泰瑞·海切尔。

海切尔大学期间在加州丘珀蒂诺的德安扎学院(De Anza College)就读,专业是数学与工程。业余时间海切尔经常去旧金山的音乐戏剧学院学习表演。后来把握了一次试镜的机会,走向职业演员道路。

 

 

第六名 约翰尼·巴克兰

 

如果你喜欢英国的摇滚音乐,一定会知道酷玩乐队(Coldplay)。无论你是否喜欢他们,酷玩乐队在商业上获得了巨大的成功。2005年,发行的专辑《X&Y》年终销量830万张,成为国际唱片工业联合会年度全球销量冠军。2008年,发行的专辑《生命万岁》(Viva La Vida)年终销量660万张,获得格莱美奖最佳摇滚音乐专辑奖。

酷玩乐队的主吉他手是约翰尼·巴克兰,学生时代他在伦敦学院大学的专业是天文与数学。实际上酷玩乐队的很多歌曲都显示出对数学的偏爱,从曲名可见一斑:《X&Y》、《Twisted Logic》、

《Square One》,《Proof》,《Major Minus》等等。

 

 

第五名 大卫·罗宾逊

 

如果你是NBA的老球迷,一定知道这位拥有“海军上将”称呼的前马刺队中锋。这位1987年的状元秀在上世纪90年代和另外一位NBA的超级巨星蒂姆·邓肯组成了在全联盟叱咤风云的“双塔”,并在1999、2003年获得总冠军。而罗宾逊的个人荣誉也不少,拿过常规赛MVP、得分王,多次入选全明星阵容、最佳阵容、最佳防守阵容。

而鲜为人知的事情是,罗宾逊还是一位学霸。1983年,大卫·罗宾逊高中毕业,在SAT考试中取得了1320分(满分1600分)的优异成绩,他选择进入美国海军学院主修数学(这也是他绰号的由来)。

 

 

 

第四名 布莱恩·梅

 

喜欢摇滚的粉丝应该没人不知道皇后乐队(Queen)吧。皇后乐队是史上最成功的摇滚乐队之一,今年1月还刚刚获得第60届格莱美奖终身成就奖。就算你不知道乐队的名字、不知道他们是哪些人,但你一定听过他们的歌——《我们是冠军》(We Are The Champions)和《我们将震撼你》(We Will Rock You)。布莱恩·梅是这个乐队的吉他手。

布莱恩·梅在帝国理工学院上学的时候,攻读的是数学和物理专业。在音乐上成名后,2006年有返回学校,攻读天文学博士,并继续做天文学的学术研究。为表彰布莱恩·梅的贡献,2008年,一颗小行星还用他的名字命了名。

 

 

第三名 保罗·范霍文

 

《机械战警》这部电影在中国有万千粉丝,而这部经典科幻电影的导演就是保罗·范霍文。注意,这里《机械战警》说的是1987年的版本。范霍文的《机械战警》1300万美元成本,票房收入5300万美元,在30年前是绝对的神作。而范霍文1997年《星河战队》也被奉为经典。

范霍文学生时代在位于荷兰在欧洲久负盛名的莱顿大学读书,专业是数学和物理。虽然范霍文对数学并不十分感兴趣,但由于本人的天赋实在很好,也顺利的拿到了数学和物理的双博士学位。按范霍文的说法,他后来的职业生涯,他从来没用这个博士学位当过任何事务的敲门砖,而是全身心的投入到他的导演艺术创作中。

 

第二名 刘易斯·卡罗尔

 

《爱丽丝梦游仙境》又译《绿野仙踪》是畅销上百年的奇幻小说。在出版后的一百多年时间里,小说被改编成各种动画片、电视剧、电影等各种形式的艺术作品。作者刘易斯·卡罗尔其实是笔名,他的本名叫查尔斯·道奇森。

道奇森在数学上非常专业,因为他就是牛津大学的数学讲师,说是数学家也不为过。但是,数学界的道奇森与文艺界的卡罗尔相比,知名度可以忽略不计。卡罗尔不喜欢那个时代兴起的抽象代数,《爱丽丝梦游仙境》里也有对抽象代数的讽刺和调侃。其中那个著名的爱丽丝和疯帽子的茶会,据说就是对哈密顿四元数的嘲讽。百度“四元数派对”可以收到我们哆嗒数学网对此的专门介绍。

 

好,我们倒数三声,迎接第一名!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

二!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

一!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第一名 迈克尔·乔丹

 

我相信你看这的时候一定会大吃一惊。迈克尔·乔丹被认为是史上最伟大的篮球球员。他的名字如此家喻户晓,已经超过了篮球运动本身。在这里介绍迈克尔·乔丹球员时代的成绩已经不合时宜,我相信看过、听过他战绩的人都能如数家珍地盘点出不少乔丹的“高光时刻”。乔丹无愧于“篮球之神”的称号。

 

 

你一定不知道,乔丹爱数学,甚至他曾经是数学专业的学生。高中毕业时,乔丹数学属于A档,就算靠成绩也能进北卡。乔丹刚进北卡的时候,选择的是数学专业,到大三的时候为了兼顾打球,才转了专业,到了课程负担没有那么大的文化地理专业。乔丹说过他一直喜欢数学。尤其退役后,他认为他的数学头脑能帮助他打理商务。

 

 

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我开的小平邦彦微积分讨论班

   

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    本文是一位老师给他学生的公开信。老师的初衷是想让学生们多学一点,于是在暑期免费开了小平邦彦的《微积分入门》的讨论班。但刚开完一节,有人就顶不住了,纷纷请假。理由无外乎是要打工、旅游、家中事务等。这位老师为了让这个班能继续下去,写下了如下的话。


各位同学:

     此时正进入到讲授小平邦彦的《解析入门I》的关键时刻,刚讲完第一节的序言,也就是衔接现有的知识和以后要学的知识的阶段,从1.2开始,严密性和分析性的要求远高于之前我们所学过的知识。一篇序言,我都写出了四篇讲义,那么你们应该想见,在以后的学习中,正文中还有多少知识要我们来思考和学习。而后面的问题,按照我的想法,写出来的讲义是有限的,最重要的是在于你们自己要熟读课文和反复思考。染和酿的效果是不同的,一个是从外到里,用久了会褪色;而另一个是从里到外,越陈越香,我和你们说过,只要你们认真把书读熟了,思考了,哪怕就是你们自己独立思考明白这个书上的一个问题,或者是至少你们知道这本书上有哪些是不明白的,我就能和你们讲清楚。我也告诉过你们,这本书我只会给你们讲前20面,那么就会有两种结果:第一,读明白了,那会有一种自信心爆棚的感觉,这本书我可以靠自己读懂了;第二就是中途学不明白了,那会像垮山一样的崩溃。只要你读明白了前20面,课本上的知识再也没有你学不懂的了,读明白第一章,数学分析能力可以横扫全校,再说远一点,如果能把第一卷读完,那你完全有能力去拿一条板凳,和你们自己的老师坐在同一张桌子上去谈经论道。我还和你们反复说过,真正的高手不是在于参加了多少补习班,也不是在于做了多少难题,而是在于只要把课本读懂,自己就能够把什么问题都想明白,题目可以拿在手里当把玩意。到那个时候,题目的作用不再停留在考验那些知识还没有掌握,而是在于看看哪些问题别人已经想到,而你没有想到。所以必须要你自己去主导题目,而不能让题目来主导你,那样的话,你就是题目的奴隶。

 


      你们似乎很在意考试成绩。你们应该明白,考试是那帮命题人绞尽脑汁弄出来的一批试题,里面总有些题目是新的,那么遇到新的题目时,我们就必须有自己可行、可靠的思维方法去分析和解答它。我曾经说过,技巧不可靠,分析是王道,懒惰最可耻,后悔一辈子。但是我从未说技巧不重要,我说高手可以把题目拿在手里当玩意,但是我也从来没有说过不要做题。究其本意,在于,不管技巧有多花俏,必须以分析作为基础,也就是你必须保证你用了优美的技巧做出来的题,必须是正确的,而不是错误的,如果是错误的,你的技巧再优美,还是得分不到,这就必须以扎实的基础知识,还有清晰明白的分析过程来考察你的解题方法是否正确。然后,在达到高手那个层次之前,要通过做题来巩固知识,做题的过程中要思考,思考这个知识是这么用的同时,也要思考我在读书的时候要怎么展开想象,主动思考,在考题出现之前,就想到这个知识点在此处的应用,从而未雨绸缪。


       要达到这个境界,以我现在的眼光来看,除了读小平邦彦的书之外,别无他法。你们听了我的课,看了我写的讲义,就会体会到,这是把课文熟读之后,再思考所获得的成果。那么学习和思考的过程和方法,不限于学习数学,物理、化学、生物,甚至是文科类的课程,依然有适用的空间。你们也许会思忖,同样是一本书,我可以给你们讲得如此深入,那么我肯定是参考了其他的教科书,或者是请教了其他的老师才达到这个样子的,对于这一点,我也不否认,但是你们应当知道,我去参考其他的教材,请教别的老师,这也是一个学习的过程,别人代替不了我,而且最重要的是,当我通过其他途径弄明白一些问题后,再回过头来看时,我发现其实小平邦彦大师已经在他的书上写得清清楚楚了,只是我当时没看明白,没仔细去想而已。这并不是对于小平邦彦的书有所过誉,而是他的书实际就有这么巨大的作用,我还是用极为保守的语言来形容的。


    小平邦彦写的教材,从小学的《新算术》,到高中的《新订数学》,再到大学的《解析入门》、《复素解析》、《复素多样体论》,再到研究论文专题文献等,这里没有提到初中的教材,是因为我没有找到小平邦彦写的初中教材,日本曾经用过的初中数学教材是数学家弥永昌吉写的,不过这也不妨,弥永昌吉和小平邦彦在著书上也是一对黄金搭档,合作写过书。作为世界顶级的数学大师,小平邦彦如此倾力于初等数学教育,这是在他所在的层次绝无仅有的,从这个角度上来说,世界上没有人在数学教育的体系性和衔接性上做得比他更好了。


      与之相似的还有一个20世纪伟大的苏联数学家,他叫柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov),他经常在莫斯科大学主办的全苏数学冬令营中授课,但是你们要知道,莫斯科大学的数学,当年是可以和美国的普林斯顿大学分庭抗礼的,那是世界范围内数学教育和研究最顶尖级的两所名校,苏联学生素以基础扎实,能力强悍,数学物理都能胜任而闻名,他们设有类似于我国艺术专门学校之类的数理专门学校,里面竞争异常激烈,只能用残酷来形容,淘汰率极高。可以想见,能进莫斯科大学冬令营的学生有多强悍。中国在五十年代全面学习苏联,有不少学生到苏联去留学过,但是迄今为止,在莫斯科大学拿到数学博士学位的,仅有三人,一个是已故的著名数学家谷超豪,一个是中科院现任数学研究所所长周向宇,周向宇是八十年代后期,中苏关系缓和之后去苏联留学的。还有一个我不记得名字了,但他早已经不在国内了。那么,在数学基础教育的普及上,小平邦彦做出的贡献有多大,他的著作,是留给人类文明的一大笔宝贵的遗产。

 


      读小平邦彦的书,只要具备最基础的简易逻辑和集合的知识,根本不用再去参考其他的资料,他的书自成体系,却又博大精深,里面的知识环环相扣,你在读书的过程当中,必须把前文的知识真正读明白,才能去学习后面的知识,文中仅有的几个超纲的名词,对于书里知识的理解都不起明显的阻碍作用了。那么,他写的书,都是在尽力让别人思考,而思考以后,都能学明白的。在教学中,小平大师要求学生对基础知识的领悟和应用达到极限的程度,他的书的第一章,实数,其实已经是实分析的基础理论了,实分析是大学数学专业高年级三大分析课之一,还有两门是专门研究复数的复分析和专门研究函数的泛函分析。而小平邦彦大师写的能让读完高一的学生就能看懂。我在很多面对的读者层次远高于《解析入门I》的数学书中看到过本书中所提到的知识点,其他的书当然应当写得比这本书中写得深奥和详细,但是从思想上来说,绝无可能比小平邦彦大师的著作更深邃了,同时也更无可能比小平邦彦大师的著作更精彩了。所以,这本书只要高一读完了,就可以读,本科生可以读,研究生亦可以读,学生应该读,老师更应该读。在读的过程当中,就能得到提高。所以,你不要认为你基础不好,也不要认为你数学思维能力不强,因为我们世人(一般的普通人)的数学基础和能力的差别,在以数学之神的形式而存在的小平邦彦大师的眼里,那就像我们看一只蚂蚁的体长是6.3毫米还是6.25毫米的差别一样,这个差别其实并无实质上的意义,而小平邦彦大师由此就为我们提供了一个适应口径最宽的学习数学的方法,那就是他在晚年,把他毕生所学倾注在一本高中生就可以看懂的解析教材上,我们只要按照正确的方法努力去读,就能读懂,而读懂之后,就会知道怎么去应用,别人能够想到的,你也能想到,甚至很多别人想不到的,你都能想到。从熟读到思考,从思考到应用,再从应用到领悟,这就是“分析是王道”这一句话在这首顺口溜,或者说打油诗中的含义,当你们真正明白这句话的含义时,你们可以感受到,存在于课本上知识,以肉眼可见的形式进入你的头脑里面,然后自动相互作用,相互结构,成体系的表示出来,一个知识点就能照亮它所适用的范围,再遇到所谓的难题,能够像千手观音一般,伸出解决这个问题最娴熟的那只手来轻松应付。


      当你拿起这本书的时候,翻开大略浏览一下,也会觉得里面字也是字,纸也是纸,如果你真的深入去品读,越读深入,就越会发现这本书的内涵,当你发现自己在知识和能力上已经收获满满时,这本书还如一潭潇潇清泉,里面的宝藏依然取之不尽用之不竭。


     小平邦彦大师已经作古多年,但是,他的思想依然鲜活的存在于他所著的每一本书中,只要认真去读,就能以这本书为窗口,超越时空,聆听这位远去的大师在字里行间对我们以睿智而朴实的方式讲授的知识,握住他那双温暖的大手,他在天国向每一位愿意学好数学的后辈投来期盼的目光,他其实从未远去。

     《解析入门》国内翻译的名称是《微积分入门》,在翻译的评价上,我个人觉得略有矛盾,总的来说,语言平和通顺,大方向正确,但是符号的错误还是有一些的,经过仔细思考可以校正一些,我是托人从日本买来原版勘误的。此书曾得到武汉大学前校长,数学家齐民友教授的极力推崇,但是由于种种原因,2008年出版之后,没有再版,应该是知道的人不多,这本旷世经典没有得到应有的崇敬,也没有发挥出应有的价值。希望我写的这篇小文,能告知一些想学好数学的同行者,加入到和我一起呐喊呼吁的行列中来,期盼相关出版社能仔细校勘那些翻译和排版印刷的错误,并积极筹备再版。

     在此怀念并感恩小平邦彦大师。

    此致
    祝大家学业有成。

                                                 爱你们的讨论班主讲人
                                                              2017.7.10

后记:《解析入门》在日本的出版商为岩波书店,这是一家有百余年历史的著名书店,在工具辞书,自然科学书籍和社会科学书籍的出版领域享有盛誉,这家出版社尊重中国的主权和领土完整,出版物中承认一个中国,台湾是中国的一个省。首任社长岩波茂雄先生曾致力于推动中日之间的文化交流,在日本侵华战争期间,尽力倡导反战运动,向中国赠书的计划也因战争而隔断,他的继任者于1947年开始继承他的遗志,向中国赠书并延续至今。除了促进中日的文化交流外,也打开了两国互赠图书的良好风气。

 

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志愿填数学系?他们都是神仙?盘点对数学专业的6大误解

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高考完了要填志愿?有点动心想考数学专业,又担心这个专业不是自己的菜?担心这个专业太难,太枯燥,就业前景黯淡?你现在需要改变对数学系的“典型”成见,并重新建立对数学专业的认知。

 

误解1: 数学系的人都是不食人间烟火的神仙。


总是有一些人会不断向你强调,数学系的人就像《生活大爆炸》里的谢耳朵那样神一般的存在。但是,我要告诉你的是,大部分数学系的人都是普通人,他们只是对数学有偏爱而已。

 


不是所有数学系的人都戴眼镜,他们也不会走到哪里身上都揣着计算器,他们更不会只穿纯白T恤和格子衫。数学学科很容易和其他学科结合起来,这些学科包括艺术、科学、语言,甚至历史学习中都可以加入数学。所以,你得抛弃成见,并不是每一个数学系的人都是你想的那样,神仙一样的人。


误解2:如果你数学系毕业,你只能去当老师。

这完全就是胡说八道。数学系的毕业生是解决问题的好手,那意味着在诸多领域和几乎任何职位,数学系的毕业生都能胜任。是的,通过职业培训,你可以去数钱(成为会计,笑)。但是,你同样可以为保险公司工作,编写程序为某个保险产品的精算赔率。数学专业的就业有着真正的无限可能性,所以你不要在这种思想阴影下认为自己大学生涯里必须掌握教学方面的技能。

 

误解3: 所有的数学专业都一样的,因为他们只和数字打交道。

实际上,每个数学专业方向都不一样。有的方向和现实应用结合很紧,有的则只是和纯代数打交道。任何人在数学系里都能找到你感兴趣的课程,无论你只是对Excel和统计感兴趣,还是对工程应用或者玩游戏(博弈论,game theory,再笑)感兴趣。奥,数字只是我们日常使用的冰山一角。16进制数、希腊字母,还有大部分英文字母我们都在用,不仅仅是x和y。


误解4: 只有男生适合数学专业。


根据《卫报》的统计,42%的英国数学专业毕业生是妹子。在中国,一些学校数学专业的女生也比男生多,尤其一些师范类的数学专业。所以,在你选的课程之中,有相当比例的老师可能是美女老师。同样,你的数学系同学中也有不少女同学每天和数据分析和微分方程打交道。

 

误解5: 数学系的人都是心算大神!

一些人可能因为掌握了一些计算技巧在心算的时候可能真的很快。但我打赌,在你的周围朋友中,没几个能在10秒内心算出6432 ÷ 17的结果(结果是378.353……)。数学系的人也是普通人,也严重依赖计算器计算这些结果。他们不都是能背出30以内乘法表的神仙。


误解6:从数学系毕业,太难太难了。

如果到了毕业,你还只是会识数、简单统计、简单代数这种小学阶段的数学,那么你就不在我的讨论范围。毕竟,在任何专业 你想学到知识与技能都必须有足够多的付出,这样才能顺利毕业。但你不必担心数学专业的毕业问题。数学专业又不会咬死你。

 

 

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我们来看看在这些大咖眼里,数学是什么样子!

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今年8月,四年一届的国际数学家大会将再巴西里约热内卢举办。这次大会除了会组织最高级别的学术讨论,还会有很多公众级别的普及活动。

大会总结很多历史上数学家、科学家关于数学的名言。这些名言,我们哆嗒数学网的小编整理了一个150秒左右的视频,供大家欣赏。我们可以看看,在这些大咖眼里,数学到底是个什么样子。

 


lt is impossible to be a mathematician without being a poet in soul.
——Sofia Kovalevskaya
数学家的灵魂深处,必住着一位诗人。  
——柯瓦列夫斯卡娅

A mathematician is a device for turing coffee into theorems.
——Paul Erdos
数学家就是把咖啡转化成定理的机器。
——埃尔德什

Mathematics is a game played according to certain simple rules with meaningless marks on pape.
——David Hilbert
数学是根据简明规则把玩纯粹符号的纸上游戏。
——希尔伯特

 

Remember to look up at the stars and not down at your feet.
——Stephen Hawking
要记得抬头仰望星空,而不是低头只看着你的脚下。
——霍金

In math, you're either right or you're wrong.
——Katherine Johnson
数学里,非对即错。
——凯瑟琳·约翰逊

Mathematics is the music of reason.
——James Joseph Sylvester
数学是推理的乐章。
——约瑟夫·西尔维斯特

Genius is patience.
——Isaac Newton
天才在于持之以恒。
——牛顿

Mathematics is not only real, but it is the only reality.
——Martin Gardner
数学不仅仅是真实的,还是唯一的实在。
——马丁·加德纳

Beauty is the first test:there is no permanent place in the world for ugly mathematics.
——Godfrey Harold Hardy
美是数学的第一重考验,丑陋的数学在这世界上没有永驻之地。
——哈代

 

 

Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
——Albert Einstein
纯数学,究其本质,是逻辑思想的诗篇。
——爱因斯坦

Mathematics is the most beautiful and most powerful creation of the human spirit.
——Stefan Banach
数学是人类精神中最美丽最强大的创造。
——巴拿赫

If only I had the theorems! Then I should find the proofs easily enough.
——Bernhard Riemann
要是我知道定理是什么就好了!这样证明过程就容易多了!
——黎曼

Number rules the universe.
——Pythagore
数统治者宇宙.

——毕达哥拉斯

 

 

Where there is matter, there is geometry.
——Johannes Kepler
有物质的地方,就有几何学!
——开普勒

The essence of mathematics lies in its freedom.
——Georg Cantor
数学的本质在于它的自由。
——康托

 

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在数学或者物理中,什么是“事情被证明了”!

 

原文作者,AskaMathematician网站。

翻译作者,radium,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,Math001。

 

 

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最初的问题是:......让我感到困惑的是一些像巴拿赫-塔斯基悖论(又称“分球怪论”)以及其他在纯数学和理论物理中抽象的概念,都可以认为是已经“被证明”的。那岂不是违反了在真实/物理世界中只能通过实验来验证假设,从而证明某件事情的原则? 即使如此,说任何事情都可以毫无疑问地证明是不是有点不太合理?

 


物理学家:假设检验是科学探究的主力,用于决定假设成立可能性的大小。假设检验的结果不是承认,也不是否认的结果。是一个估计你会不小心看到给定结果的可能性。发生意外的可能性越小,它就越有可能成为真正的影响。 例如,我们还没有证明希格斯玻色子存在,只是因为CERN的数据偶然会产生一兆分之一的概率。 这不是一个证明。 即便如此,如果一个现象按照预测的方式运行,那么你也可以相信它是真实的。

 

事情“被证明”是确实可靠的,就像我们可以肯定地知道有人赢得了一场国际象棋比赛一样。 宇宙结构中没有任何东西可以决定棋子在棋盘上移动的方式(除了自然的变化)或谁赢了某场比赛,然而每个了解这些规则的人都可以成为胜利者。而数学,基本上就和国际象棋或其他游戏的规则差不多(虽然看似自己玩自己的,但它是最纯粹的科学,它以最简单的思想让我们摆脱对事物模糊的把控)。

 

一旦规则被建立,你就可以基于这些规则和一些逻辑证明一些事情(技术上讲,逻辑只是更多的规则)。例如,基于直接了当数学规则的合理简短列表,您可以首先定义素数是什么,然后证明它们的数量是无限的。

 

数学中的规则被称为“公理”而基于这些规则的结果被称为“定理”。例如,“你不能将一个点分成两半”这是一个公理,与此同时“有无限多的质数”是一个定理。当你第一次了解到数论和算法时,你会学到皮亚诺公理(Peano's axioms)以及基很多定义和基于这些定义的结论。就像下棋的规则一样,公理规定了在数学中你能做和不能做的事,从中人们可以自由地去探究他们可以或不可以得到的结论。数学没必要让得到的结论都来自于实际,因此它恰好包括了一些利用最有效的工具去理解它所构造的事物。

 

事实上,我们没有根据实际生活创造的数学似乎看起来没有价值,但结果常常是这些数学却变得相当的有用。例如,通过将几何学的规律从三角形,三维空间甚至距离概念中推广出来,数学家为爱因斯坦的广义相对论铺平了道路(它描述了在扭曲时空方面引力的性质)。基本上,他仅仅是把他关于时空的想法用数学上早就创造出的结论表达了出来。

 

 

巴拿赫塔尔斯基分球悖论在集合论中已经存在了一个世纪之久了。他说的是你可以(除了其他因素外)把一个球分成五个或更多的集合,旋转然后移动一些集合,然后重新组合它们可以得到和最初一样大小的两个球。这些集合不像块拼图碎片,更像雾中的水滴,几乎所有的这些集合都小于给定尺寸。值得注意的是,这些在现实生活中是完全不可能的。分球怪论托了数学的福,它不被现实的严格限制所主宰。

 

巴拿赫塔尔斯基分球悖论基于集合论中一般的公理,策梅罗-弗兰克尔(Zermelo–Fraenkel,简称ZF),但是需要增加一个具有争议的公理,即“选择公理”(ZFC)。在数学界,“具有争议”的是似乎有点用词不当;数学家们大多时候都在自顾自的写长篇论文,如果需要打断写作而交流,他们只会悻悻地相互打量一下。选择的公理对于数学,就像吃过路兵对于国际象棋一样,当它被需要时,它就出现了,但是你一般不需要它(设想你曾经在下国际象棋时被人吃了过路兵,但你并不知道具体它是什么)。

 


选择公理说的是你总是可以从无限多个集合中在每个集合里取出一个元素。如果集合只有有限个这是显然的(“放手去做就行了”),或者你可以提出一个合适的规则将这样的元素取出来(例如“每个集合中取最小的数”)。但是有时你会遇到无限个集合中的无限个元素。没有最大、最小甚至中间的元素。如果你想知道如何从这些集合中挑选一个唯一的元素,选择的公理说“大哥,稳,你可以的”。这是被提出来改变游戏规则的一个完整的陈述。这不是真的或假的问题,而是数学家与其他数学家之间一致统一以及和睦相处的问题。

 

物理学,尽管是科学的女王,我们凡人可以努力理解现实本质的手段,也不比数学好。在物理学中,你可以“证明”事物会发生或不会发生,但仅仅是基于已建立的规则:“物理定律”。例如牛顿万有引力定律说,两个相距为r,质量分别为M和m的物体间的吸引力为F=GMm/r²。不仅仅是一个事实的陈述,像这样的数学表达式允许我们精确地描述或预测事物的物理行为。根据这个定律(和其他一些)我们可以精确地证明轨道是椭圆的。注意到“精确”,但不一定是“真的”。

 

如果这些规则被实验证明是错误的,那么基于它们的证明不是真正的证明。这就是为什么物理学家如此小心地建立和验证他们的理论的每一个细节。他们花费了(似乎浪费了)几十年的时间来测试他们已经几乎100%确定的东西。因为任何基本定律的缺陷都会波及到基于它的每一个“被证明”的事物。

 

数学或物理学中的一些基本规则或假设被颠覆了。在数学中,这完全是由于逻辑,但是物理要求得更多。我们不能仅仅用逻辑来推测宇宙的规则。如果你只是用头脑空想,这个宇宙的本质将是对你一个真正的冲击。无论你有多聪明,你都需要实验和观察来了解关于世界的新事物。

 

很容易(是的.......很容易)写下一些物理规律,这些规律似乎描述了我们对宇宙的了解,但结果却是错误的。 如果没有大量精确的数据和数学来支撑它,就没有办法知道你知道的东西仅仅只是你的想法。牛顿定律是非常有用的,但最终被证明和现实也不是完全贴合的。他们根据我们当时的数据完美地描述了宇宙;当更准确(更难以获得)的数据产生“更真实”的物理理论时,我们开始意识到牛顿的物理学是仅仅只是非常好的近似值。

 

在爱因斯坦之前,我们已经习以为常地认为时间和空间是完全独立的。它采取了一些严肃的深奥的现象(例如,光速的不变性和水星轨道上的微小误差),表明时间和空间是相互关联的,它们是同一事物的不同方面。在贝尔之前,人们几乎完全笃信,无论我们是否知道这个状态是什么样的,认为一切都是在一个明确的状态下进行的,这个看似完全合理的假设就是“现实主义”。

 

同样,我们认为的宇宙和我们目前触及到的宇宙的差异(可能)是一组不可思议的深奥的、几乎不可察觉的效应(例如,放射性衰变和纠缠粒子的“不可能”统计数据的随机性)。这些效应花了很多精确的实验去验证(尽职检查,阐述,并多次验证)以及利用数学得出结论:不,一个如此基本的假设,我们称之为“现实主义”或“现实假设”实际上是错误的。量子物理学家已经超越了通常的理解,他们将这个性质定义为“单一状态”的“反事实确定性”(counterfactual definiteness)。这没什么好说的,但是如果你能看懂,你很厉害。很好。

 

在数学中,虽然你可以证明一些东西,但是最终就像棋局,你仅仅只是在棋盘上移动棋子。在逻辑领域里有很多东西需要理解和发现,但是数学,和所有人类的抽象思考一样,全都存在于我们的头脑中。

 

在物理学中,你不仅可以用物理定律来证明事物,而且那些物理定律是唯一真实的,因为它们总是在每一个场景中完美成立(我们可以测量和验证),就是说,你可以放心的相信他们。

 

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高盛2018世界杯预测:巴西夺冠,C罗4强,梅西止步8强

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高盛集团作为金融巨头,每到世界杯开赛前就会给出一个世界杯赛过的预测。近日,在其网站上发表了一篇题为《世界杯与经济2018》的报告(The World Cup and Economics 2018)的文章,文章中对2018的世界杯的比赛进行了预测。

 

高盛的研究员构造了一个统计模型用来模拟生成2018世界杯的所有比赛结果。相比于2014年用主要回归分析的办法,这次而用于预测的方法,用了更多的机器学习的技术。按高盛文章的说法,从解释效力来说,新的预测模型是之前基于泊松过程理论基础预测模型的精度的五倍。

 

高盛的模型中的变量:

1、队伍水平评分,量化队伍的能力,主要依据历史战绩。占40%


2、队员水平评分,量化队伍中队员的个人了,主要依据俱乐部的成绩和表现。占25%


3、最近比赛的成绩。占10%。


4、最近重要比赛的成绩。占10%。


5、最近比赛的得失球情况。占5%。

 

64场比赛的比赛情况的模拟,用暴力的蒙特卡罗方法,模拟了10万次。

 

 

高盛的一些主要结果:

1、 巴西将再7月15号的决赛中战胜德国,第6次捧起大力神杯。


2、 法国的夺冠概率高于德国,但不幸的事情是,他们将与巴西提前在半决赛相遇。这意味着半决赛是“提前的决赛”。

 

3、 16强中有10只欧洲队、4只南美球队、1支中北美球队、1只亚洲球队。这只亚洲队是沙特阿拉伯。

 


4、 巴西、德国、法国、葡萄牙成为最终的四强。


5、 英德大战会在7月7日的八强战举行,德国是胜利者。


6、 梅西领衔阿根廷队止步八强,梅西世界杯之梦渺茫。


7、 东道主俄罗斯虽有主场之利,但16强都进不了。


不过,高盛没有把所有的预测认为必然的,他同时给出了事件发生的概率。


比如,即便认为巴西会夺冠,但预测模型中,巴西夺冠的概率为18.5%,不到两成,第二名法国11.3%,第三名德国10.7%。而亚洲球队中,虽然沙特阿拉伯出现在了16强对阵表中,但模型给出的沙特阿拉伯进入16强的概率36.5%,低于澳大利亚的的49.8%。

 

 

另外,有的预测结果非常诡异。比如A组比赛的结果是,乌拉圭两胜一平积7分,那个平局是和沙特,然后剩下比赛全部平局,于是沙特3分,俄罗斯和埃及都2分,沙特出线。

 

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关于毕达哥拉斯,你也许不知道的10个秘密!

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原文作者,Mark Oliver。

翻译作者,math我想想,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,小米。

 

毕达哥拉斯,这个毕达哥拉斯定理背后的人不仅仅是一个数学家。毕达哥拉斯的追随者们认为他是上天派下来的,并且尊其为精神领袖。对毕达哥拉斯学派来说,数学是一种宗教体验,而有些方程式是神圣的秘密,不宜为普通人所知道。

当你的中学老师教你如何求出直角三角形的斜边长时,你可能不会跪下来把他当作神来崇拜。但是,当它第一次在古希腊发生时,这却是很多人的反应。

在这个想出如何计算三角形边长的男人背后是一个完整的教派而且正如你所想象的那样,他们有一些非常奇怪的信仰。


10.毕达哥拉斯派崇拜数字
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毕达哥拉斯有很多追随者。 一大批数学家报名成为他的学生,学习他所知道的一切,帮助他解决宇宙的伟大奥秘。这不仅仅是一群喜欢数学的人,他们成为了一个完整的教派。

毕达哥拉斯相信,数是万物的本质。他教导他的追随者说,世界由数的和谐所控,它们构成了现实的每一部分。不仅如此,他还认为这些数字几乎像神一样非常神圣。

毕达哥拉斯学派中有几个神圣的数字。7代表智慧,8代表正义,10是所有数字中最神圣的。数学的方方面都是神圣的。每当他们解决了一个新的数学定理,他们就会杀一头牛来表示对神的感谢。

希腊人认为这有点怪异。 他们不把它称为哲学或宗教,而认为这是一种邪教,一种危险的东西。毕达哥拉斯吓坏了人们。为此,人们甚至烧毁了他的房子,把他赶出城市,担心他对神圣数字的神秘控制。

 

9.毕达哥拉斯学派向数字10祈祷

毕达哥拉斯学派有一个神圣的图形标志,被称为圣十(Tetractys)。这是一个三角形,横跨四行十个点,象征着空间和宇宙的组织。他们认为10是具有最高秩序的数字,其中包含所有凡间事物的过程。他们是真正的崇拜它。

毕达哥拉斯的追随者们有一套专门用来崇奉数字10的祷文——“祝福我们,神圣的数字,你们产生了神和人!因为神圣的数字始于深奥而纯粹的统一,直到到达神圣的4。之后它就会成为万物之母,包括所有人,所有土地,最初产生、永不改变的、永远不会疲倦的神圣的数字10,一切事物的拥有者。”

如果想加入毕达哥拉斯派系,每个人都必须对圣三角宣誓。他们会以“纯粹的,圣洁的,四字的名字”的名义宣誓他们的忠诚,也就是圣十。然后他们必须支持毕达哥拉斯,他像是数学界的普罗米修斯,给人类带来了圣十。

 

8.毕达哥拉斯被当作神

毕达哥拉斯的追随者认为毕达哥拉斯是半神半人,因此称他为“圣人毕达哥拉斯”,并且告诉人们他是神的儿子——通常是赫尔墨斯或阿波罗,这取决于你向谁发出指令。

他们甚至有赞美诗来歌颂毕达哥拉斯的神性。一首歌这样唱到:“皮塞斯,萨米安部落最美丽的母亲,太阳神阿波罗怀抱着她。于是,光芒万丈的毕达哥拉斯来到世上——他是宙斯最亲近的人!”

他们甚至还认为毕达哥拉斯有超自然的力量。他的追随者们说,他可以通过抚摸鹰和熊来驯服它们。他只需要用声音用可以控制任何动物,并且他有能力在月亮上写字。

关于毕达哥拉斯最大的传说之一莫过于他黄金大腿。当有人对他的神性产生怀疑的时候,据说他就会给对方看自己黄金大腿,随后立马会得到对方的敬仰。在一个故事中,他向阿波罗的大祭司展示了自己的黄金大腿,作为奖励,他得到了一个富有神力的金箭,让他可以飞越山脉,驱赶疾病,平息风暴。

 

7.他告诉人们他可以在死后不断转世

人们开始编造一些关于毕达哥拉斯 的故事,不仅仅是因为斜边长定理的发现激起了人们对他的崇拜风潮,同时因为毕达哥拉斯本身也鼓励别人去这么做。他直接告诉人们,他是神的儿子,经多次转世,直到他现在的样子。

毕达哥拉斯宣称,在过去的生活中,他是赫耳墨斯的儿子,除了不朽之外赫尔墨斯还给毕达哥拉斯提供了他想要的一切天赋。毕达哥拉斯要求保留他每一段人生的记忆,现在可以记住他曾经的每一世。他曾经在特洛伊战争中与阿喀琉斯进行过战斗。他曾经当过卑微的渔夫。他甚至曾经是一个和权贵上床的名妓。

不仅如此,毕达哥拉斯还声称他可以用新的身体来感知旧灵魂。传说他曾经看到一条狗在街上遭到殴打,赶紧跑来阻止。“住手!别打它!”毕达哥拉斯大叫 “这是我朋友的灵魂。”他在狗的吠叫中认出了朋友的声音。

 

6.他是最早的也是最懒惰的素食主义者之一

在西方历史中,最初有一批人因为道德的原因开始吃素,毕达哥拉斯便是其中之一。他告诉他的追随者们吃死去的肉食会污染自己的身体,他们也因此不会杀生。

不过,他的原则有点奇怪。你可能记得我们之前提到过他会杀牛,同时也是素食主义者。就像一个吃鱼肉和鸡肉的素食主义者,毕达哥拉斯的素食主义不是特别的严格。

希腊作家第欧根尼在毕达哥拉斯的传记中写道:“他所做的祭品总是无生命的。”接着,提奥奇尼斯澄清道:“尽管有人说他会提供公鸡,还在吃奶的小山羊和猪。”不过,毕达哥拉斯还是有清楚的底线。“但是羊羔,”第欧根尼解释说,“从来没有!”

在希腊人看来,希腊人对毕达哥拉斯的原则和我们对希腊人的感觉一样怪异。在他的时代,希腊人散布了一个关于一个坚持说从来不吃任何活物的毕达哥拉斯人的笑话。但在被抓到吃狗肉后,这个人说:“我是吃了,但是我先杀了它们,所以它们不再是活物了。”

 

5.他的教条涉及方方面面

毕达哥拉斯学派的人可能在食肉问题上不太严谨,可是这并不意味着他们可以做任何他们想做的事情。他们在任何事情上都有近乎难以置信的严格的特殊的教条——例如规定了必须先穿哪一只鞋子。

“必须要先穿右脚的鞋子”,他告诉自己的追随者们。一旦你穿上了鞋子,他会继续说:“你不能在公共的道路上走路。”不过,他的规矩不仅限于鞋子。在关于掉在地上的食物的五秒原则问题上,他告诉他的追随者们永远不要去吃在掉下饭桌的食物。

他对性行为也有特别严格的规定。毕达哥拉斯认为,体液是男人灵魂的一部分。当男人失去一些体液,就仿佛是放弃了他们的一些力量。毕达哥拉斯的追随者们被教导尽可能避免性行为。但是如果他们控制不住,毕达哥拉斯告诉他们:“在冬天可以享受性行为带来的乐趣,但夏天,必须戒除。”

 

4.新入教的人五年不能说话

毕达哥拉斯认为保持沉默十分重要,保持安静是一个学习自我控制的方法,所以他确保每个想加入他的教派的人都要这样做。任何报名加入的人都必须连续保持五年不说话。

这部分是为了帮助人们保持纯洁,但是,有很多理由让我们相信,这与确保他们保守秘密有关。即使在古希腊,把自己称为神的儿子并让人们崇拜数字的人,不是一个标准的模范公民。

毕达哥拉斯教派的人尽力保持生活安静。所以,除非这个人可以证明自己可以保持沉默,否则他们不会让任何人进入他们教派。

然而,大多数希腊人并不了解这些沉默的侍从的深层含义。 希腊人只是很高兴成为毕达哥拉斯追随者后,因这个改变而不用谈论数字。一般来说,安静的人比话多的人更加令人印象深刻。

 

3.他可能淹死了一个发现无理数的人

西帕索斯是毕达哥拉斯最有名的追随者之一,传说他是第一个发现无理数的人,而且他可能因此而死。

西帕索斯给出了二是一个无限不循环的无理数的证明。这不仅仅是一个重大的发现,更是一个公开的反叛。毕达哥拉斯曾经教导说,所有的数字都可以表示为整数与整数的比例,而西帕索斯已经证明他的神圣的教主是错误的。

根据传说,当时他俩在一条船上,西帕索斯给毕达哥拉斯看了他的证明,然而,毕达哥拉斯抓住了西帕索斯,并把他摔到船边,把他的头按到水里,直到他不能动弹。然后毕达哥拉斯把尸体扔到船上,转向船上的其他人,并警告他们永远不要告诉别人发生了什么事。

这个故事可能不是事实,它更像是一个毕达哥拉斯寓言故事的扭曲版本,说西帕索斯被神淹死,作为向世界揭露无理数的秘密的惩罚。

但是这个故事仍然揭露了毕达哥拉斯派的一些令人胆寒的事情。他们把这个故事作为一个寓言传播给人们,告诉他的追随者们,如果他们与世界分享教派的秘密,等待他们的可能就是一个浸水的坟墓。

 

2.毕达哥拉斯演讲时总待在一个帘子后面

毕达哥拉斯派中有两种人:数学家和声闻家。数学家是毕达哥拉斯最亲密也是最值得信赖的追随者。他会亲自见面,并详细向他们解释他的定理。他们被允许知道隐藏在世界其他地方的先进数学的秘密。

当然他们不得不为这个特权付出沉重的代价。要成为一个数学家,一个人不得不放弃肉类,女性和所有的私人财产。从此以后,他们唯一的忠诚就是毕达哥拉斯了。

其余的人被允许成为声闻家,他们从未被允许看见毕达哥拉斯的脸。当他对他们说话时,毕达哥拉斯将隐藏一个面纱背后,像是奥兹国的法师一样。他不会向声闻家仔细地解释问题,他们只被要求遵循他的仪式。高端数学的危险秘密是不会告诉他们的。

 

1.他为了不伤害豆子而付出了生命的代价

毕达哥拉斯最奇怪的教规之一是他的追随者们永远不能触碰豆子。他教导说豆子会带走一部分灵魂。他解释说“它们会导致胀气,当气体出来时,会带走人的大部分灵气。”

不仅仅如此。据说他相信豆类包含了死者的灵魂,并告诉他的追随者,“吃豆子等同于啃食父母的人头。”

豆子对毕达哥拉斯派是如此神圣,以至于毕达哥拉斯愿意用生命去保护它们。 据说,一个人因为看不见毕达哥拉斯感到愤怒,就把毕达哥拉斯的房子烧掉了,这时毕达哥拉斯已经危在旦夕。

他为了活下去,他只能不停的逃跑,却在一块豆子田之前停了下来。他宣称,他宁可死,也不愿踩一颗豆子。 最后他让那个人割了自己喉咙这样豆子就能够活下去。

当然,这只是关于他死亡的许多故事之一。 但几乎所有的故事都是毕达哥拉斯死于保护豆田。在一些故事中,他因为试图推翻政府而受到攻击。而在另一些故事里,他被烧死了。但几乎在每一个故事中,毕达哥拉斯都是为了不践踏豆子而付出了自己的生命。

 

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【大结局】数学上下三万年(八):二十世纪下半叶的数学

 

 

原文作者,圣安德鲁斯大学数学与统计学院

翻译作者,mathyrl,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,math001。

  

 

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从今天起,我们将连载这部数学编年史。本文是翻译版本,因为工作量巨大,必有疏漏(包括原文也会有错误),欢迎指正。

 

这应该是网上最全的数学编年史,从公元前30000年到公元2000年,哆嗒数学网为你奉献。

 

 这里是 【大结局】数学上下三万年(八):二十世纪下半叶的数学

 

二战结束,和平与发展成为世界主题。计算机的广泛使用让世界逐步进入信息时代。

  

本期出场人物有:塞尔、霍奇、柯尔莫哥洛夫、米尔诺、斯梅尔、索伯列夫、邦别里、科恩、格罗腾迪克、阿蒂亚、森重文、康威、瑟斯顿、曼德博、唐纳森、孔涅、怀尔斯、威腾、朗兰兹等。

 

中国人或华人也有陈景润、丘成桐、王秋冬登场。

 

 

本系列下面是往期内容:

 

数学上下三万年(一):爱在西元前

 

数学上下三万年(二):从罗马时代到中世纪

 

数学上下三万年(三):大航海时代

 

数学上下三万年(四):欧洲资产阶级革命开启

 

数学上下三万年(五):十九世纪上半叶的数学

 

数学上下三万年(六):十九世纪下半叶的数学

 

数学上下三万年(七):二十世纪上半叶的数学
 

 

 

1950年

卡尔纳普(Carnap)出版了《概率的逻辑基础》(Logical Foundations of Probability)。

 

1950年

汉明(Hamming)发表了关于误差检测与误差校正编码的基础论文。

 

1950年

霍奇(Hodge)提出了关于射影代数簇的“霍奇猜想”。

 

1951年

塞尔(Serre)利用谱序列来研究纤维丛的纤维、全空间和底空间的同调群的关系。这使得他发现了空间的同调群与同伦群之间的基本关联,并证明了球面同伦群的重要结果。

 

1952年

霍尔曼德尔(Hörmander)开始了偏微分方程理论的工作。十年后他因为这项工作获得菲尔兹奖。

 

1954年

塞尔(Serre)由于他的谱序列的工作以及层的复变理论的工作获得了菲尔兹奖。

 

1954年

柯尔莫哥洛夫发表了关于动力系统的第二篇论文。这标志着KAM-理论的开始,这个理论的名字来源于柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)、阿诺尔德(Arnold)与莫泽(Moser)。

 

1955年

嘉当(Cartan)与艾伦伯格(Eilenberg)发展了同调代数,将强大的代数方法与拓扑方法关联起来。

 

1955年

诺维科夫(Novikov)证明了群的字问题不可解。

 

1955年

谷山丰(Taniyama)提出了关于椭圆曲线的猜想,将在费马大定理的证明中起到重要作用。

 

1956年

米尔诺(Milnor)出版了《论同胚于7维球面的流形》(On manifolds homeomorphic to the 7-sphere),打开了微分拓扑的新领域。

 

1957年

柯尔莫哥洛夫解决了“希尔伯特第13问题”,它是关于某些3变量连续函数不能被表为2变量连续函数的问题。

 

1958年

托姆(Thom)由于拓扑学的工作获得菲尔兹奖,特别是有关示性类、配边理论和”托姆横截理论”。

 

1959年

布恩(Boone)证明了群的许多判定问题不可解。

 

1959年

马歇尔·赫尔(Marshall Hall)出版了他的著名教科书《群论》(Theory of Groups)。

 

1960年

铃木通夫(Michio Suzuki)发现了有限单群的新的无穷族。

 

1961年

爱德华·洛仑兹(Edward Lorenz)发现了一个具有混沌现象的简单数学系统。它导致了被广泛应用的混沌理论的新数学。

 

1961年

斯梅尔(Smale)证明了n > 4的高维庞加莱猜想,即同伦等价于n维球面的n维闭流形必定是n维球面。

 

1962年

雅各布森(Jacobson)出版了他的经典教科书《李代数》(Lie algebras)。

 

1962年

索伯列夫(Sobolev)出版了《泛函分析在数学物理的应用》(Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics)。

 

1963年

约翰·汤普森(John Thompson)与费特(Feit)发表了《奇数阶群的可解性》(Solvability of Groups of Odd Order),证明了所有非阿贝尔有限单群都是偶数阶群。他们的论文用了250页来证明这个定理。

 

1963年

科恩(Cohen)证明了选择公理与连续统假设的独立性。

 

1964年

广中平佑(Hironaka)解决了代数簇上有关奇点消解的一个重要问题。

 

1965年

谢尔盖·彼得罗维奇·诺维科夫(Sergi Novikov)关于微分拓扑的工作,特别是计算稳定同伦群与分类光滑单连通流形,导致他作出“诺维科夫猜想”。

 

1965年

邦别里(Bombieri)利用他改进的大筛法证明了关于算术级数的素数分布的“邦别里中值定理”。

 

1965年

杜奇(Tukey)与库利(Cooley)发表了一篇论文,介绍了快速傅立叶变换算法。

 

1965年

塞尔顿(Selten)发表了区分在预测博弈结果时的合理决策与不合理决策的重要工作。它导致了1994年的诺贝尔奖。

 

1966年

格罗腾迪克(Grothendieck)由于他在几何、数论、拓扑与复分析的工作厄尔获得了菲尔兹奖。他的概型理论使得韦伊的几个数论猜想得以解决。他的拓子理论与数理逻辑高度相关,他给出了黎曼-罗赫定理的代数证明,并给出了曲线基本群的代数定义。

 

 

1966年

兰德尔(Lander)与帕金(Parkin)利用计算机寻找欧拉猜想的反例。他们找到了27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5。

 

1966年

艾伦·贝克(Alan Baker)证明了“格尔丰德猜想”,它是关于有理数域上代数数的线性独立性。

 

1967年

阿蒂亚(Atiyah)发表了《K理论》(K-theory),详述了他关于K理论的工作和指标定理,而之前此工作让他获得了1966年的菲尔兹奖。

 

1968年

诺维科夫(Novikov)与阿迪安(Adian)联合发表了一个证明,证明了对于d > 1与n > 4380,伯恩赛德群B(d, n)是无限的。

 

1969年

康威(Conway)发表了他的新的零散有限单群的发现。

 

1970年

艾伦·贝克(Alan Baker)由于他在丢番图方程的工作获得菲尔兹奖。

 

1970年

马季亚谢维奇(Matiyasevich)证明了“希尔伯特第10问题”不可解,即没有通用方法判定一个多项式方程是否有整数解。

 

1971年

史蒂芬·库克(Stephen Cook)提出了有关多项式时间算法的P vs NP问题。

 

1972年

托姆(Thom)发表了《结构稳定性与形态发生学》(Structural Stability and Morphogenesis),解释了突变理论。这个理论研究了渐变力导致突变的情况,在光学与生物学有重要应用。

 

1972年

奎伦(Quillen)阐述了高阶代数K理论,它是一个新工具,使用几何与拓扑的方法与思想来描述与解决代数中的重要问题,特别是环论与模论。

 

1973年

德林(Deligne)证明了三个“韦伊猜想”。

 

1973年

陈景润证明了每个充分大的偶数可表为一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和。它是对哥德巴赫猜想的重要贡献。

 

 

1974年

芒福德(Mumford)由于代数簇的工作获得菲尔兹奖。

 

1975年

费根鲍姆(Feigenbaum)发现了一个新的常数,约等于4.669201609102...,它涉及倍周期分岔,在混沌理论中起着重要作用。

 

1975年

曼德博(Mandelbrot)出版了《分形学:形态,概率和维度》(Les objets fractals, forme, hasard et dimension),描述了分形理论。

 

1976年,拉卡托什(Lakatos)的著作《证明与反驳》(Proofs and Refutations)在他去世两年后发表。首次在1963-64年分4部分发表,这部著作给出了拉卡托什关于数学如何发展的阐述。

 

1976年

瑟斯顿(Thurston)由于他在叶状结构(Foliations)的工作获得美国数学会韦伯伦几何学奖。

 

1976年

阿佩尔(Appel)与哈肯(Haken)使用1200小时的计算机时间检验了大约1500个构型证明了四色定理为真。

 

1977年

阿德曼(Adleman)、李维斯特(Rivest)和萨莫尔(Shamir)引入了公钥编码,它是一个用于传递秘密消息的系统,使用大素数和一个公开密钥。

 

1978年

费夫曼(Fefferman)由于他在偏微分方程、傅立叶分析,特别是收敛性、乘数算子、发散性、奇异积分与“哈代空间”的工作获得菲尔兹奖。

 

1978年

森重文(Mori)证明了“哈茨霍恩猜想”,即射影空间是具有丰富切丛的唯一光滑完备代数簇。

 

1979年

孔涅(Connes)出版了关于非交换积分理论的著作。

 

1980年

有限单群的分类完成。

 

1982年

曼德博(Mandelbrot)出版了《自然的分形几何》(The fractal geometry of nature),比1975年的工作更完整地发展了他的分形几何理论。

 

1982年

弗里德曼(Freedman)证明了同伦等价于4维球面的4维闭流形必定是4维球面。这是在1961年斯梅尔的工作之后证明了高维庞加莱猜想的进一步情形。

 

1982年

丘成桐(Shing-Tung Yau)由于他对偏微分方程、代数几何中的卡拉比猜想、广义相对论的正质量猜想以及实与复蒙日-安培方程的贡献获得菲尔兹奖。

 

 

1983年

唐纳森(Donaldson)出版了《自对偶连接与光滑4维流形的拓扑》(Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds),导致了关于4维流形几何的全新思想。

 

1983年

法尔廷斯(Faltings)证明了“莫德尔猜想”。他证明了对任意充分大的n,最多有有限组互素的x,y,z满足x^n + y^n  = z^n ,这对费马大定理作出重要贡献。

 

1984年

布兰吉(Louis de Brange)解决了比贝伯猜想。

 

1984年

沃恩·琼斯(Vaughan Jones)发现了3维球面中纽结和链的一个新多项式不变量。

 

1984年

威腾(Witten)出版了《超对称与莫尔斯理论》(Supersymmetry and Morse theory),包含了在微分几何研究中具有核心重要性的思想。

 

1986年

马古利斯(Margulis)证明了关于不定无理二次型在整点的值的“奥本海默猜想”。

 

1987年

泽尔曼诺夫(Zelmanov)证明了关于一个无穷维李代数何时为幂零的重要猜想。

 

1988年

朗兰兹(Langlands)是第一个获得美国国家科学院数学奖的人。他获奖是由于“将群表示论带入到与自守形式理论和数论的革命性新关系的非凡远见”。

 

1988年

艾尔基斯(Elkies)找到了欧拉猜想在n=4的一个反例,即2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4.。其后同年弗莱斯(Frye)找到了一个最小反例:95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4。

 

1989年

布尔甘(Bourgain)使用分析与概率方法解决了L(p)问题,这是在巴拿赫空间理论与调和分析中为时已久的问题。

 

1990年

德林菲尔德(Drinfeld)由于在量子群以及数论的工作在日本京都的国际数学家大会获得了菲尔兹奖。

 

1991年

泽尔曼诺夫(Zelmanov)解决了群论的有限制的伯恩赛德问题。

 

1991年

王秋冬(Quidong Wang)找到了n体问题的无穷级数解(除了少量例外)。

 

1993年

梅纳斯科(Menasco)与斯莱维(Thistlethwaite)证明了纽结理论的猜想“泰特第二猜想”,即同一个素纽结的两个约化交错图由一个扭转序列关联。

 

1994年

怀尔斯(Wiles)证明了费马大定理。

 

 

1994年

孔涅(Connes)出版了关于非交换几何的重要教科书。

 

1994年

利翁(Lions)由于他在非线性偏微分方程的工作获得菲尔兹奖。

 

1994年

约克斯(Yoccoz)由于他在动力系统的工作获得菲尔兹奖。

 

1994年

克里斯蒂娜·古皮尔堡(Krystyna Kuperberg)解决了关于动力系统拓扑的“塞夫特猜想”。

 

1995年

银行家安德鲁·比尔提供大奖悬赏求解比尔猜想:对p, q, r > 2以及互素整数x, y, z,方程x^p + y^q = z^r 无解。

 

1997年

怀尔斯由于解决了费马大定理获得沃尔夫斯凯尔奖。

 

1998年

博赫兹(Borcherds)由于在自守形式与数学物理的工作获得菲尔兹奖;高尔斯(Gowers)由于泛函分析与组合数学的工作获奖;孔采维奇(Kontsevich)由于代数几何、代数拓扑与数学物理的工作获奖;麦克马伦(McMullen)由于全纯动力系统与3维流形几何的工作获奖。

 

1998年

托马斯·黑尔斯(Thomas Hales)证明了关于最密堆积的开普勒问题。

 

1999年

互联网梅森素数大搜索项目(GIMPS)找到第38个梅森素数:2^6972593 -1。

 

1999年

康拉德(Conrad)与泰勒(Taylor)证明了“谷山-志村猜想”。怀尔斯在1993年解决费马大定理的途中证明了其中一个特殊情形。

 

2000年

在洛杉矶举行的美国数学会的一个会议上提出了“21世纪的数学挑战”。不同于100年前的“希尔伯特问题”,这次的问题由30位数学家的团队给出,其中8位是菲尔兹奖得主。

 

2000年

一个700万美元的大奖被设立来求解七个著名数学难题。称为千禧年大奖难题:P vs NP;霍奇猜想;庞家莱猜想;黎曼假设;杨-米尔斯规范场的存在性与质量缺口;纳维-斯托克斯方程解的存在性与光滑性;贝赫和斯维纳通-戴尔猜想。

 
 
 
 

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话说,在网上玩直播的是不是都应该感谢他?

 

原文作者,Jamie Condliffe

翻译作者,ALIMJAN,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,donkeycn。

 

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这就是傅里叶变换。你得感激它,因为帮你每天从网上下载音乐的、把图片压缩成很小的JPG文件的、甚至提高耳机消除噪声能力的都是它。下面介绍一下它的原理。

此公式的威力在于它能够使数学家快速掌握任何一种信号的频谱。这一点是相当牛的。但别以为只有我是这么认为的,早在1867年,物理学家开尔文勋爵也表达过自己对傅里叶分析爱慕至极。他写道:“傅里叶定理不仅是现代分析学里的最美的结论之一,而且也许可以说它充当了几乎破解任何晦涩的物理奥秘的必不可少的工具。”而且,至今仍是如此。

 

数学会将把我们分解

 

毫无疑问,傅里叶变换是数学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵(Baron Jean Baptiste Joseph Fourier,1768-1830)创立的,并发表于他1822年出版的《热的解析理论》一书中。他对热如何在物体内部及其附近流动感兴趣,并在研究此现象的过程中推导出了傅里叶变换。当初,他自己并没意识到他的发现是何等重要的贡献——傅里叶变换不仅在数学和物理领域,而且在整个科学,工程和技术领域都是重要的发现。

 

他的主要突破性结果在于他意识到复杂的信号可以简单地表示为一系列简单得多的信号的叠加。他选择用来叠加的正是你在高中学到的、在最大值与最小值之间来回震荡的、规律可预测的正弦曲线。比如,当你同时按下钢琴的三个键时,你会产生三种不同的音符,其中每个都有确定的频率——我们在谈声音的时候指的是音高——这恰似标准的正弦波:

 

然而,一旦把它们叠加起来以后,原来那悦耳的和弦音听起来就比较杂乱,就像这个:

 

 

它看起来很复杂,但是我们知道本质上它只是同时把三个普通的正弦波叠加在一起。傅里叶的灵感在于他发现:无论一种波的最终形式有多么复杂,都可以用正弦波的组合叠加来描述——哪怕这意味着这可能需要使用无穷多个正弦波。我觉得这个发现的真正高明之处在于:若你知道为了得到最终的波形来代表信号,你需要知道叠加哪些正弦波,那么你也就可以精确地知道你需要叠加哪些频率的波以及每个波相应的特性。凭借这些知识,你就能精确地知道你叠加出来的最终的信号的频谱。

 

这些是本篇刚开始介绍的那个公式一下子就能做的事情。x(t) 这一项代表你想通过简单的信号的叠加来表示的那个最初的棘手复杂的信号,e^j2πft这一项看起来有点吓人,但是它只是数学家们用来代表我们以上说的正弦曲线的一个简略表达方式。绝妙的是,把这两项相乘然后整体扔进一个积分运算——前面的那个弯曲的符号以及后面的dt——这个运算能算出每一个参与组成最终信号必需的所有正弦曲线的频率。因此,公式的值X(f),可以得出每一个需要参与叠加的简单分信号的强度和延迟。

 

这就是傅里叶变换:它的作用是能精确地揭示原始信号包含着哪些频率。这也许听起来微不足道,然而并不是。

 

传输

 

如果你要把你录制的歌放在网上,你可以只是按本来录制的原始大小的文件放上去,但那样的话,文件实在是太大了。这是因为,录制过程是个全程无损的:每一个频率在录制、混音至最后完成都会被保留。然而,如果拿一小段音频用傅里叶变换,你就会发现其中某些频率是很显著的而某些频率几乎不存在。

 

MP3格式的文件就是运用这个原理,只是它通过抛弃那些我们难以察觉的、或者是超出我们听觉范围上限的频率成分来节约空间,因为我们终归还是无法辨别出它们。整个过程都是如此,即把一首歌分割成上百万个小段,分离出重要的而抛弃那些无关紧要的频率。最终剩下的都是能够给在耳朵精准的播放出原音频效果的那些最重要的频率或音符。当然了,其文件大小要小于原来的十分之一。

 

这也跟Spotify的桌面客户端采用的Ogg Vorbis 格式的工作原理非常相似。(实际上,Vorbis采用的是傅里叶变换的快速计算版本:离散余弦变换,但其本质大略相同。)顺便说一下,Shazam也是运用类似的原理,它有着一个拥有不同歌曲频谱的数据库用于与你正在播放的歌曲的频谱比对,因为这要比直接比对两首歌曲要更可靠。就音频而言,你所戴的降噪耳机同样也是依靠傅里叶变换:有一个麦克风会记录你周围的噪音,得出其全部频谱,然后叠加与这些噪音相同频率、但位相相反的波到你的音乐中从而将类似于婴儿哭声或马路噪声之类的噪音清除。

 

当然傅里叶公式并非只有这一个技能。我们目前只谈到音频这种时间信号,当初傅里叶创立它是为了解决物体之间的热流问题。这表明,傅里叶公式也可以用来处理关于空间的问题。对于傅里叶而言,这意味着在二维平面内通过叠加一些简单的热流来表示复杂得多的热流。以十分相似的方式,傅里叶变换也可以比一个像素一个像素的处理方式更有效地来创建数字图像。

 

无损的彩色图像文件的每一个像素都有它独特的颜色。当你以JPG格式存一个图片时,整个图片被分割成许多小块,并且在每个小块都进行二维傅里叶变换。它提供了在每一小块上颜色和亮度如何变化的空间频率的描述。类似于处理MP3格式的文件那样,JPG抛弃了一些能使图像画质更高的高频的成分。然而,对于大部分人来说,人眼毕竟区分不出相近的颜色之间的一些微妙差异,因此抛弃那些高频部分后所导致的一个像素一个像素的变化,人眼几乎是看不出来的。显然,你如果继续压缩,开始抛弃越来越低频的成分时,图片会出现块效应,即在块与块的边界处颜色的变化会很明显。

 

除了那些拥有最训练有素的眼睛、耳朵的那些人,在多数情况下,类似MP3,JPG等的压缩文件是几乎不可察觉出和压缩前有何区别的。它们看起来、听起来都特别逼真而且占用空间比它们那些无损的版本来说是微不足道的。换言之,压缩让数字音乐和数字图像变得可行,使得我们更容易地分享。这一切都是一个公式的绝对惊人的妙处。毋庸置疑,写了热流理论书的傅里叶会赞成的。

 

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2018年度邵逸夫数学奖名单公布

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根据邵逸夫奖5月14日官网消息,2018年度邵逸夫数学奖已经公布。美国数学家,来自美国德克萨斯大学奥斯汀分校数学教授路易·卡法雷 (Luis A Caffarelli)获得此奖项。"以表彰他在偏微分方程上的突破性工作,包括创立一套正则理论,适用于如 蒙日−安培方程等非线性方程,及如障碍问题等的自由边界问题,这些工作影响了该领域整个世代的研究。"

路易·卡法雷在数学界被视为自由边界问题和非线性偏微分方程方面的顶级专家。在2012年,卡法雷还得到过另外一个重要的数学奖项——沃尔夫数学奖。

此次邵逸夫奖的颁奖典礼将于2018年9月26日(星期三)于香港举行。

“邵逸夫奖”是按邵逸夫先生的意愿在2002年成立,以表彰在学术及科学研究或应用上在近期获得突破性的成果,和该成果对人类生活产生深远影响的科学家,原则是不论得奖者的种族、国籍、性别和宗教信仰。
 
“邵逸夫奖”有三个奖项,分别为:天文学、生命科学与医学、数学科学。每年颁奖一次,每项奖金一百二十万美元。

“邵逸夫奖”被不少人誉为“东方诺贝尔奖”。

 

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三分钟告诉你世界上最高端的数学会议是什么样子

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世界数学家大会(International Congress of Mathematicians,简称ICM)是世界上最重要的数学会议。因为这个大会每四年举办一届,所以有着“数学界的奥运会”的别称。这个会议会讨论世界上最前沿的数学学术问题,也会有各种普及讲座推广数学。另外,被认为数学最高荣誉,有着“数学界的诺贝尔奖”的菲尔兹奖,也是在这个会议上办法的。

 

 

2018年又是世界数学家大会的举办年份。此次世界数学家大会将在巴西最大的港口城市里约热内卢召开。大会组织方精心录制了一个大约3分钟左右宣传视频,欢迎大家来参会。

 

视频虽然短小,但内容丰富。大致介绍了城市的概况和发展、城市的活动组织经验(奥运会、世界杯)、巴西组织的数学活动(数学文化节、奥数竞赛)、会场准备情况、会场周边配套和交通状况以及大会的会议内容。

 

欢迎欣赏。enjoy!

 

 

 

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我们能用计算机程序来检查数学定理的证明吗?

 

“在我看来,在传统的人类审查与计算机验证之间的选择,就像科学上在日晷与原子钟之间的选择一样。”——汤姆·海耶斯(Tom Hales, 参见 [4])

 

“由于计算机与人是非常不同的,计算机的快速进展促使这点发生了戏剧性的变化。例如,阿佩尔(Appel) 与哈肯(Haken)使用了巨量的自动运算完成了四色定理的证明,引起了大量的争论。在我看来,这些争论几乎不涉及到人们对定理的真实性或者证明的正确性。这反映出了,除了对‘定理是正确的’这种知识以外,人类还想要理解定理,这是一种持续的欲望。” ——比尔·瑟斯顿( Bill Thurston,参见[6])

 

 

一个机器检验的证明(machine-checked proof)是在叫做“证明助手”(proof assistant)的软件中撰写的证明。这个证明助手保证了撰写的明证之于“数学公理”与“逻辑规则”是可以编译的。在定理证明中使用计算机的影响是两极化的。关于这个话题,上面的引用代表了涉及到这个主题的一些观点。

 

1.到底什么是计算机辅助证明?

 

2.使用计算机来证明定理有什么长处与缺点?

 

3.对证明助手的学习使用有兴趣的人,应该如何起步呢?

 

 

动机的问题

 

计算机辅助的证明是一门技术。当时使用旧技术不能解决一些问题的时候,数学家就会关心新技术。这就是我们的动机的问题:

 

 

 

我们来看两个已经解决了的问题。第一个是魔方。第二个是安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)作出的费马大定理的证明。

 

证明丢番图方程与解魔方之间有一个很大的差别:当一个人解决了魔方的问题,他立即知道问题解决了,然而怀尔斯的证明花费了几个月的时间来进行正式的审查。

 

 

随着我们数学教育阶段的提升。我们检查答案的能力在下降。比如,我的启蒙数学课是我母亲教我的数数。就比较小的加法来说,我可以使用数手指的办法来检查我的答案。从一到十的基本数字以及用手指验证答案都是母亲教会我的。一个人学会了解代数方程,也就学会了使用变量代换来检查答案。检查微积分就更加的棘手了,我们尚可以对Wolfram Alpha报以比较大的信心(译者注,Wolfram Alpha是一个数学软件,可以做符号运算。具有计算积分的功能,还能告诉你得到答案的步骤)。至于实分析与抽象代数,学生们最终是把作业交给老师,看看教授们是否相信他们的论证,这样来检查他们的作业正确与否的。

 

 

什么是证明助手?

 

一个计算机证明助手可以对数学论证做更加系统化的检查。用户使用半形式化的语言(既不像形式逻辑那么形式化,也不像日常数学那么非形式化)来撰写他们的证明。证明助手基于某些数学基础来检查证明。正常情况下,我们想起数学基础,我们想到的是集合论。然后由于技术的原因,证明助手是就“类型论”的基础来实现的。在提出ZFC集合论的大致同时,罗素与怀特海提出了类型论作为另一个数学基础。有不同的数学基础,这在哲学上产生了不同的影响。对于我们来说,这是有争议的,我们在这个问题上就此打住。

 

 

下图展示了证明助手Lean中的一个正确的证明与一个不正确的证明:

 

 

红色错误信息已经很清楚地显示了上面的证明是错误的。下面的证明,由于没有错误,可以迅速看出是正确的。就像魔方一样,一个证明是否正确可以很清楚的看出来。

 

 

这看起来有点复杂。这是必须的吗?可能是。比如,海耶斯的开普勒定理的证明由于太复杂而不能让期刊编辑来检查。那个证明最终是用证明助手HOL-light来检查的。那个形式化地验证开普勒猜想的计划叫做Flyspeck计划。Flyspeck花费了几年数年时间与微软Azure Cloud 五千个处理器小时才完成。一些人期望一个不那么重度依赖于计算机的证明,以便数学家可以阅读那个证明。

 

乔治·贡蒂尔(Georges Gonthier)及其微软研究院的同事作出了第一个经过形式验证的四色定理的证明。这个不同于那个最开始的基于计算机的四色定理的证明。本质上,那个原始的证明是拥有非常大量的计算机计算的标准数学论证。贡蒂尔的工作审查了这一点:支撑四色定理证明的算法,事实上,做了我们相信它做的。

 

 

费特-汤普森奇阶定理(Feit-Thompson odd order theorem),是有限单群分类的基石。贡蒂尔的团队使用证明助手Coq形式证明了它。费特-汤普森奇阶定理的原始论文有255页。这个团队其它被高关注度的项目还包括素数定理、哥德尔不完全定理以及中心极限定理的形式证明。

 

 

如何起步?

 

 

这些工具并不是只能用于那种耗费数年的大规模的证明。也存在一些库包含了如下学科的定理与定义:实分析、一般拓扑学、表示论与抽象代数。在工业界,证明助手也用于验证软件与算法。这是非常强大的。一旦一个人可以用数学上严格的方式来宣称“这个程序P没有缺陷(bug)”,他就能证明这件事。利用形式证明软件,程序员可以确信他们的程序是没有错误的。

 

市面上有很多证明助手软件供人使用。它们都是免费的。

 

Isabelle-HOL是劳伦斯·保尔森(Lawrence Paulson)编写的一个证明助手。它基于高阶逻辑。Isabelle 拥有大量可以使用的库以及一些强大的"自动化技术"。这里自动化技术指的是证明助手能为你自动找出一些比较短的证明。HOL-Light是约翰·哈里森(John Harrison)所写、拥有更小的内核的类似程序。

 

Coq 与Lean都基于依赖类型论。开发它们的团队分别被蒂埃里·科康(Thierry Coquand) 与 里奥·德·莫拉(Leo de Moura)所带领。依赖类型论意味着数据类型可以依赖于其它数据类型——这正是我们所希望的。例如,对于任意的k, 我们希望有这么一个类型Fin(k),它是成员基数为k的有限集合。这些证明助手,即使是近期发布的,自动化能力也较弱;由于技术原因,在依赖类型论中实现自动化,是更困难的办法(至少目前是这样)。

 

上面提到的证明助手都有在线手册。Lean 2有一个交互式的网页版教程(https://leanprover.github.io/tutorial/)。Lean的当前版本号是3,不过笔者发现阅读这个教程是总体上品味证明助手思想的好方式。

 

 

问题与展望

 

对于一线数学家来说,证明助手当前还没有好到可以让他们自如的使用的地步。海耶斯确实在他的开普勒问题的工作中使用了HOL-light,不过,除非数学家迫不得已,他们是不愿意做这样类似的事情的。当前的库,还没有足够大到包括关于日常定理的日常论证。例如,我们本来想证明一个关于紧李群的标准结论,发现哈尔定理(Haar’s theorem,证明哈尔测度存在性的)不在我们的库里。这个定理经常被引用,它的证明冗长,而且,就当前的技术来说,得到我们希望的那种形式证明还需要花费数年时间。

 

还有另一个更加本源的反对理由。用瑟斯顿的语言来说,数学,最终是关于数学对象的理解,防止我们的理解走入迷途的证明仅仅是第二位的。用伟大的组合学家罗塔(G.-C. Rota)的话说,“说一个数学家‘证明了定理’就像是说一个作家‘写了一串单词’一样”。他的意思是,算法化的“证明搜索”那种形式的论证不是我们所想要的。

 

不过,并没有什么证据表明,一个人理解数学对象与使用计算机证明助手是相冲突的。机器检验并不是证明搜索的同义词。当前,期刊有人类审查员来检查细节的技术性的论证。如果能够使用计算机来检查这些,我们损失任何东西,反而得到了更多的可核查性。

 

 

史蒂芬·沃尔弗拉姆(Steven Wolfram)最近对形式证明产生了兴趣。沃尔弗拉姆的团队已经在努力工作以使Mathematica与形式证明合作[1]。相关的语言学家、计算机科学家以及数学家时常在考虑那些让计算机代码看起来更像日常数学的方法。最终目标是提高审查过程的效率。

 

 

所有的期刊都要求我们使用LaTeX来写论文——虽然并不一直如此。也许在未来,一些期刊将会为了计算机检查而要求半形式化语言的证明。那样,期刊编辑将把更多注意力放在清晰性以及数学文章的总体展示上面——这就是加深了人类对数学的理解。

 

 

 

致谢

 

我对卡耐基梅隆大学的杰里米·阿维加德(Jeremy Avigad)和匹斯堡大学的汤姆·海耶斯(Tom Hales)致以最大的感激,是他们教会我我所知道的关于证明助手的知识。 我同样对约翰霍普金斯大学的艾米利·里尔(Emily Riehl)表示感谢,是他让我知道了比尔·瑟斯顿(Bill Thurston)的《论证明与数学的进展》(On Proof and Progress in Mathematics)。这篇杰出的文章,我在本文中引用了多次。最后,我把这个笔记献给晚年的弗拉基米尔·沃沃斯基(Vladimir Voevodsky)。我个人从未见过他,不过,他给我的多位老师的影响,他的论文,他的讲稿记录,都是我的本科教育中最重要的东西。

 

 

 

 

 

原参考文献

[1] Geuvers, H., England, M., Hasan, O., Rabe, F., Teschke, O. Intelligent Computer Mathematics, 10th International Conference, CICM 2017, Edinburgh, UK, July 17-21, 2017, Proceedings.

[2] Gonthier, G.: Formal proof—the Four Color Theorem. Notices of the AMS 55(11), 1382–1393 (2008)

[3] Georges Gonthier, Andrea Asperti, Jeremy Avigad, Yves Bertot, Cyril Cohen, Fran¸cois Garillot, Stéphane Le Roux, Assia Mahboubi, Russell O’Connor, Sidi Ould Biha, Ioana Pasca, Laurence Rideau, Alexey Solovyev, Enrico Tassi, and Laurent Théry, A machine-checked proof of the odd order theorem, Interactive Theorem Proving – 4th International Conference, ITP 2013, Rennes, France, July 22-26, 2013. Proceedings (Sandrine Blazy, Christine Paulin-Mohring, and David Pichardie, eds.), Lecture Notes in Computer Science, vol. 7998, Springer, 2013, pp. 163–179.

[4] Hales, T., & Hales, T. C. (2012). Dense sphere packings: a blueprint for formal proofs (Vol. 400). Cambridge University Press.

[5] Hales, T.C. Introduction to the Flyspeck project. In Thierry Coquand, Henri Lombardi, and Marie-Franc¸oise Roy, editors, Mathematics, Algorithms, Proofs, number 05021 in Dagstuhl Seminar Proceedings, Dagstuhl, Germany, 2006. Internationales Begegnungs- und Forschungszentrum f¨ur Informatik (IBFI), Schloss Dagstuhl, Germany. http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2006/432.

[6] Thurston, W.: 1994, ‘On Proof and Progress in Mathematics’, Bulletin of the American Mathematical Society 30(2), 161–177.

 

 

 

 

 

数学上下三万年(七):二十世纪上半叶的数学

原文作者,圣安德鲁斯大学数学与统计学院

翻译作者,mathyrl,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,math001。

  

 

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从今天起,我们将连载这部数学编年史。本文是翻译版本,因为工作量巨大,必有疏漏(包括原文也会有错误),欢迎指正。

 

这应该是网上最全的数学编年史,从公元前30000年到公元2000年,哆嗒数学网为你奉献。

 

 这里是 数学上下三万年(六):十九世纪下半叶的数学

 

人类历史上第一次世界大战和第二次世界大战在这一时期发生,战争催生了科技进步,同时数学也向两个完全不同的方向发展——与现实需求结合的应用数学,以及更加理论化抽象化的基础数学。这段时间数学界大师辈出,重要的历史节点不断。而中国进入民国时期,现代大学制度开始确立。知识界开始宣扬引进“德先生”和“赛先生”。这个时期,中国也催生不少大师。

  

本期出场人物有:希尔伯特、罗素、普朗克、勒贝格、哈代、爱因斯坦、庞加莱、外尔、凯恩斯、巴拿赫、谢尔宾斯基、塔尔斯基、科尔莫戈诺夫、布劳威尔、豪斯道夫、怀特海、诺特、阿廷、冯诺依曼、图灵、哥德尔、香农、丘奇、韦伊、维纳。

 

 

本系列下面是往期内容:

 

数学上下三万年(一):爱在西元前

 

数学上下三万年(二):从罗马时代到中世纪

 

数学上下三万年(三):大航海时代

 

数学上下三万年(四):欧洲资产阶级革命开启

 

数学上下三万年(五):十九世纪上半叶的数学

 

数学上下三万年(六):十九世纪下半叶的数学

 

 

1900年

希尔伯特在巴黎的第二届国际数学家大会上提出了23个问题作为20世纪的挑战。这些问题包括连续统假设、实数的良序化、哥德巴赫猜想、代数数的幂的超越性、黎曼猜想、“狄利克雷原理”的扩展等等。大部分问题在20世纪得到解决,每一个问题的解决都是数学界的一个重要事件。

 

 

1900年

古尔萨(Goursat)出版《数学分析教程》(Cours d'analyse mathematique),引入了许多新的分析概念。

 

1900年

弗雷德霍姆(Fredholm)在《求解狄利克雷问题的新方法》(Sur une nouvelle méthode pour la résolution du problème de Dirichlet)中发展了他的积分方程理论。

 

1900年

费耶(Fejér)发表了傅立叶级数的一个基本求和定理。

 

1900年

列维-齐维塔(Levi-Civita)和里奇-库尔巴斯托罗(Ricci-Curbastro)出版了《绝对微积分方法及其应用》(Méthodes de calcul differential absolu et leures applications),其中他们建立了张量理论,15年后在广义相对论中用到。

 

1901年

罗素(Russell)发现了“罗素悖论”,用一种简单的方式说明了朴素集合论固有的问题。

 

1901年

普朗克(Planck)提出了量子理论。

 

1901年

求常微分方程数值解的龙格库塔法(Runge-Kutta method)被提出。

 

1901年

勒贝格(Lebesgue)阐述了测度论。

 

1901年

迪克逊(Dickson)出版了《线性群并述伽罗瓦理论》(Linear groups with an exposition of the Galois field theory)。

 

1902年

勒贝格给出了“勒贝格积分”的定义。

 

1902年

巴普·利维(Beppo Levi)第一次提出了选择公里。

 

1902年

吉布斯(Gibbs)出版了《统计力学基本原理》(Elementary Principles of Statistical Mechanics),这份漂亮的描述将统计力学建立在坚实的基础上。

 

1903年

卡斯泰尔诺沃(Castelnuovo)出版了《解析与射影几何》(Geometria analitica e proiettiva),这是他在代数几何的最重要的著作。

 

1904年

策梅洛(Zermelo)利用选择公理证明每个集合可以被良序化。

 

1904年

洛仑兹(Lorentz)引入了“洛仑兹变换”。

 

1904年

庞加莱提出庞加莱猜想:每个同伦等价于3维球面的3维闭流形必定是3维球面。

 

1904年

庞加莱在一个讲座中提出一种相对性理论来解释迈克尔逊-莫雷实验。

 

1905年

爱因斯坦(Einstein)发表了狭义相对论。

 

1905年

拉斯克(Lasker)证明了多项式环理想分解为准素理想的分解定理。

 

1906年

弗雷歇(Fréchet)在他的博士论文研究了度量空间的泛函,描述了紧致性的抽象概念。

 

1906年

马尔可夫(Markov)研究了随机过程,后被称为“马尔可夫链”。

 

1906年

贝特曼(Bateman)将拉普拉斯变换应用于积分方程。

 

1906年

科赫(Koch)发表了《平面曲线理论若干问题研究的初等方法》(Une methode geometrique elementaire pour l'etude de certaines questions de la theorie des courbes plane),其中包含了“科赫曲线”。它是一条具有无穷长度且处处不可微的连续曲线。

 

1907年

弗雷歇(Fréchet)发现了关于“平方勒贝格可积函数”空间上的泛函的积分表示定理。里斯(Riesz)独立地发现了相似的结果。

 

1907年

爱因斯坦发表了他的等效原理,即重力加速度与机械力的加速度是无区别的。它是广义相对论的关键组成部分。

 

1907年

希加德(Heegaard)和德恩(Dehn)出版了《位置分析》(Analysis Situs),标志了组合拓扑学的开端。

 

1907年

布劳威尔(Brouwer)关于数学基础的博士论文对数学的逻辑基础提出了挑战,标志了直觉主义流派的开端。

 

1907年

德恩(Dehn)对于群表示提出了字问题和同构问题。

 

1907年

里斯(Riesz)证明了关于希尔伯特空间上傅立叶分析的“里斯-费舍尔定理”。

 

1908年

戈塞(Gosset)引入“学生t检验”来处理小样本。

 

1908年

哈代(Hardy)和温伯格(Weinberg)提出了一个定律来描述显性遗传特征和隐性遗传特征在一个群体中如何传播。奠定了群体遗传学的数学基础。

 

1908年

策梅洛(Zermelo)出版了《论集合论基础》(Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre)。他把集合论建立在七个公理上:外延公理,基本集合公理,分离公理,幂集公理,并集公理,选择公理和无穷公理。旨在克服康托尔遇到的集合论困难。

 

1908年

庞加莱出版了《科学与方法》(Science et méthode),这也许是他最著名的大众读物。

 

1909年

卡迈克尔(Carmichael)研究伪素数。

 

1909年

爱德蒙·兰道(Edmund Landau)给出了解析数论的第一个系统介绍。

 

1910年

罗素(Russell)和怀特海(Whitehead)出版了《数学原理》(Principia Mathematica)的第一卷。他们试图将整个数学建立在逻辑基础上。他们能够提供集合论、有限和超限算术、和基本测度论主要定理的详细推导。最后第三卷在三年后出版,而计划中关于几何的第四卷没有完成。

 

1910年

斯坦尼茨(Steinitz)在《域的代数理论》(Algebraische Theorie der Körper)给出了域的第一个抽象定义。

 

1911年

谢尔盖·伯恩斯坦(Sergi Bernstein)在对魏尔斯特拉斯1885年一个定理的构造性证明中引入了“伯恩斯坦多项式”。

 

1912年

当儒瓦(Denjoy)引入了“当儒瓦积分”。

 

1913年

哈代(Hardy)收到了拉玛努金(Ramanujan)的信。他把拉玛努金带到剑桥,他们共同写了5篇卓越的数论论文。

 

 

1913年

外尔(Weyl)出版了《黎曼曲面概念》(Die Idee der Riemannschen Flache),把分析、几何与拓扑连接在一起。

 

1914年

豪斯道夫(Hausdorff)出版了《集合论的要点》(Grundzüge der Mengenlehre),其中他创建了一种拓扑度量空间的理论。

 

1914年

比伯巴哈(Bieberbach)引入了“比伯巴哈多项式”,用于逼近将给定单连通区域共形映射到圆盘的函数。

 

1914年

哈那德·玻尔(Harald Bohr)与爱德蒙·兰道(Edmund Landau)证明了关于ζ函数的零点分布的定理。

 

1915年

爱因斯坦提交了一篇论文,给出了广义相对论的定稿。

 

1916年

比伯巴哈(Bieberbach)提出了比伯巴哈猜想。

 

1916年

麦考利(Macaulay)出版了《模系统的代数理论》(The algebraic theory of modular systems),研究了多项式环的理想。它包含了很多出现在“Grobner基”理论中的思想。

 

1916年

谢尔宾斯基(Sierpinski)给出了第一个绝对正规数的例子,这种数在任何基底下每个数字出现机会均等。

 

1917年

挂谷宗一(Kakeya)提出了关于最小面积的问题。

 

1919年

罗素(Russell)出版了《数学哲学引论》(Introduction to Mathematical Philosophy),大部分在罗素因反战活动入狱时在狱中写成。

 

1919年

豪斯道夫(Hausdorff)引入了“豪斯道夫维数”的概念,它是一个物体的拓扑维数与3之间的一个实数。它被用于研究例如科赫曲线这样的对象。

 

1920年

高木贞治(Takagi)发表了关于类域论的基础性论文。

 

1920年

哈塞(Hasse)发现了“局部-整体”原理。

 

1920年

西格尔(Siegel)的论文在丢番图逼近理论上有重要地位。

 

1920年

谢尔宾斯基(Sierpinski)和马祖尔克维奇(Mazurkiewicz)创立了《数学基础》(Fundamenta Mathematicae)。

 

1921年

凯恩斯发表了他的《论概率》(Treatise on Probability),他认为概率是一个逻辑关系,因此是客观的。涉及概率关系的命题具有独立于人们意见的真值。这对统计和经济都有深远的影响。

 

1921年

费希尔(Fisher)将似然性概念引入到统计学。

 

1921年

博雷尔(Borel)发表了一系列关于博弈论的论文,他成为第一个定义策略博弈的人。

 

1921年

埃米·诺特(Emmy Noether)出版了《环中的理想论》(Idealtheorie in Ringbereichen),这在现代抽象代数学有根本重要性。

 

1922年

理查森(Richardson)出版了《通过数值过程预报天气》(Weather Prediction by Numerical Process)。他是第一个将数学方法,特别是有限差分法,用于预测天气的人。手算的计算让人望而却步,只有计算机的发展让他的想法得以实现。

 

1922年

巴拿赫(Banach)由于一篇关于测度论的论文而获得讲师资格。他开始了关于赋范向量空间的工作。

 

1922年

弗兰克尔(Fraenkel)试图将集合论建立在公理化基础上。

 

1922年

切博塔廖夫(Chebotaryov)证明了关于算术级数中素数密度的定理。

 

1922年

费耶(Fejér)和里斯(Riesz)发表了关于共形映射的重要工作。

 

1922年

柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)构造了一个几乎处处发散的可和函数。

 

1923年

斯达迪(Study)发表了关于低维实与复代数的重要工作。

 

1924年

亚历山大(Alexander)引入了著名的“亚历山大带角球”。

 

1925年,费希尔(Fisher)出版了《研究工作者的统计方法》(Statistical Methods for Research Workers)。他给出用于生物学的实验方法和统计方法。

 

1925年

怀特海(Whitehead)出版了《科学与当代世界》(Science and the Modern World)。它来源于在美国的一系列讲座,成为他后来的形而上学的导论。他考虑了“科学唯物主义”(自然界只有物质和能量)的成长、成功与影响。

 

1925年

贝西科维奇(Besicovitvch)解决了关于最小面积的“挂谷问题”。

 

1925年

克鲁尔(Krull)证明了关于分解阿贝尔算子群的“克鲁尔-斯密特定理”。

 

1926年

瑞德迈斯特(Reidemeister)出版了关于纽结理论的重要著作《节点和群》(Knoten und gruppen)。

 

1926年

阿廷(Artin)与施雷尔(Schreier)发表了关于有序化形式实域与实闭域的论文。

 

1926年

巴拿赫(Banach)与塔斯基(Tarski)在《数学基础》(Fundamenta Mathematicae)上联合发表一篇论文《分解点集为相同的两部分》(Sur la decomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes)发表了“巴拿赫-塔斯基悖论”

 

1927年

埃米·诺特(Emmy Noether),赫尔姆特·哈塞(Helmut Hasse)和理查·布劳尔(Richard Brauer)开展关于非交换代数的工作。

 

1927年

阿廷(Artin)在《一般性互反律的证明》(Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes)发表了他的互反律。

 

1928年

冯·米塞斯(Von Mises)出版了《概率,统计与真相》(Probability, Statistics and Truth)。

 

1928年

冯·诺依曼(Von Neumann)证明了博弈论的极小极大定理。

 

1928年

霍普夫(Hopf)引入了同调群。

 

1929年

格尔丰德(Gelfond)给出了关于有理数域上的代数数的线性独立性的猜想。

 

1930年

范德瓦尔登(Van der Waerden)出版了重要著作《现代代数学》(Modern Algebra)。这部两卷本著作展示了由诺特、希尔伯特、戴德金和阿廷发展的代数学。

 

1930年

胡尔维茨(Hurewicz)证明了关于可分度量空间到紧致空间的嵌入定理。

 

1930年

库拉托斯基(Kuratowski)证明了关于平面图的定理。

 

1931年

乔治·戴维·伯克霍夫(G D Birkhoff)证明了一般遍历定理。通过使用勒贝格测度,将麦克斯韦-玻尔兹曼气体分子运动理论转变为严格的原理。

 

1931年

哥德尔(Gödel)发表了《在数学以及相关系统中的形式不可判定命题》(Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme)。他证明了关于公理系统的基础性结果,表明在任何包含算术系统的公理化数学系统中存在不能在公理系统内被证明或证伪的命题。特别地公理的相容性不能被证明。

 

 

1931年

冯·米塞斯(Von Mises)将样本空间的思想引入到概率论。

 

1931年

博苏克(Borsuk)发表了度量微分几何的收缩理论。

 

1932年

哈尔(Haar)引入了群的“哈尔测度”。

 

1932年

赫尔(Hall)出版了《具有素数幂阶的群理论的贡献》(A contribution to the theory of groups of prime power order)。

 

1932年

马格努斯(Magnus)证明了对于单关系群,字问题为真。

 

1932年

冯·诺依曼(Von Neumann)出版了关于量子力学的《量子力学的数学基础》

 

 

1933年

柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)出版了《概率论基础》(Foundations of the Theory of Probability),展示了概率的公理化处理。

 

1934年

格尔丰德(Gelfond)与施奈德(Schneider)分别独立地证明了和希尔伯特第七问题有关的命题。他们证明了当a是代数数(不等于0和1)且q为无理代数数,a^q为超越数。

 

1934年

勒雷(Leray)证明纳维-斯托克斯方程弱解的存在性。

 

1934年

佐恩提出了“佐恩引理”,该引理可能由杜奇(Tukey)命名。它等价于选择公理。

 

1935年

邱奇(Church)发明了“λ演算”,对于今天的计算机科学家是一件无价的工具。

 

1936年

图灵(Turing)发表了《论可计算数及其在判定问题上的应用》(On Computable Numbers, with an application to the Entscheidungsproblem),其中描述了一种理论上的机器,现在称为“图灵机”。它成为可计算性理论的重要组成部分。

 

1936年,邱奇(Church)出版了《初等数论中的一个未解决问题》(An unsolvable problem in elementary number theory)。其中包含了邱奇定理,它表明算术没有判定程序。

 

1937年,维诺格拉多夫(Vinogradov)出版了《关于素数理论的一些定理》(Some theorems concerning the theory of prime numbers),其中他证明了每个充分大的奇整数可以表为三个素数之和。这是对解答哥德巴赫猜想的重要贡献。

 

1938年

柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)出版了《概率论中的解析方法》(Analytic Methods in Probability Theory),它为马尔可夫随机过程理论奠定了基础。

 

1939年

道格拉斯(Douglas)给出了普拉托问题的完整解答,证明了给定一个边界存在一个极小曲面以它为边界。

 

1939年,亚伯拉罕·艾伯特(Abraham Albert)出版了《代数的结构》(Structure of Algebras)。

 

1940年

贝尔(Baer)引入了内射模的概念,开始研究几何中的群作用。

 

1940年

亚历山德罗夫(Aleksandrov)引入正合序列。

 

1941年

林尼克(Linnik)在数论中引入大筛法。

 

1941年

亚伯拉罕·艾伯特(Abraham Albert)开始关于非结合代数的工作。

 

1942年

斯廷罗德(Steenrod)发表了一篇论文,其中首次引入了“斯廷罗德平方”。

 

1942年

艾伦伯格(Eilenberg)和麦克兰恩(Mac Lane)发表了一篇论文,首次引入了“Hom”与“Ext”。

 

1943年

马歇尔·赫尔(Marshall Hall)发表了关于射影平面的工作。

 

1943年

纳依玛克(Naimark)证明了关于希尔伯特空间中算子的自伴代数的“盖尔芳德-纳依玛克定理”。

 

1944年

冯· 诺伊曼(Von Neumann)和摩根斯坦(Morgenstern)出版了《博弈论与经济行为》(Theory of Games and Economic Behaviour)。博弈论被用于研究经济学。

 

1944年

阿廷(Artin)研究了满足最小条件的环,现在称为“阿廷环”。

 

1945年

艾伦伯格(Eilenberg)和麦克兰恩(Mac Lane)引入术语“范畴”和“自然变换”。

 

1946年

韦伊(Weil)出版了《代数几何基础》(Foundations of Algebraic Geometry)。

 

1947年

乔治·伯纳德·丹齐格(George Dantzig)引入了最优化问题的单纯形法。

 

1948年

诺伯特·维纳(Norbert Wiener)出版了《控制论:或关于在动物和机器中控制和通信的科学》(Cybernetics: or, Control and Communication in the Animal and the Machine)。“控制论(cybernetics)”一词来源于维纳。该书详述了关于信息控制理论的工作,特别是应用于计算机。

 

1948年

香农(Shannon)发明了信息论,并应用数学方法来研究信息传输的误差。这在计算机科学与通信是至关重要的。

 

1948年

施瓦茨(Schwartz)出版了《函数、微商、傅里叶变换概念的推广及其在数学物理中的应用》(Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques),这是他关于广义函数论的第一篇重要出版物。

 

1949年

莫奇莱(Mauchly)和爱克特(John Eckert)建造了二进制自动计算机(BINAC)。这台机器的一个重要进步是将数据存储在磁带上而不是穿孔卡片。

 

1949年

塞尔伯格(Selberg)和埃尔德什(Erdös)找到了素数定理的一个不使用复变函数论的初等证明。

 

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10个最为酷炫的数学结论!欧拉公式只能排第四!

原文作者,Michael Alba

翻译作者,donkeycn,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,小米。

 

 

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许多人会对晦涩的符号以及严格的数学规则望而生畏,一旦看到一个问题中既有数字又有字母,就会很容易放弃。然而,虽然数学有时可能是困难且难以理解的,但它可以证明的结果有时却可以是美丽的、令人难以置信的,或仅仅只是出人意料的。就比如如下这些结果:


10、 四色定理

四色定理最先是由一个叫Francis Guthrie的人在1852年发现的。当时他试图给一幅画有英国所有郡的地图着色(这是在互联网发明之前,根本没有什么工具可以使用)。他发现了一些有趣的东西:只需最多四种颜色,他就能确保任何两个有公共边界的郡都着不同的颜色。Guthrie想知道这个结论是否对所有的地图成立,这个问题成了多年来一直没有解决的数学趣题。


直到1976年(经历了一个多世纪),这个问题终于被Kenneth Appel和Wolfgang Haken解决了。他们的证明相当复杂并且需依赖于计算机。它指出,在任何政区图中(比如说,画有多个国家的地图),对每个国家进行着色,使得着相同颜色的国家不相邻,只需要四种颜色就足够了。


9、 布劳威尔不动点定理

这个定理来自于一个被称为拓扑学的数学分支,是鲁伊兹·布劳威尔发现的。虽然它的专业表述很抽象,但它在现实世界中有许多令人着迷的应用。现在假设我们有一张图片(例如,蒙娜丽莎),然后我们拿来它的一个副本。我们可以对这个副本做任何我们想做的,放大它,缩小它,旋转它,把它揉作一团,等等。布劳威尔不动点定理说,无论我们对那个副本做了什么,只要我们把它放在原始的图片正上方(且副本在原始的图片上的投影不超出原始的图片的范围),副本上必然存在至少一点,使得该点恰好在它所对应的原始图片上的相应点的正上方。这个点可能是蒙娜丽莎的眼睛,耳朵,或微笑的一部分,虽然不知道它究竟是哪个点,但它确实是存在的。


这在三维空间中也是成立的:现在想象我们有一杯静置的水,然后拿起勺子,想怎么搅拌就怎么搅拌,然后再等它完全静止。由布劳威尔不动点定理,将有至少一个水分子,它会恰好位于搅拌前所处于的位置。(哆嗒小编注:意思是这个意思,单用分子举例子,数学角度看,并不严谨。)


8、 罗素悖论

在19、20世纪的世纪之交,很多人着迷于一个被称为集合论(我们将在后面稍加讨论)的新数学分支。简单地说,集合就是放在一起的一堆东西。当时的观点是,任何东西都可以构成一个集合:所有种类的水果构成的集合、所有美国总统构成的集合,这些都是完全有效的。另外,有一点很重要,集合可以包含其它集合(如前面句子:所有集合的集合也是集合)。在1901年,著名数学家伯特兰·罗素意识到这种观点有一个致命缺陷(并因此导致了第三次数学危机),即:并非任何东西都能构成一个集合。

罗素决定对此进行深入研究,并构造了一个集合,其元素为所有的不以自己作为元素的集合。因为所有的水果构成的集合不包含自己作为元素(估且不论西红柿算不算水果),所以它属于罗素构造的那个集合,当然还有许多其它符合该条件的集合。但是罗素构造的那个集合本身又如何呢?如果它不包含自己作为元素,那么按照它的定义,它就应该包含自己。但是等等……现在它确实包含了它自己,所以按照它的定义,我们自然又得把它拿出来。然后,还是按照它的定义,我们现在又必须把它放回去……等等。这一逻辑悖论导致了集合论(它是当今数学最重要的分支之一)的彻底变革。


7、 费马大定理

还记得在学校里学过的毕达哥拉斯定理吗?它是有关于直角三角形的,说的是:直角三角形中,两个较短边的平方和等于最长边的平方(x² + y² = z²)。皮埃尔·德·费马最著名的定理是:如果你将上述方程中的指数2换成任何一个大于2的正整数,那么这一方程就没有正整数解了(例如,x³ + y³ = z³ 没有正整数解)。


正如费马本人所写的:“我发现了一个绝妙的证明,但书旁边的空白太窄了,写不下。”那真是太糟糕了,因为费马早在1637年就提出这个问题,但它在相当长的一段时间内没有被证明。在经历了很长一段时间后,我的意思是,它终于在1995年(在问题被提出了358年之后)由安德鲁·怀尔斯所证明。


6、 末日论

此处可以合理地假设这篇文章的大部分读者都是人类。作为人类,本条目将特别发人深省:数学可以用来推断我们这个物种可能会在什么时候灭绝。无论如何,我们得用上概率。

这个论点(已经存在了大约30年,并且已经被发现或重新发现了好几次)基本上都是在说人类的时间就快到了。一个版本的说法(归功于天体物理学家J. Richard Gott)出奇地简单:如果把人类这一物种完整的存续时间看成是一条人类从出现到灭绝的时间线,那么我们可以来推断我们现在位于该时间线的何处。

 

因为“现在”这一时刻只不过是我们作为一个物种、在我们存续时间内的一个随机的时刻,因此我们可以认为,我们有95%的概率处于该时间线的中间95%的某处。如果我们现在恰好位于该时间线的前2.5%分位点处,那留给我们人类的时间最长。如果我们现在恰好位于该时间线的前97.5%分位点处,那留给我们人类的时间最短。这就让我们能够给出人类还能存续多久的一个范围估计。Gott认为,有95%的概率,人类将会在从现在开始的5100年后到780万年后之间的某个时刻灭亡。所以,人类啊,该干嘛干嘛去吧,最好是赶紧去看看你的人生目标清单上还剩下些什么。


5、 非欧几何

你在学校里学过的、也许还记得的一点点数学大概就是几何了,甚至也就仅仅是你在笔记里随手涂鸦的那些东西。我们大多数人熟悉的几何叫做欧几里得几何,它基于五条相当简单的、不言自明的关于点和线的公理。这些关于点和线的公理很容易在黑板上表示出来,而且很长一段时间,它被认为是几何唯一可行的方法。


然而,问题在于,欧几里得在2000年前提出这些的看似不言自明的真理,并不是在每个人看来都是不言自明的。有一条公理(被称为平行公设)在数学家们看来有点不一样,几个世纪以来许多人试图用其它公理来推导出它。在18世纪初,人们尝试了一种大胆的新方法:于是第五公设(即:平行公设)被简单地替换掉了。然而整个几何体系并没有因此崩溃,反而是产生了一种新的、现在被称为双曲几何(或鲍耶—罗巴切夫斯基几何)的几何。这导致了科学界彻底的范式转变,也为许多不同类型的非欧几何打开了大门。其中比较突出的一个就是黎曼几何,它被用于描述爱因斯坦的相对论(有趣吧,我们的宇宙居然是不遵循欧几里得几何的!)。


4、 欧拉公式

欧拉公式是这篇文章中最强大的结论之一。它归功于史上最多产的数学家之一:莱昂哈德·欧拉。欧拉一生发表了800多篇论文,其中很多是他失明之后发表的。

这个结果乍看起来很简单:e^iπ+1=0。其中e和π都是数学常数,它们经常会出现在各种意想不到的地方,i是虚数单位,它等于-1的平方根。欧拉公式的非凡之处在于:它把数学中最重要的五个数(e,i,π,0和1)组合成了这样一个优美的等式。物理学家理查德·费曼称之为“数学中最神奇的公式”,其重要性在于:它把数学的多个方向统一了起来。


3、 通用图灵机

我们生活在一个由计算机主宰的世界里。也许你现在也恰好是在计算机上读这篇文章!说计算机是二十世纪最重要的发明之一估计也没什么人会反对,然而你可能会惊奇地发现,计算机起源于理论数学的领域。


数学家(同时也是二战时的密码破译者)艾伦·图灵发明了一种被称为图灵机的理论机器。图灵机就像一台非常简单的计算机:它使用无限长的纸带以及3种符号(不妨设为0, 1和空白),然后根据一组指令进行运算。指令可以是:将“0”改为“1”并向左移动一格,或者输入“空白”并向右移动一格(以上只是举例子)。这样,图灵机就可以用来执行任何定义良好的函数运算。

图灵接着描述了什么是通用图灵机,它是一个能够模拟其它所有图灵机的图灵机且能读入任意的输入。这基本上就是存储程序计算机的概念了。图灵仅仅只是用了数学和逻辑,就在技术水平发展到可以设计出真正的计算机之前,创立了计算科学领域。


2、 不同层次的无穷

无穷本身已近是个很难掌握的概念了。人类生就也是很难理解像“无限”这样的概念的。因此,数学家对待无穷一向是谨小慎微的。直到十九世纪下半页,格奥尔格·康托尔才建立了名为集合论(还记不记得我们在罗素悖论那部分曾提到过它?)的数学分支,有了这一理论才能使康托尔能够思索无穷的真正本质。康托尔对无穷的研究成果真是令人叹为观止。


事实证明,对任何一个我们能想象到的无穷,总会存在另一个比我们想象到的那个无穷还要大的无穷。最低层次的那个无穷就是所有正整数(1,2,3…)的个数,这个是可数无穷。随着一些非常优雅的推理,康托尔确认了存在另一个层次的无穷:所有实数(1,1.001,4.1516,……  包括了你能想到的任何数)的个数。这种类型的无穷是不可数无穷,这意味着即使你拥有宇宙中所有的时间,你也不可能在不漏掉某些实数的情况下按某个顺序列出所有的实数。但是请等一下,按照康托尔的理论,在那个无穷之后还有更多的不可数无穷。那么到底有多少呢?当然是有无穷多个了。


1、 哥德尔不完备定理


在1931年,奥地利数学家库尔特·哥德尔证明的两个定理撼动了整个数学界的核心,因为这两个定理结合在一起给出了让整个数学界沮丧的结论:数学是不完备的,而且永远也不会完备。


技术细节就不赘述了。哥德尔第一不完备定理说的是:对任何形式系统(需包含自然数的系统),总存在该形式系统中的真命题,且该命题在该形式系统内是无法被证明的。然后更本质地,哥德尔第二不完全定理说的是:任何公理体系的无矛盾性都不可能在该公理体系内被证明。永远不会有一个能包含所有数学理论的封闭的系统,因为我们不可能让数学体系完备,所以数学体系只能越来越庞大。

 

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数学上下三万年(六):十九世纪下半叶的数学

原文作者,圣安德鲁斯大学数学与统计学院

翻译作者,mathyrl,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,math001。

  

 

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从今天起,我们将连载这部数学编年史。本文是翻译版本,因为工作量巨大,必有疏漏(包括原文也会有错误),欢迎指正。

 

这应该是网上最全的数学编年史,从公元前30000年到公元2000年,哆嗒数学网为你奉献。

 

 这里是 数学上下三万年(六):十九世纪下半叶的数学

 

这个时期发生了一些著名的战争或者变革,比如普法战争、美国南北战争、日本明治维新。中国的“师夷制夷” 、“中体西用”的洋务运动也在这个时期内开展。各种科学学科已经很接近于现代,从书写习惯来讲,大部分现代课堂上学到的数学,基本始于这个时代。

  

本期出场人物有:切比雪夫、波尔查诺、刘维尔、黎曼、哈密顿、布尔、魏尔斯特拉斯、莫比乌斯、戴德金、西罗、吉布斯、埃尔米特、康托、庞加莱、博雷尔、希尔伯特、阿达玛等。

 

 

本系列下面是往期内容:

 

数学上下三万年(一):爱在西元前

 

数学上下三万年(二):从罗马时代到中世纪

 

数学上下三万年(三):大航海时代

 

数学上下三万年(四):欧洲资产阶级革命开启

 

数学上下三万年(五):十九世纪上半叶的数学

 

1850年

切比雪夫(Chebyshev)出版了《论素数》(On Primary Numbers),其中他证明了素数理论的新结果。他证明了伯特兰猜想:对于n>1,在n和2n之间至少存在一个素数。

 

1850年

西尔维斯特(Sylvester)在他的论文《关于一类新的定理》(On a New Class of Theorems)中首次使用了“矩阵”一词。

 

1851年

波尔查诺的书《无穷的悖论》(Paradoxien des Undendlichen)在他去世三年后出版。该书引入了他的关于无穷集合的想法。

 

 

1851年

刘维尔出版了关于特定超越数的存在性的第二本书,这种超越数被称为“刘维尔数”。特别地他给出了一个例子:0.1100010000000000000000010000...,其中在第n! 位为1,其他位为0.

 

1851年

黎曼(Riemann)的博士论文包含了极其重要的思想,例如“黎曼曲面”及其性质。

 

 

1852年

西尔维斯特建立了代数不变量理论。

 

1852年

古德里(Francis Guthrie)向德摩根提出了四色猜想。

 

1852年

沙勒(Chasles)出版了《高等几何》(Traité de géométrie),其中讨论了交比、线束(pencils)、对合,这些概念都是他引入的。

 

1853年

哈密顿出版《四元数讲义》(Lectures on Quaternions)。

 

1853年

谢克斯(Shanks)计算π到小数点后707位(在1944年人们发现谢克斯从第528位开始算错了)。

 

1854年

黎曼完成了特许任教资格(Habilitation)。在他的专题论文中他研究了函数用三角级数的可表性。他给出函数可积的条件,被称为“黎曼可积性”。在1854年6月10日发表的演讲《论作为几何基础的假设》(Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen)中,他定义了一种n维空间,今天被称为“黎曼空间”。

 

1854年

布尔初版了《思维规律的研究》(An Investigation of The Laws of Thought on Which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities)。他将逻辑归约为代数,被称为布尔代数。

 

1854年

凯莱第一次尝试定义一个抽象群,虽然没有完全取得成功,但是取得了重要进展。

 

1855年

麦克斯韦发表了《论法拉第力线》(On Faraday's lines of force),证明只需用几个相对简单的数学方程就可以表示电磁场的行为以及其相互关系。

 

1856年,魏尔斯特拉斯(Weierstrass)在克雷勒期刊的《阿贝尔函数理论》(Theorie der Abelschen Functionen)中发表了超椭圆积分的反演理论。

 

1857年,黎曼出版了《阿贝尔函数理论》(Theory of abelian functions)。它进一步发展了黎曼面的思想及其拓扑性质,将多值函数作为一个特殊“黎曼曲面”上的单值函数来研究,并解决了一般的反演问题,这些问题的特殊情形已被阿贝尔和雅可比解决。

 

1858年

凯莱给出了由西尔维斯特在1850年引入的术语“矩阵”的抽象定义,并在《矩阵理论笔记》(A Memoir on the Theory of Matrices)研究了矩阵的性质。

 

1858年

莫比乌斯描述了一条只有一个面和一条边的纸带。现在被称为“莫比乌斯带”,它有一个令人惊奇的性质:从中间剪开依然保持完整的一块。利斯廷(Listing)在同一年做出了同样的发现。

 

1858年

戴德金(Dedekind)发现了一种严格的方法用“戴德金分割”来定义无理数。这个想法是他在思考如何教微积分的时候想到的。

 

1859年

曼海姆(Mannheim)发明了第一个带有“游标”的现代计算尺。

 

1859年

黎曼给出了一个有关素数的ζ函数的猜想。尽管在数以百万计的情形下它已被验证是正确的,然而在一般情形下黎曼猜想的正确性仍然未知。它或许是21世纪数学界最著名的未解决问题。

 

1860年

德劳内(Delaunay)出版了《月球运动理论》(La Théorie du mouvement de la lune)的第一卷,这是他20年的工作成果。他通过给出经度、纬度和月球视差的无穷级数来解决三体问题。

 

1861年

魏尔斯特拉斯发现了一条处处不可微的连续曲线。

 

1862年

麦克斯韦提出光是电磁现象。

 

1862年

杰文斯(Jevons)向英国科学协会讲了《政治经济的一般数学理论》(General Mathematical Theory of Political Economy)。

 

1862年

利斯廷(Listing)出版了《对欧拉多面体定理推广后的空间几何体研究》(Der Census raumlicher Complexe oder Verallgemeinerung des Euler'schen Satzes von den Polyedern),其中讨论了“欧拉公式”的扩展。

 

1863年

魏尔斯特拉斯在他的讲座中给出了一个证明:复数是实数的唯一交换代数扩张。

 

1864年

伯特兰(Bertrand)出版了《论微积分》(Treatise on Differential and Integral Calculus)。

 

1864年

伦敦数学协会成立。

 

1864年

本杰明·皮尔斯(Benjamin Peirce)向美国科学会展示了他关于线性结合代数的工作。它利用现代熟知的幂等元和幂零元工具对小于7维的所有复结合代数进行了分类。

 

1865年

普吕克在几何上做出重要进展,他定义了一种4维空间,其中的基本元素是直线而不是点。

 

1866年,哈密顿的《四元数原理》(Elements of Quaternions)在他去世后尚未完成,花了7年时间写成的800页手稿在他去世后由他儿子出版。

 

1867年

莫斯科数学协会成立。

 

1868年

贝尔特拉米(Beltrami)出版了《非欧几何的一种解释》(Essay on an Interpretation of  Non-Euclidean Geometry),其中对罗巴切夫斯基和鲍耶的非欧几何给出了一个具体模型。

 

1869年

吕罗特(Lueroth)发现了“吕罗特四次曲线”。

 

1870年

本杰明·皮尔斯(Benjamin Peirce)自费出版了《线性结合代数》(Linear Associative Algebras)。

 

1871年

贝蒂(Betti)发表了一份拓扑学笔记,其中包含了“贝蒂数”。

 

1872年

戴德金发表了他对实数的形式构造,并给出整数的一种严格定义。

 

1872年

海涅(Heine)发表了一篇论文,其中包含了被称为“海涅-博雷尔定理”的定理。

 

1872年

法国数学协会成立。

 

1872年

梅雷(Méray)出版了《新无穷小分析》(Nouveau précis d'analyse infinitésimale),致力于通过幂级数展示单复变函数的理论。

 

1872年

西罗(Sylow)出版了《关于置换群的定理》(Théorèmes sur les groupes de substitutions),其中包含了著名的三个关于有限群的“西罗定理”。他对于置换群证明了这些定理。

 

1872年

克莱因(Klein)在爱尔兰根发表了就职演讲。他将几何定义为研究一个空间在一个变换群作用下的不变性质。这被称为“爱尔兰根纲领”,深刻地影响了数学发展。

 

1873年

麦克斯韦出版了《电磁通论》(Electricity and Magnetism)。该书包含了四个偏微分方程,被称为“麦克斯韦方程”。

 

1873年

埃尔米特(Hermite)出版了《论指数函数》(Sur la fonction exponentielle),其中他证明了e是超越数。

 

1873年

吉布斯(Gibbs)发表了两篇关于热力学图的重要论文。

 

1873年

布罗卡尔(Brocard)做出了他的关于三角形的工作。

 

1874年

康(Cantor)发表了他的第一篇关于集合论的论文。他严格描述了无穷的概念。他证明了无穷有不同的大小。他还证明了一个引起争议的结果:几乎所有的数都是超越数。

 

1876年

吉布斯(Gibbs)出版了《关于多相物质平衡》(On the Equilibrium of Heterogeneous Substances),它代表了数学在化学中的主要应用。

 

1877年

康托发现了一个惊奇的事实:区间[0, 1]的点与一个正方形内的点存在一一对应。

 

 

1878年

西尔维斯特(Sylvester)成立了《美国数学杂志》。

 

1879年

肯培(Kempe)发表了他对四色定理的错误证明。

 

1879年

雷克西斯(Lexis)出版了《统计序列的稳定性理论》(On the theory of the stability of statistical series),开始了时间序列的研究。

 

1879年

哈尔科夫数学协会成立。

 

1880年

庞加莱(Poincaré)发表了关于自守函数的重要结果。

 

 

1881年

韦恩(Venn)引入了“韦恩图”,它成为集合论的有用工具。

 

1881年

吉布斯(Gibbs)在为他学生写的小册子中发展了向量分析。这种分析方法在麦克斯韦对电磁波的数学分析中有重要作用。

 

1882年

林德曼(Lindemann)证明了π是超越数。这就证明了用尺规不可能作出一个正方形使得与给定的圆有相同面积。化圆为方这个古典问题可以追溯到古希腊时期,多个世纪以来成为数学思想发展的驱动力。

 

1882年

米塔-列夫勒(Mittag-Leffler)建立了《数学学报》(Acta Mathematica)。

 

1883年

雷诺(Reynolds)出版了《决定水流为直线或曲线运动的条件以及在平行水槽中的阻力定律的探讨》(An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water in parallel channels shall be direct or sinuous and of the law of resistance in parallel channels)。书中出现了用于流体力学建模的“雷诺数”。

 

1883年

庞加莱发表了一篇论文,开启了多复变解析函数理论的研究。

 

1883年

爱丁堡数学学会成立。

 

1884年

沃尔泰拉(Volterra)开始了积分方程的研究。

 

1884年,弗雷格(Frege)出版了《算术基础》(The Foundations of Arithmetic)。

 

1884年

赫尔德(Hölder)发现了“赫尔德不等式”。

 

1884年

米塔-列夫勒(Mittag-Leffler)出版了《单变量函数的解析表示》(Sur la représentation analytique fes fonctions monogènes uniformes d'une variable indépendante),给出了他关于指定极点和奇异部分的亚纯函数构造的理论。

 

1884年

弗罗贝尼乌斯(Frobenius)对于抽象群证明了西罗定理。

 

1884年

里奇-库尔巴斯托罗(Ricci-Curbastro)开始了关于绝对微积分(absolute differential calculus)的工作。

 

1884年

巴勒莫数学会(Circolo Matematico di Palermo)成立。

 

1885年

魏尔斯特拉斯证明实数轴的有限闭区间上的连续函数可以用多项式任意一致逼近。

 

1885年

埃奇沃斯(Edgeworth)出版了《统计方法》(Methods of Statistics),其中阐述了对于均值比较的显著性检验的应用和解释。

 

1886年

雷诺阐述了润滑的理论(雷诺润滑方程)。

 

1886年

皮亚诺(Peano)证明了如果f(x, y)连续,那么一阶微分方程dy/dx = f(x, y)有解。

 

1887年

列维-齐维塔(Levi-Civita)发表了一篇论文,发展了张量微积分。

 

1888年

戴德金出版了《数的本质和意义》(Was sind und was sollen die Zahlen)。他将算术建立在严格的基础上,这个基础被称为“皮亚诺公理”。

 

1888年

高尔顿(Galton)引入了相关系数的概念。

 

1888年,恩格尔(Engel)和李(Lie)出版了三卷本《变换群理论》(Theorie der Transformationsgruppen)的第一卷,它是关于连续变换群的重要著作。

 

1889年,皮亚诺(Peano)出版了《算术原理》(Arithmetices principia, nova methodo exposita),通过集合来定义自然数的方式给出了皮亚诺公理,。

 

1889年

菲茨杰惹(FitzGerald)提出了洛伦兹-斐兹杰惹收缩来解释“迈克耳孙-莫利实验”。

 

1890年

皮亚诺发现了空间填充曲线。

 

1890年

圣彼得堡数学学会成立。

 

1890年

希伍德(Heawood)出版了《地图颜色定理》(Map colour theorems),他指出了肯普(Kempe)对四色定理的证明的错误。他证明了五种颜色是足够的。

 

 

1891年

费多洛夫(Fedorov)和申费里斯(Schönflies)独立地对晶体学空间群进行了分类,证明了一共有230 种类。

 

1892年,庞加莱出版了三卷本《天体力学的新方法》(Les Méthodes nouvelles de la mécanique céleste)的第一卷。他旨在完全刻画机械系统的所有运动,援引流体流动的类比。他还证明,以前例如德劳内(Delaunay)用于研究三体问题的级数展开是收敛的,但一般不是一致收敛。这使人怀疑拉格朗日和拉普拉斯给出的关于太阳系稳定性的证明。

 

1893年

皮尔逊(Pearson)发表了一系列论文中的第一篇,在此后18年共发表了18篇论文,引入了大量基本概念来研究统计学。这些论文包含了对回归分析和相关系数的贡献,以及对统计显著性的卡方检验。

 

 

1894年

庞加莱开始了代数拓扑的工作。

 

1894年

博雷尔(Borel)引入了“博雷尔测度”。

 

1894年

嘉当(Cartan)在他的博士论文中对复数域上所有有限维单李代数进行了分类。

 

1895年

庞加莱出版了《位置分析》(Analysis situs),这是他的第一本拓扑学著作,给出了这个专题的较早的系统性处理。他是代数拓扑的创始人,发表了这个专题的6篇论文。他引入了基本群。

 

1895年

康托(Cantor)发表了关于超穷算术的两篇重要论文的第一篇。

 

1895年

安里西·韦伯(Heinrich Weber)出版了他的著名教科书《代数讲义》(Lehrbuch der Algebra)。

 

 

1896年

素数定理分别由阿达玛(Hadamard)和法勒布赛(de la Vallée-Poussin)独立地证明。这个定理给出了不超过一个给定数的素数个数的估计,证明了当n趋于无穷时,不超过n的素数个数趋向于n/log n。

 

1896年

切萨罗(Cesàro)出版了《内蕴几何学教程》(Lezione di geometria intrinseca),其中他阐述了内蕴几何。

 

1896年

弗罗贝尼乌斯(Frobenius)引入了群特征标。

 

1897年

亨泽尔(Hensel)发明了p进数(p-adic numbers)。

 

1897年

布拉利-福尔蒂(Burali-Forti)是第一个发现集合论悖论的人。

 

1897年

伯恩赛德(Burnside)出版了《有限阶群理论》(The Theory of Groups of Finite Order)。

 

1897年

弗罗贝尼乌斯开始研究群表示论。

 

1898年

弗罗贝尼乌斯引入诱导表示的概念以及“弗罗贝尼乌斯互反定理”。

 

1898年

阿达玛关于负曲率曲面上的测地线的工作为符号动力学奠定基础。

 

1899年

希尔伯特(Hilbert)出版了《几何基础》(Grundlagen der Geometrie),将几何建立在形式公理之上。

 

 

1899年

李亚普诺夫(Lyapunov)提出了方法来决定常微分方程系统的稳定性。

 

 

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从深圳某公园的错误谈起:你看到的数学可能是不对的!

作者:欧阳顺湘,本文转自其公众号和乐数学(kelemath)

 

 

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摘要:本文从2017年11月开园的深圳人才公园上π桥上的众多错误和值得商榷处谈起,分析原因,指出部分错误同样出在有影响力的作者的数学普及读物中;同时以著名作家数学作品中的不足以说明错误的普遍存在性,呼吁批评家勇于担当,作家珍惜其影响力,社会重视数学普及。
 
 
2017年11月1日是深圳市立法确认的首个“人才日”。这一天,深圳人才公园正式开放。该公园是全国首个以人才为主题的公园,体现了深圳市对人才的重视。
 
公园不但风景秀丽,也独具科学与数学文化精神,如园中的最美公式长廊和π桥,就是这种精神的具体体现。π桥两侧的栏杆上铺了圆周率小数点后2017位的近似数字,同时桥栏杆的众多挡板上以简短的文字介绍了圆周率的历史和相关趣闻。可以设想,π桥将与北京珠市口大街上装饰了拉格朗日公式、爱因斯坦质能方程两个著名公式的天桥南北呼应。
 
圆周率的历史是人类文明之境。展示π的历史,不但要介绍人类文明所取得的璀璨成就,也一定会介绍我国古代数学家取得过的杰出成就。这样可使公众了解我国古代数学家的智慧,增强民族骄傲感,坚定文化自信。
 
这样一座小桥,相当于一个可以寓教于游乐的科普小展馆,其设计思路值得点赞。然而,近日笔者经过参观,遗憾地发现π桥上多处事实错误和有待商榷处。
 
公共空间中各种翻译、拼写错误其实比比皆是,没必要小题大做。但在人才公园这样彰显理念的重要地方,出现错误,值得反思;考虑到错误产生的原因,更值得引起重视。
 
1 π桥上的错误和意义不明有待商榷处
 
我们先指出桥上的问题,供人才公园做修改参考。
 
1.1 明显错误
 
桥上至少有4处明显错误。
 
1.钱宗琮先生在《中国算学史》中提出……
这里把我国著名数学史家钱宝琮先生的名字写错了。 
 
2.“我国魏晋时期数学家刘徽所著的《九章算术》……”
 
刘徽是给《九章算术》作注,即阐释、发扬并补充,并不是著。
 
3.1965年,英国数学家约翰·沃利斯推导出一个公式,,发现圆周率等于有规律的无穷个分数相乘的积。
这个发现实际上是1655年得到的。时间相差了近300年。
 
4.2015年,在“最强大脑”节目上,73岁的吕老先生成功挑战记忆π值小数点后5000位……。
实际上,这位老人姓吴,叫吴光仁。
 
1.2 意义不明和有待商榷处
 
还有些说法有误或意义不明,容易误导不明真相的读者。
 
1.“人才栈道巧妙地利用圆周率无穷尽的特点,以不重复的数字,铺满长约150米的桥体栏杆,栏杆上π的位数为小数点后2017位……”
这里应该将“不重复”改为“不循环”。数的十进制表示用到10个数字,要表示圆周率小数点后2017位,不得不重复。人们已经证明π是无理数,所以是无限不循环小数。全桥共有两处类似错误介绍。
 
 
2.“1596年,荷兰数学家卢道夫” “德国数学家科伊伦”
这是两条记录中的用词,实际指的同是生于德国的荷兰数学家Ludolph van Ceulen。如此叙述,容易误导游客。
 
 
 
3.(钱宝琮)提出祖冲之计算圆周率采用的何承天首创的“调日法”:“冲之在承天后,用其术以造密率,亦意中事耳。”
 
这段话不清晰,易使人以为钱宝琮也提出了“调日法”。这里的本意应为:祖冲之计算圆周率的方法已经失传,但钱宝琮提出,祖冲之可能采用了何承天的“调日法”。
 
4.直到19世纪初,求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。
实际上,牛顿和莱布尼兹在17世纪后半叶创立微积分之时,各自都发现了不同的用无穷级数计算圆周率的方法,圆周率的计算已经不再神秘,也不是数学中的头号难题,甚至不是主流问题。说成头号难题是引人瞩目的噱头。
当然,如果一定要这样说,也可以,即使是现在,要轻易地算出很多位,也需要计算能力和好的算法。以此,这个说法最多算一家之言,不是共识。类似于“直到19世纪初,求圆周率的值应该说是数学中的头号难题”这样值得商榷之处,在桥上还有其他处。
 
5.刘歆通过做实验,在制造标准容器的过程中就用到了圆周率的值。
这段话莫名其妙。实际意思应该是说,刘歆为了制造标准容器“嘉量”,需要用到圆周率的值。他(可能)是通过实验的方法得到圆周率的值的。
 
6.我国河南郑州的孟和平老人写了一首3140字的叙事诗《山巅妖肆(3.14)传奇》。一首意境优美、情节生动,便于记忆的爱情长诗。
 
这里所谓的长诗,是利用谐音牵强附会地编的一个故事。且不说是否有意义,内容和文字都不好:
1.内容很无聊。故事说的是山顶的酒肆里有九位相貌妖艳的舞女,她们因为一些小事不欢而散,各奔东西,后来又相聚在另一家酒肆里,最终不计前嫌,一同开怀畅饮。
2.文字算不上诗,诘屈聱牙。且看前面几句:要是要我酒(14159),尔乐舞扇舞。把酒吃酒散,尔散拔四柳。(要是想要我的酒,你得跳段扇子舞。举杯把酒喝完后,还得拔四棵柳树。)
 
“意境优美、情节生动,便于记忆的爱情长诗”这样的词句只能用来形容《长恨歌》《琵琶行》《春江花月夜》。
 
在一座不长的桥上,出现如此之多的错误和值得讨论的地方,对希望起寓教于乐之功能,并体现人才意识的这样一座桥来说,不免有煞公园优美的风景,不免有愧于公园的人才主题。
 
2 错误是怎样产生的呢
 
设计者没能认真仔细对待,没有意识到参考的资料可能有问题,需要咨询相关专家,自然难辞其咎。但设计师一定参考了数学工作者的相关作品。
 
通过网络搜索,不难发现,有的错误是设计者一知半解地修改一些知识导致的;有的是以讹传讹导致的。在现在自媒体旺盛,传播途径快速方便的情况下,错误跑得比光都快。
 
我们以前面指出的问题中的两处为例来说明。
 
2.1 韩雪涛的文章《圆周率π的计算历程》
 
钱宝琮先生的名字被写错,一开始可能原因是输入失误,或将“宝”的繁体字“寶”看成“宗”字等。但可以肯定的是,不少人都是以讹传讹。
 
搜索钱宝琮的名字的误写“钱宗琮”,可发现这竟然是网络上很常见的错误,百度搜索有187个结果。
 
 
 
例如,号称最大手机电子书平台上“掌阅”上有的一本名为《数学趣闻》的书中就有这样的错误。(http://www.ireader.com/index.php?ca=Chapter.Index&bid=10098064)
 
 
 
韩雪涛的一篇文章《圆周率π的计算历程》中也把钱宝琮先生的名字写成了“钱宗琮”。 
 
韩雪涛是知名数学普及图书作者,很快可以查到他编写有7本图书:
 
1.从惊讶到思考 : 数学的印迹,长沙 : 湖南科学技术出版社 ,2007
2.从惊讶到思考 : 数学悖论奇景,长沙 : 湖南科学技术出版社 ,2007
3.好的数学 : “下金蛋”的数学问题,长沙 : 湖南科学技术出版社 ,2009
4.好的数学 : 数的故事,长沙 : 湖南科学技术出版社 ,2014
5.好的数学 : 方程的故事,长沙 : 湖南科学技术出版社 ,2012
6.(王元 [(1930.4-)] ;学夫子 ;韩雪涛 ;田廷彦)改变世界的科学. 数学的足迹,上海 : 上海科技教育出版社 ,2015
7.数学悖论与三次数学危机,长沙 : 湖南科学技术出版社 ,2006
 
韩雪涛曾参编《十万个为什么》(第六卷,数学)。他与王元院士等合编的《改变世界的科学——数学的足迹》曾获第四届“中国科普作家协会优秀科普作品奖” 金奖。
 
据韩雪涛先生介绍:2000年左右,他完成了《数的故事》的书稿,把书中介绍圆周率计算的部分摘出来,投给当时的《三思科学》电子杂志,发在《三思科学》电子杂志(2002年第12期·2003年第1期),之后这篇网文就在网络上广泛流传。前几年正式出版的《好的数学--数的故事》一书中也错了。(感谢韩先生的回复)
 
韩雪涛先生的这篇文章流传很广(可见网络媒体的力量),各处转载,如:
 
1.博客转载:
https://blog.csdn.net/xjwyb/article/details/322994,
2.360图书馆收藏:
http://www.360doc.com/content/11/1007/21/38416_154157472.shtml
3.道客巴巴:
http://www.doc88.com/p-909591547279.html 
4.微信公众号平台转载,如曾经颇有名气和影响力的微信公众号的“赛先生”在2016年9月18日转载过此文: https://mp.weixin.qq.com/s/dK6XJ310-jB7Zx6bMNfOpw 。
  
 
我们前面提到的π桥上一个值得商讨的说法——“直到19世纪初,求圆周率的值应该说是数学中的头号难题”——在网络上也是很流行;韩雪涛作的《圆周率π的计算历程》也持这个说法。据韩先生介绍,他的第一反应是他不会写这样的一句话;虽然初稿和网文中有这样一句,但出版的书中删掉了。
 
2.2 科学精神的缺失与《说不尽的圆周率》
 
郑州老人用谐音编“诗”的 “新闻”从2006年开始,即在网络上以各种形式不断出现。我们质疑的是π桥对此“诗”的赞扬是无视事实的。
 
 
不知道设计者是怎样想到加入这样一句的,可能是觉得是一个趣闻,有如有人根据圆周率普的曲一样有趣,可惜的是设计者审美太差或没有去读。不论如何,将一则雅俗共赏都谈不上的花边新闻放到π桥上,并对一首内容恶俗的所谓的诗大加赞扬,也是没有科学精神。这位闲着无事的老人的名字完全不应该与π桥上众多为数学做出杰出贡献的名人的名字并列。
 
当然,设计者也可能是受网络消息或数学书的影响。
 
2016年人民邮电出版社出版的科普书《说不尽的圆周率》第191页也抄录了类似的“赞词”:“河南郑州的一位老人……把枯燥乏味的数字解读成一首意境优美、情节生动、便于记忆的汉语故事。”
 
 
 
《说不尽的圆周率》的作者陈仕达、陈雪都是中学老师,编写了很多数学普及图书,特别是共同参编的《说不尽的π》与《不可思议的e》获2009年度国家科学技术进步二等奖。
 
这位老人自娱自乐没有错,但一位科普书作者,不假思索地抄录网上的一段报道,将无聊当趣闻,缺乏科学精神。
 
3 精品难出:评蔡天新的作品
 
我们的目的不是指责韩雪涛先生。相反,韩雪涛先生写了这么多作品,是难能可贵的。
 
说难有两个原因:
 
一是普及图书需要作者具备广博的知识以及审慎的态度。
 
二是在目前状态下,很多专业数学工作者没有献身精神,不做这件事情(实际上也可能做不好)。
 
数学工作者的错误蔓延至人才公园这个深圳市用来彰显城市精神的重要公共空间,反映了一个现象:不少数学普及读物的内容真中有假,一般读者难以辨别。特别是有影响力的作者产生的错误,容易使数学水平不成熟的读者接受。
 
很多例子可以说明难以出完美无瑕的作品。
 
如商务印书馆出版的大学数学教师翻译的图书,专业杂志《自然辩证法通讯》上专业人员写的文章,我们都见到过因为不懂德语又没能仔细查阅核对而出现德语常见名词的错误翻译。
 
笔者曾在文章中也犯过很可怕的错误,在《数学文化》第4卷第2期第44页右栏中,称2的立方根为超越数,所以不能用尺规作图解决化圆为方问题。我猜测当时也是没动脑筋,也可能受到一些文字的影响而犯此类错误。(在有限的时间内写作长篇文章是很累的。)
 
我们的影响力较小,能力有限。
 
我们不妨以浙江大学著名数学教授兼诗人蔡天新的作品为例来作进一步说明。需要说明的是,我个人是很尊重蔡天新教授的。我是奉命为蔡教授“雅正”,只是为了说明好书,没什么错误的好书是很难得的。
 
 
 
蔡天新的科普代表作有两本。
 
一是商务印书馆于2016年出版的《数学传奇——那些难以企及的人物》(以下简称《数学传奇》)。该书获得了2017年度国家科学技术进步奖二等奖,其前身是他在2009年出版的随笔集《难以企及的人物:数学天空的群星闪烁》。后者在出版当年就曾获将,部分编目被翻译发表,包括美国数学会的杂志。
 
二是中信出版集团于2017年出版的《数学简史》,它是蔡天新于2008年、2012年两度出版的《数学与人类文明》的修订版,其中2012年的版本曾入选2014年度国家新闻出版广电总局向全国青少年推荐的百种优秀图书。
 
但就是这两本有很高声誉,经过了约10年时间打磨的书,仍存在一些硬伤。
 
3.1 《数学传奇》中的一个错误
 
《数学传奇》182页倒数第一行到183页第1-2行,作者写到:高斯提出了被后人称为素数定理的猜想,也即不超过x的素数个数为x/log x……。
 
 
正确的表达是:当x充分大时,不超过x的素数个数(记为π(x))近似为x/log x,或写为
 
 
值得注意的是,这个错误就发生在数论领域——这个蔡教授自己的专业战场。
 
3.2 《数学简史》中的一个错误
 
《数学简史》谈的数学多些,更容易犯错。让我们将《数学简史》翻到216页。在这页的第二段,蔡教授写道:
 
“在那个年代,由于人们对实数系缺乏认识,因而存在一个普遍的错误,就是认为所有连续函数都是可微的。”
 
 
这里蔡教授将问题理解错了,当时的数学家没有这么笨,会认为所有的连续函数都是可微的。我们不妨复习下高数第一课:连续函数不一定(处处)可微,如定义在实直线上的函数x-->|x|就是这样的例子,它在原点处有个尖点,是不可导(微)的。
 
实际上,当时数学家普遍的错误是认为,连续函数只在一个孤立点组成的集合上不可微,例如,容易想到有只在有限个点出不可导的连续函数。所以,当维尔斯特拉斯构造出处处连续但处处不可导的函数时,令数学界大为震惊。此外,蔡教授将当时人们的错误归于“对实数系缺乏认识”也不尽然。
 
4 如何改进
 
如蔡天新教授这样成熟的作品仍有错误,可想象一般图书是怎样的境地。
 
我们也再举前面提到的文章和书中的错误为例吧。
 
韩雪涛《圆周率π的计算历程》是一篇结构和思路都不错的文章,但其中还有多处错误:将钱宝琮著《中国算学史》出版年份1932年(民国二十一年)写成了1931年;将用无穷乘积表示圆周率的沃利斯公式发现的时间1655年写成了1650年。
 
《说不尽的圆周率》书中第32页第一行有公式
.
实际上,如我们之前的介绍,这里应该用等号。
 
 
怎么办?作者应该珍惜其影响力。认真写好每一句话,每一行字,每一个标点符号。
 
现在很多药剂上往往会指明药剂的副作用。书籍也是如此,应该有人在肯定其作用的同时,说明其中的问题。
 
4.1 评论家的勇气和担当 
 
不可否认的是,蔡天新教授的作品确实有独到之处。
 
所以,蔡天新教授的数学作品获得了许多数学工作者撰文称赞以及诺贝尔奖获得者物理学家杨振宁院士和作家莫言,数学家彭实戈、张益唐院士等的推荐语。
 
问题在于,鲜有批评声。有一些专家,知道蔡教授书中的不足,但出于中国人的中庸之道,不愿意公开批评蔡教授的作品。
 
最好的称赞就是批评。如此能使作者的作品得到改进。
 
4.2 不能仅仅提倡献身精神
 
数学界为何没能为设计师以及广大读者提供良好的可供参考的科普资源?如很多高校教师对花太多精力,无益于自身职称评定的事情还是不愿意做。可以理解,这是现实。
 
在目前状态下,不求名利地写好每一句话都需要献身精神。国家、城市和公众如果要得到好的数学知识和数学精神传播品,仅仅提倡献身精神不是长久之计。
 
4.3 国家的重视
 
好的科普很重要。杨振宁先生就多次以自身经历说明“好的科普工作是有好的社会作用的。”
 
现在,科普也得到了国家的重视。
 
习近平总书记也强调:“科技创新、科学普及是实现创新发展的两翼,要把科学普及放在与科技创新同等重要的位置。没有全民科学素质普遍提高,就难以建立起宏大的高素质创新大军,难以实现科技成果快速转化。”
 
今年1月19日,国务院发布《国务院关于全面加强基础科学研究的若干意见》,也谈到要推动科学普及,弘扬科学精神和创新文化。 
 
5 期待
 
人才公园从启动到完工,大约半年时间,体现了深圳速度。但文化依赖于积累,科学普及需要时间。科普,包括数学普及,任重而道远。我们期待,有一天,数学工作者可以为设计师以及广大读者提供更多更好的可完全信赖的科普资源;有一天,类似于人才公园π桥上这样的错误少出或不出。
 
我们无意批评任何人。数学普及作家是一群非常值得我们尊重、爱护的群体。我们指出部分错误,是为了说明我们任重而道远,需要读者、作者一起努力。
 
2018年4月13日星期五(修订)
 
 

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发现纯数学与物理之间的神密联系

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一位杰出的数学家运用物理学中的概念研究了困惑人们数千年的数学问题,并取得了进展。

 

 

数学里面充满了超自然的数的系统,其中大部分人从来没有听说过,甚至理解起来有困难。但是有理数是家喻户晓的,它们是自然数和分数——这些有理数你从小学就知道了。但是对于数学家来说,最简单的问题往往最难理解。它们简单的就像一堵抗风墙,没有裂缝、突出物或者明显你可以抓住的某些东西。

 

牛津大学的一位叫金明迥的数学家,对于寻找哪些有理数可以解特定类型的方程特别感兴趣。几千年来无数数论学家挑战过这个问题。他们在解决问题方面进展甚微。当一个问题研究了很久却没答案,我们很自然的就认为唯一的出路就是有一个人能提出新的想法。这个人就是金明迥。

“即使我们已经研究了3000年,但研究这些问题依然没有太多的技术手段。所以任何人无论何时提出一个可靠的新方法去解决它都是一个大的进展,这就是金明迥所做的。”威斯康星大学的数学家乔丹·艾伦伯格(Jordan Ellenberg)评论道。

 

在过去的十年间,金明迥想出了一个非常新颖的方法----在看似无规律的有理数域寻找模式。他将这种方法写进论文里,发布在讨论会中,并将其传递给学生,现在学生们自己继续进行研究。但是他一直保留着一些东西, 他的思想正走向成熟,不是基于纯粹的数论,而是从物理中借用概念。对于金明迥来说,有理数解多少有点像光的轨迹。

 

如果这样的联系让你觉得像天方夜谭,那就对了,因为一些数学家也甚至和你有相同想法。由于这个原因,金炯明长期以来没有吐露这个想法。“我将它藏了起来,因为一直以来我多少会因为物理联系而不安,”他说。“数论学者是一群相当严谨刻板的人,物理的因素的加入有时使他们更加怀疑我做的数学。”

 

但是现在金明迥说他已经打算向世人表达他的想法。“我想这个改变单纯的是因为思想成熟起来了!”53岁的金明迥在我们交流这个故事的一封邮件的开头写到。

 

他最近已经举办了一场学术会议,邀请了数论学家和弦论学家。他也为还没有习惯于通过直接类比物理世界来思考数论问题的数学界写一篇文章去描述他的想法。

 

至今仍有一个绊脚石——数学和物理类比的最后一部分,金明迥仍需要继续攻克下去。他希望邀请更多的人去参与他的研究,特别是物理学家,他需要物理学家的帮助去完善它。

 

一个古老的挑战

 

方程的有理解深深地吸引着人们。找到方程的有理解,就像拼图块完美地落实到对应的位置那样令人满足。基于这样的理由,数学中很多著名的猜想都是关于方程有理解的。

 

有理数包含整数和任何可以表示为两个互素的整数之比的数。例如1,-4以及99/100.数学家对丢番图方程(Diophantine equation)——整系数多项式方程的有理数解特别感兴趣。就像x²+y²=1。公元3世纪,生活在古希腊亚历山大城的丢番图就研究了很多这样的方程。

 

有理解很难用全面的方法所找到,因为他们不遵循任何几何模式。考虑方程x²+y²=1。它的实数解是一个圆,拿走在这个圆上的所有不能表示为分数的点,所留下的就是有理解,而这样的解不会形成一个规则的形状。有理解是随机分布在圆周上的。

 

 

 “具有有理坐标点的条件根本不是几何条件。 你无法知道如果一些有理点满足某方程,它必须满足写什么条件”金明迥说。

 

有的方程,通常容易找到某个单一的有理解,甚至许多有理解。但对于不喜欢松散结果的数学家来说,他们对研究所有的有理解更有兴趣。这样问题就会难很多了。事实上,甚至是关于有理数最直白的结果,足以让你在数学圈出人头地。如同在1986年,一个名叫法尔廷斯(Gerd Faltings)的数学家荣获了数学最高荣誉的菲尔兹奖,他就是解决了一个叫莫德尔猜想(Mordell conjecture))的问题,证明了一族特定的丢番图方程仅有有限多的有理解(而不是无限多解)。

 

法尔廷斯的证明在数论中是一个具有举足轻重的结果。但这也是数学家所说的“无用的证明”,事实上这意味着它没有精确计算出有理解的数量,更不用说找出它们了。从那以后,数学家开始寻找解决下一步的方法。有理点看起来就像一个方程的普通图像上的随机点。如果他们改变他们所研究问题的条件,数学家们希望这些点将看起来像一个星座一样,他们能以一些精确的方式去描述。但问题是,在已知的数学领域并没有给出这样的条件。

 

 “为了得到关于有理解的有效结果,人们当然会认为,解决这个问题需要一个全新的想法。”艾伦伯格说。

 

目前,关于新想法是什么样,有两个主要研究。一个来自于日本数学家望月新一,2012年,他在京都大学的教职员网页上发表了数百页复杂又新奇的数学成果。五年后,他的论文依然是高深莫测的。而另一个新想法就来自于金明迥。他试图在扩张的数论空间中思考有理数,在这其中隐藏的模式开始出现。

 

一个对称解

 

数学家通常说研究对象的对称性越好,就越容易研究。鉴于此,他们希望将丢番图方程的研究置于比问题本身产生的空间更对称空间中。如果他们能这样做,他们可以利用新的相关对称性去追踪他们所寻找的有理点。

 

为了见识一下对称性如何帮助数学家解决问题,画一个圆。可能你的目标是定义在圆上的所有点。对称性是一个有用的工具因为它创建了一个映射,可以让你从已知点的性质推出未知点的性质。

 

想象一下,你已经在下半圆找到了所有的有理点。因为圆是反射对称的,你可以水平直径为对称轴翻转下半圆的有理点(改变所有y坐标的符号),于是一下子你就可以得到在上半圆的所有有理点。事实上,一个圆拥有丰富的对称性,即使知道一个单点的位置,结合对称知识,如果你需要找圆上的所有有理点,只要围绕原点无限旋转对称就可以得到。

 

但是如果你处理的几何对象有着高度无规律性,就像一个随机游走路径,你将需要努力去分别独立找出每一个点——这儿没有对称关系帮助你去将已知点映射到未知点。

 

数的集合也可以拥有对称性。集合的对称性越多,就越容易去理解——你可以应用对称性去发现未知的值。具有特定类型对称关系的数聚在一起形成一个“群”,数学家可以使用群的性质去理解包含在其中的所有的数。

 

一个方程的有理解集合不具有任何对称性也不形成一个群。从而使数学家们不可能一次性就发现所有的解。

 

从二十世纪40年代开始,数学家们开始探索一种方法去将丢番图方程的解放到一个拥有更多对称性的空间中去找。数学家沙博蒂(Claude Chabauty)发现在他构建的更大的几何空间的内部(通过一个被称为p进数(p- adic numbers)的扩张的全域),有理数形成了自己的对称子空间。他开始用这样的子空间与丢番图方程的图像联系起来。两个空间相交的点就是方程的有理解。

 

在二十世纪80年代,数学家科尔曼(Robert Coleman)对 沙博蒂的结果进行了改进。 在那之后的几十年里,科尔曼-沙博蒂方法成为数学家寻找丢番图方程有理解最有效的工具。但只有当方程的图像与更大的空间大小成比例时,它才起作用。当不成比例时,那么就很难精确找出方程曲线与有理数相交的点。

 

“如果你有一条曲线在空间内,而且有太多有理点,这些有理点集纠结在一起,你就很难区分哪些有理点在曲线上。”一位在加州大学圣地亚哥分校名叫凯德拉亚(Kiran Kedlaya)的数学家说。

 

于是,金明迥开始着手起这个问题了。为了在沙博蒂的基础上取得更进一步的成果,他希望去寻找一个甚至更大的空间去思考丢番图方程——一个有更多有理点分布的空间,于是他就可以研究更多不同种类丢番图方程的相交点。

 

空间的空间

 

如果你在寻找一个更大的空间,以及在思考如何沿着对称这条线索来寻找答案,借助于物理办法是个好的选择。

 

一般来说,在数学的意义上,一个空间是一个拥有几何或拓扑结构的点集。随意分散的一千个点不会形成空间,因为没有任何结构将他们联系在一起。但是对于一个球,由特殊的连续分布的点构成,它是一个空间。同样的环面、二维平面、或者我们生活中四维时空也是一个空间。

 

除了这些空间外,存在更多的风格迥异的空间,你可以把它看成“空间的空间”。举一个非常简单的例子,想象你有一个三角形——这是一个空间,那么继续想象所有可能的三角形,它们组成一个空间。在这个更大空间内的每一点代表一个特定的三角形,由它所表示的三角形的角的顶点的坐标。

 

这样的想法在物理中非常有用。在广义相对论的框架下,时间和空间不断演变,物理学家把每个时空看作是所有时空所组成的空间中的一个点。空间的空间在规范场论这个物理领域中出现过,这与物理学家在物理空间之上建立的场有关。这些场描述了你在空间中运动时,这些力如何起作用,如同你看到的电磁力和重力一样。你可以想象,在空间的每一个点上,这些场的构造都略有不同——而且所有这些不同的构造聚在一起形成了更高维度的“所有场的空间”中的点。

 

这个物理学中场的空间与金明迥在数论中提出的观点类似。为了便于理解,我们考虑一束光。物理学家想象光穿过高维的场空间。在这个空间中,光线将遵循“最小作用量原理”的路径——也就是从A到B所需最短时间的路径。这个原理解释了为什么当光从一个介质到另一种介质会弯曲——弯曲的路径花费的时间最少。

 

物理学中出现的这些更大的空间的空间具有额外的对称性,这些对称性并不存在于它们所代表的任何空间中。通过对称性可以找出特殊点,例如强调的时间最短路径。在另一种情况下以另一种方式构建,这些相同类型的对称可能会注重其他类型的点——如对应于方程的有理解的点。


理学中出现的这些更大的空间空间具有额外的对称性,这些对称性并不存在

 

对称性与物理之间的纠缠

 

数论没有粒子可以追踪,但是数论多少有点像时空,为此它也提供了一种寻找所有可能的路径方法和构建对所有可能路径的空间。从这种基本的对应中,金明迥提出了一种方案:寻找光的轨道以及探寻丢番图方程的有理解是同一个问题的两个方面.正如他在德国海德堡举行的数学物理会议上解释的那样。

 

丢番图方程的解形成空间是由方程定义的曲线。这些曲线可以像圆一样是一维的(一维流形),或者他们可以是更高维的空间。例如,如果你试图寻找丢番图方程———x^4+y^4=1的复解,你就得到了一个三孔环面。在这个环面上的有理解缺乏几何结构,这样就很难去找到他们,但是它们可以被做成对应于具有结构的空间的更高维空间中的点。


金明迥通过考虑可以在环面上绘制环的方式(或等式定义的任何空间)来构造空间的高维空间。绘制环的过程如下:首先,选择一个基点,然后从该点绘制一个环到任何其他点,然后再返回。重复这个过程,画出连接基点和圆环面上其他点的路径。最后,你会有一个所有可能的环,他的起始点和结束点都在基点。这种环的集合是数学中一个重要的中心对象,它被称为空间的基本群。

 

 

你可以使用在环面上的任何点作为你的基点。每一个点将有一个独一无二错综复杂的路径。每一个这些路径的集合可以被表示为一个点在一个更高维的“路径集合的空间”(就像所有的可能的三角形的空间)。这个空间的几何上非常类似于物理学家在规范场理论中构造的“空间空间”。当从一个点移动到环面上另一个点时,路径集合的变化非常类似于在实际空间中从一个点移动到另一个点时场变化的方式。

 

空间的空间具有额外的对称性,不表现于环面本身。虽然环面上的有理点之间没有对称性,但如果你进入所有路径集合的空间,就可以找到与有理点相关的点之间的对称性。这样你可以得到之前所看不见的对称性。

 

“我时常用到的一个短语是这些路径中有一种“隐藏的算术对称性”,高度类似于规范场论中内在的对称性”金明迥说。

 

 

就像沙博蒂所说的那样,金明迥通过考虑在他所构造的更大的空间结构中交叉的点去寻找有理解,同时运用这个空间中的对称性去限制空间中的交叉点。他希望建立一个方程去精确的找到这些点。


在物理环境中,你可以想象光线可能会采取的所有可能的路径。这是你“所有路径的空间”。在这样的空间中,引起物理学家兴趣的是与时间最小化路径相对应的点。金明迥认为寻找有理点的过程与错综复杂的路径对应的点具有同样的性质——也就是说,当你开始思考丢番图方程的几何形式时,这些点将最小化某些性质。只是他还没有找出这种性质是什么。


“我开始寻找的东西是一个在数学环境中的最小作用量原理,他在邮件中写道。“我还是不太清楚,但我有信心,它就在那里,我能找到它。”

 

 

一个不确定的未来

 

在过去的几个月 ,我对几位数学家描述了金明迥由物理所启发的想法,他们都仰慕金明迥对数论的贡献。然而,当把金明迥遇到的困难传达给他们时,他们并不知道该如何下手。

 

“作为一个具有代表性的数论学家,如果你向我展示了金明迥一直在做的所有的这些“恐怖”的事情,并问我是否受到灵感启发,我会说'你到底在说什么鬼话?'”艾伦伯格如是说。

 

至今,金明迥并没有在他的论文中提及物理学。取而代之的是,他把他的目标称为Selmer簇,他考虑Selmer簇在所有Selmer簇空间中的关系。这些对于数论学者来说是可识别的术语。但是对于金明迥来说他们一直是物理学中某些物体的另一个名称。

 

“利用物理学中的思想去解决数论中的问题是有可能的,但是我还没有想好如何建立起这样的框架,”金明迥说,“我们在一个关键点上,对物理的理解足够成熟,以及有足够多的数论学者对这个问题感兴趣,所以接下来我们需要进一步推进。”


阻碍推进金明迥的方法一个困难在于在所有错综复杂的圈所组成的空间中寻找一些最小作用量的类型。在物理世界中,这样的观念十分自然,但是在算术中并不那么显然。甚至是对金明迥的工作了解最深的数学家,也非常关心他是否会找到它。

 

“我认为金明迥的工作将会给我们带来许多有价值的东西。我不认为我们要像金明迥想要的那样清晰的理解有理解所在的地方是某种算术规范场理论(arithmetic gauge theory)的经典解”哈佛大学数学物理教授阿尔纳夫·特里帕蒂说。

 

今天,物理学的语言几乎完全在数论的实践之外。金明迥认为这种情况肯定会改变。40年以前,物理和几何、拓扑的研究几乎都是独立。但在20世纪80年代,屈指可数的几位数学家和物理学家建立了有效的方法,该方法运用物理去研究形状的性质,现在这些学者都是领军人物了,而且该领域从未停止向前。

 

“如今不了解物理学几乎不可能对几何学和拓扑学感兴趣。我有理由确信在数论上也会有这种情况发生”在接下来的15年,金明迥说,“这样的联系将变得十分自然。”

 

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有图有真相:以为了解JPG图,你太天真!

 

原文作者,David Austin,大峡谷州立大学

翻译作者,小涟猫,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,333。

 

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下面这张图片以矩阵形式包含了3871488个像素。每个像素的颜色由红绿蓝分量决定,每种颜色占一字节内存,我们可能想当然地认为,这个图片会占11614464字节内存,但是这个JPEG 文件实际只占734268字节内存,约为原来十六分之一。下面我们将会介绍这种由联合图像专家小组(JPEG)开发的高效图像压缩算法。

 

 

相比专门使用红绿蓝三种颜色分量,用另外三种不同的分量来描述会更方便:亮度Y, 与颜色明亮程度密切相关;C_b、C_r为蓝色、红色色度分量,它们可以粗略地确定一个色彩。上述两种表示方法可以通过一个可逆的仿射变换实现相互转换。例如,为重新获得红、绿、蓝分量的值,我们可以用以下公式:


可以看出,亮度与三种基本颜色分量的作用相同。为了可视化这个变换,我们保持亮度不变并且混合各类色度值得到以下颜色

 

 

这个算法将图片分割为8*8的可单独处理的图像块,这是一个样本模块。

在我们的样本模块中,(Y,C_b,C_r)三种分量的分布情况如下,明亮的区域对应更大的数值。


可以看出亮度值Y产生的是原图的灰度图。心理可视化实验表明,人眼对亮度变化最为敏感,因此对颜色转换时可以把最重要的信息压缩到单个分量中。彩电使用相似的颜色模型,它能让黑白电视也可以有效播放貌似彩色效果的图像。

 

原因稍后解释,现在我们用一些频率越来越块的余弦函数的线性组合求表示各个分量值。例如,如果Y_ x,y 代表图像块中的第x 行,第y 列的方块处的亮度,就可以表示为

归一化常数C_u,v 不需过分关注; 系数F_u,v由二维离散余弦变换(DCT)得到,而对于它的高效计算则可以采用快速傅立叶变换(FFT)。

大多数图像块的分量值不会急剧改变,人眼对这些变化也不是很敏感,因此,频率较高的DCT 变换系数可能很小甚至忽略也不影响对我们对于图像的感知。这样的观察启迪了我们,也许可以以整数的形式来量化DCT的系数并加以存储。

 

量化过程涉及两个要素。第一个为参数α,它由使用者选择,用于控制压缩程度与图片质量。α值越大,文件越小,图片质量也就越差。

 

第二个因素是一个8*8的矩阵Q=[Q_u,v],其中的系数为对F_u,v /αQ_u,v取整后的值, 依经验选取Qu,v时,为了弱化高频的影响,通常对于高频部分赋予较大的数值。例如,一个用于量化亮度离DCT系数的矩阵为

考虑到亮度携带更多重要的视觉信息,所以我们用不同的矩阵来分别量化描述亮度的系数与描述色调的系数。用中间值α处理我们的样本图像块,量化后的亮度系数如下

量化后的系数按照箭头指向排序,低频排在前面。

样本的亮度分量,其量化后的系数为数列 7, -2, 4, 1, 0, 1, 0, 1, -1以及55个0。相比存储这么多数字零,我们直接记录零的个数,这样极大减少了存储需求。后续的压缩要依靠哈夫曼编码来实现系数数列的高效效存储。


图像的重建可以通过逆过程实现。量化系数给出了F_u,v的近似值,这些反过来又给出了Y, C_b , C_r和R,G,B 分量的值。下图中左图表示原图,右边则是重建后的图。

DFT似乎比DCT 更好用,因为它易于计算。但是我们却选择了DCT,这是因为我们希望把信息尽量集中到频率较低的系数上。以8*8模块中的某一行Y_x的值为例, DFT方法将Y_x表示为一些周期为8的函数的线性组合,并由此给出了Y_x的一个周期延拓。但该变换非常不必要地将 y_7 与 y_8 = y_0之间的变化也记录下来了,这就导致了高频分量的加入以及由此产生的显著影响。在下面的图中,Y_x 值用黑色表示,而由傅立叶变换的三个最低频项所给出的近似值是用红色表示的。


   
   与之相比,DCT方法将Yx表示为一些周期为16且关于x=7.5对称的函数的线性组合。这使得Y_x的近似延拓更为平滑,从而减少了对高频分量的依赖。下图是DCT所给出的近似值,注意到近似效果得到了显著改善。

因为这些8*8图像块都是被独立处理,所以这就导致了在高压缩率的情况下边缘部分的不连续性变得十分明显。除此之外,我们通常还希望用中等分辨率就能高效重建图像。这些因素以及一些其他原因,促使了JPEG2000压缩算法的产生。在诸多不同点中,JPEG2000还采用离散小波变换代替了DCT


JPEG2000算法把图像分割为尺寸更加精细的图像块,比如256*256。为了演示小波变换,取图像块中的一行像素并令y_x 代表该行中的某一个值。现在求小波系数。


h_x为能够检测到高频变化的高通系数,l_x为低通系数。按照低通系数在前高通系数在后的顺序进行排序,对列也做相同处理后,可得小波系数的数表。

   
位于LL子块中的系数是通过对所有2*2的邻近像素点取平均值得到的因此代表了一个低分辨率的图像。另外三个子块描述了当重建高分辨率图像时所必要的变换。我们对LL子块重复之前的处理,从而实现以越来越低的分辨率存储图像。

量化的过程会检测数值变化不明显的区域,从而可以安全地忽略高通系数。和之前介绍的小波变换求取两个相邻值的平均值不同的是,JPEG2000算法使用Cohen-Daubechies Feauveau (9, 7) 小波变换,它可实现取邻近九个值的平均值,这样可令图像更加平滑。

 

JPEG2000的算法复杂度比JPEG高一个数量级,而且在中、低压缩率时,图像质量并没有优化多少。但是在高压缩率情况下,JPEG算法采用的8*8图像块会导致图片质量严重下降,而JPEG2000的效果此时会明显更好。

因为JPEG2000在获取同等质量图像时更为费劲,所以它对JPEG来说并没有明显优势。事实上,目前只有少数网站支持显示JPEG2000图像。它的优势在于,当处于增加算法复杂度不再是问题的环境下,可以为图像提供灵活的格式。


例如利用小波变换能以不同分辨率有效重组图像,用户可肉眼迅速大量搜索低分辨率的图片。JPEG2000允许用户指定区域以高分辨率展示,通常是出于医学成像的需要。最后,它也使得数码图像能以JPEG2000的格式存储在相机内存卡中,这样在拍照后,图片会以低分辨率存储起来以减少内存使用。在JPEG面世约十年后,JPEG2000才出现。它还拥有一些其他的功能特性,比如事后图像加密的功能。

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女数学家少是因为信心不足?

 

 

原文作者,Devin Pope,行为科学家

翻译作者,孙云龙,哆嗒数学网翻译组成员。

校对mathyrl

 

 

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一位前谷歌工程师最近提醒了世人,在包括物理、计算机科学和工程学在内的几个数理领域中,女性的比例不足。

造成这一比例偏低的原因引起了激烈的争论,广泛讨论认为进入门槛和考试成绩的性别差异是潜在原因。

 

 

但新的数据分析却强调了信心在差距中的重要性。

一些年轻女性, 包括在数学方面特别有天赋的, 往往都会低估自己的能力。

缺乏信心可能会促使这一领域的一些最好的人才去寻求其他成功途径,毕竟, 即使一些人有过人的天赋, 如果她不相信自己是一个天才的数学家, 她也不太可能去喜欢科学、技术、工程、数学的学习生涯,并且以后以此为生。

(顺便说一下, 一些女性发现她们的自信也会受到舆论宣称女性容易成为次等数学家的言论的影响, 但这都是以后的事情了。)  

最近, 我偶然发现了一些数据,在我们都特别熟悉的SAT考试中印证了上述观点

当一些高中生们在参加 SAT测试时, 他们都会填写一份人口统计学和其他高中和大学有关问题的问卷。这个问卷的老版本会询问学生对他们自己智力能力的信心。具体来说, 学生们会被问及,他们是否相信自己是数学能力最高的前10%。

使这个设定变得特别有趣的是, 数据不仅包括学生们对自己能力的信心, 还包括他们的 SAT 分数, 而这个分数为实际能力提供了大致的衡量标准。在九十年代末和二十一世纪初, 样本调查使用了超过 400万 SAT 考生的数据, 下图显示了,实际SAT数学成绩每10分为间隔,在每个分数段中相信自己的数学能力排在前10%的男性和女性的比例。

如人所料, 如果学生在SAT数学部分的分数更高 (图中的曲线是向上倾斜的), 他们更有可能相信自己在10%。然而, 这个图表明, 在所有的 SAT 分数水平, 男性比女性对自己的数学能力更有信心。例如, 这个图表明, 达到了700分的男性有67%相信他们的数学能力在前10%, 而女性达到700分的却只有56%的人有相同的信念。这些结果表明, 女性对自己的数学能力的信心是不及相同SAT 数学成绩的男性的。

一些人可能会说,这个数据不能说明只在数学学科存在这个性别差异,有可能在所有学科都存在这种差异。幸运的是, 数据能够说明,男性比女性更自信到底是一个普遍现象,还是在数学学科中有一些特殊的数据表现。


下图显示了大约 400万SAT考生对通过他们的SAT语文分数他们是否相信自己的写作能力在10%这个问题的回答,不像数学能力图表, 在这里我们可以明显看到, 在取得相同 SAT 成绩时,女性比男性对自己的写作技巧更有信心。因此, 不是在所有科目中, 男性都比女性更有信心。相反, 数学能力似乎是一个特殊的学科, 男性和女性表现出信心上的巨大差别。
 

 

这些数据在一个熟悉的领域给人提供了令人信服的证据, 证明了即便能考出相同的分数,男性和女性在数学能力上的自信程度也是存在差异的。这些信心的差异可能是造成大学专业学生和职业人员中性别失衡的一个重要因素。精准的在提高数学信心上做工作, 或许是科学、技术、工程、数学内解决性别失衡方面问题的一项重要手段。

 

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数学上下三万年(五):十九世纪上半叶的数学

 

 

原文作者,圣安德鲁斯大学数学与统计学院

翻译作者,mathyrl,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,math001。

  

 

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从今天起,我们将连载这部数学编年史。本文是翻译版本,因为工作量巨大,必有疏漏(包括原文也会有错误),欢迎指正。

 

这应该是网上最全的数学编年史,从公元前30000年到公元2000年,哆嗒数学网为你奉献。

 

 这里是 数学上下三万年(五):十九世纪上半叶的数学

 

这个时期欧美基本完成工业革命,各种科学学科开始按现代的门类分化,并影响到社会学科。中国也在这个时期进入半殖民地半封建社会。

  

本期出场人物有:高斯、勒让德、热尔曼、傅里叶、泊松、拉普拉斯、柯西、阿贝尔、哈密顿、狄利克雷、洛巴切夫斯基、雅克比、刘维尔、德摩根、埃尔米特等。

 

 

本系列下面是往期内容:

 

数学上下三万年(一):爱在西元前

 

数学上下三万年(二):从罗马时代到中世纪

 

数学上下三万年(三):大航海时代

 

数学上下三万年(四):欧洲资产阶级革命开启

 

 

 

1800年,拉克鲁瓦(Lacroix)完成了他的三卷本教科书《微分学与积分学》(Traité de Calcul differéntiel et intégral)的出版。

 

1801年

高斯出版了《算术研究》(Disquisitiones Arithmeticae)。它包含了七部分,前六部分研究数论,最后一部分研究正十七边形尺规作图。

 

 

1801年

谷神星被发现然后不知所踪。高斯从少量已有的观测资料计算了它的轨道,随后几乎恰好在高斯预测的位置上谷神星被重新发现。

 

1801年

高斯证明了费马的猜想,即每个正整数可以表为三个三角数之和。

 

 

1803年

拉扎尔·卡诺(Lazare Carnot)出版了《位置几何学》(Géométrie de position),其中首次在几何学中系统地使用了向量。

 

1804年

贝塞尔(Bessel)发表了一篇关于哈雷彗星轨道的论文,其中使用了200年前哈里奥特的观测数据。

 

1806年

阿尔冈(Argand)引入了阿尔冈图作为在平面上复数几何表示的一种方法。

 

1806年

勒让德发展了最小二乘法,用于寻找一组数据的最佳逼近。

 

1807年

傅立叶(Fourier)发现了用一系列三角函数之和来表示连续函数的方法,并在一篇提交到法国科学院的论文《固体上的热传导》(On the Propagation of Heat in Solid Bodies)中使用了这个方法。

 

 

1808年

热尔曼(Germain)对费马大定理作出了重要贡献。这就是被勒让德命名的“热尔曼定理”。

 

1809年

潘索(Poinsot)发现了两个新的正多面体。

 

1809年

高斯描述了最小二乘法,在《天体运动论》(Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium)中他使用这种方法寻找天体的轨道。

 

1810年

葛尔刚(Gergonne)出版了他的新数学期刊《纯粹数学与应用数学年刊》(Annales de mathématique pures et appliquées)的第一卷,这个期刊又称为《葛尔刚年刊》(Annales de Gergonne)。

 

1811年

泊松(Poisson)出版了《力学》(Traité de mécanique)。它包含了泊松关于数学在电磁学与力学的应用的研究工作。

 

1812年

拉普拉斯(Laplace)出版了两卷本《概率的解析理论》(Théorie Analytique des probabilités)。第一卷研究了生成函数以及概率论中出现的各种表达式的逼近。第二卷包含了拉普拉斯的概率定义、贝叶斯法则与数学期望。

 

1814年

阿尔冈(Argand)给出了对代数基本定理的一个漂亮证明(带有一些缺陷)。

 

1814年

巴洛(Barlow)制作了巴洛表,给出了从1到10000的整数的因子分解、平方、立方、平方根、倒数和双曲线对数。

 

1815年

彼得·罗热(Peter Roget,《罗热同义词词典》的作者)发明了对数计算尺。

 

1815年

普法夫(Pfaff)发表了关于被称为“普法夫形式”的重要工作。

 

1816年

皮科克(Peacock),赫歇尔(Herschel)和巴贝奇(Babbage)是剑桥分析学会(Analytical Society)的领袖,该学会出版了拉克鲁瓦(Lacroix)的教科书《微分学与积分学》(Traité de Calcul differéntiel et intégral)的英译本。

 

1817年

贝塞尔在研究开普勒问题过程中发现了一族被称为“贝塞尔函数”的整函数,以确定三体在相互引力的作用下的运动。

 

1817年

波尔查诺(Bolzano)出版了《纯分析证明》(Rein analytischer Beweis),试图将微积分从无穷小量概念中解放出来。他不使用无穷小量来定义连续函数。这本著作包含了波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理。

 

1818年

受到拉普拉斯工作的启发,亚德里安(Adrain)发表了地球形态以及不同纬度的重力的研究。

 

1819年

霍纳(Horner)向皇家学会提交了一篇论文,给出了用于求解代数方程的“霍纳方法”,该论文于同年发表在英国皇家学会哲学汇刊。

 

1820年

布利安香(Brianchon)发表了《在给定四个条件下,确定等边双曲线的研究》(Recherches sur la determination d'une hyperbole equilatère, au moyen de quatres conditions données),其中包含了九点圆定理的陈述和证明。

 

1821年

纳维对于不可压缩流体给出了著名的“纳维-斯托克斯方程”。

 

1821年

柯西(Cauchy)出版了《分析教程》(Cours d'analyse),这是第一次将数学分析建立在正式基础上。它为巴黎综合理工学院的学生设计,致力于尽可能严格地发展微积分的基本定理。

 

 

1822年

彭赛列(Poncelet)在《论图形的射影性质》(Traité des propriétés projectives des figures)发展了射影几何的原理。这本著作包含了射影几何的基本思想,例如交比、透视、对合、以及虚圆点。

 

1822年

傅立叶(Fourier)1811年的获奖作品《热的解析理论》(Théorie analytique de la chaleur)发表。它使得傅立叶分析的技术被广泛地利用,这将广泛应用于数学和整个科学领域。

 

1822年

费尔巴哈(Feuerbach)发表了他的关于三角形的九点圆的发现。

 

1823年

鲍耶·亚诺什(János Bolyai)完成了关于非欧几何的一个完整体系的论文的准备工作。当鲍耶发现高斯已经预见到他的大部分工作但没有发表任何东西,他推迟了发表。

 

1823年

巴贝奇(Babbage)开始制造一台大“差分机”,该机器可以计算对数以及三角函数。他的经验来自于他在1819年至1822年间制造的小“差分机”。

 

1824年

萨迪·卡诺(Sadi Carnot)出版了《论火的动力,以及合适的机器来开发这个动力》(Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance)。这是一本关于蒸汽机的书,它在热力学中有根本重要性。形成热力学第二定律的基础的“卡诺循环”也出现在这本书中。

 

1824年

阿贝尔(Abel)证明了高于四次的多项式方程没有根式解。他把这个证明自费出版在一本六页的小册子上。

 

 

1824年

贝塞尔对行星扰动进行研究的同时进一步发展了“贝塞尔函数”。

 

1824年

斯坦纳(Steiner)发展了综合几何学。他在1832年发表了关于这个论题的理论。

 

1825年

冈珀茨(Gompertz)给出了“冈珀茨死亡率定律”,它表明死亡率呈几何级数增长,因此当死亡率以对数标度绘制时,得到一条直线,称为“冈珀茨函数”。

 

1826年

安培(Ampère)出版了《关于电动力学现象之数学理论的回忆录,独一无二的经历》(Memoir on the Mathematical Theory of Electrodynamic Phenomena, Uniquely Deduced from Experience)。它包含电动力定律的数学推导,并描述了四个实验。它为电磁理论奠定了基础。

 

1826年

克雷勒(Crelle)开始出版他的期刊《纯数学和应用数学杂志》(Journal für die reine und angewandte Mathematik),后来被称为“克雷勒杂志”。第一卷包含了阿贝尔的几篇论文。

 

1826年

彭赛列(Poncelet)关于圆锥曲线极点与极线的工作使他发现了对偶原理。引入了术语“极线”的葛尔刚(Gergonne)独立发现了对偶原理。

 

1827年

雅可比(Jacobi)在向勒让德写的信中详述了他关于椭圆函数的发现。与此同时,阿贝尔在独立地进行关于椭圆函数的工作。

 

1827年

莫比乌斯(M?bius)出版了关于解析几何的《重心的计算》(Der barycentrische Calkul)。它成为了经典并包含了他的关于射影几何与仿射几何的很多结果。书中他引入了齐次坐标并讨论了几何变换,特别是射影变换。

 

1827年

费尔巴哈(Feuerbach)写了一篇论文,独立于莫比乌斯引入了齐次坐标。

 

1828年

高斯引入了微分几何并发表了《关于曲面的一般研究》(Disquisitiones generales circa superficies)。这篇论文来源于他对测地线的兴趣,它包含了“高斯曲率”等几何思想。这篇论文也包含了高斯著名的“绝妙定理”(theorema egregrium)。

 

1828年

格林(Green)出版了《论应用数学分析于电磁学》(Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theory of Electricity and Magnets),书中将数学应用于电场和磁场的性质。他引入了术语“势”,发展了势函数的性质,并将其应用于电和磁。连接表面积分和体积积分的公式,现在称为“格林定理”,在书中首次出现,“格林函数”也首次出现在书中,该函数被广泛应用于偏微分方程的解。

 

1828年

阿贝尔开始研究双周期椭圆函数。

 

1828年

普吕克(Plücker)出版了《解析几何》(Analytisch-geometrische),发展了“普吕克简算记号”。他比莫比乌斯和费尔巴哈早一年独立地发现了齐次坐标。

 

1829年

伽罗华(Galois)向法国科学院提交了他的第一篇关于方程代数解的作品。

 

1829年

罗巴切夫斯基(Lobachevsky)发展了非欧几何,特别是双曲几何,他关于这个论题的第一份描述发表在《喀山通讯》(Kazan Messenger)。当它被提交到圣彼得堡科学院时被奥斯特罗格拉德斯基(Ostrogradski)拒绝。

 

约1830年

巴贝奇(Babbage)创建了用于保险计算的第一个精确精算表。

 

1830年

泊松在弹性力学中引入了“泊松比”,其中涉及材料的应力和应变。

 

1830年

皮科克(Peacock)出版了《论代数》(Treatise on Algebra),试图给代数学一个与欧几里德《几何原本》相媲美的逻辑处理。

 

1831年

莫比乌斯(M?bius)发表了《一大类特殊的反转公式》(über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen),书中引入了莫比乌斯函数以及莫比乌斯反演公式。

 

1831年

柯西(Cauchy)给出了单复变解析函数的幂级数展开。

 

1832年

斯坦纳(Steiner)出版了《不同几何形式的依赖关系的系统性发展》(Systematische Entwicklungen ...),书中给出了基于度量考虑的射影几何的一种处理。

 

1832年

鲍耶·亚诺什(János Bolyai)关于非欧几何的工作作为他父亲鲍耶·法尔科斯的书的附录发表。

 

1833年

勒让德指出了关于平行公设的12个“证明”中的缺陷。

 

1834年

哈密顿(Hamilton)在《动力学中的一种普遍方法》(On a General Method in Dynamics)使用代数来处理动力学。这篇论文给出了应用于动力学的特征函数的第一个陈述。

 

1835年

凯特勒(Quetelet)出版了《论人类及其能力之发展》(Sur l'homme et le développement de ses facultés)。他提出了“平均人”的概念,认为平均人是根据正态曲线对人类特征测量的中间值。

 

1835年

科里奥利(Coriolis)出版了《物体系的相对运动方程》(Sur les équations du mouvement relatif des systèmes de corps)。他引入了“科里奥利力”,并证明,如果在运动方程中添加一个称为“科里奥利加速度”的额外的力,那么运动定律适用于转动参考系。同年科里奥利出版了一本关于台球的数学理论的著作。

 

1836年

奥斯特格拉斯基(Ostrogradski)重新发现了格林定理。

 

1836年

刘维尔创办了数学杂志《纯粹与应用数学杂志》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées),这份杂志有时被称为《刘维尔杂志》(Journal de Liouville),记录了19世纪法国数学的一部分重要内容。

 

1836年

彭赛列(Poncelet)出版了《力学在机械中的应用》(Cours de mécanique appliquée aux machines)。它第一次提出了将数学应用于机械设计。

 

1837年,泊松出版了《关于判断的概率之研究》(Recherches sur la probabilité des jugements)。在书中他确立了概率的法则,给出了“泊松大数定律”,并且对于二项分布一种限制情形的离散随机变量描述了“泊松分布”。

 

1837年

《剑桥与都柏林数学杂志》开始出版。

 

1837年

狄利克雷(Dirichlet)给出了函数的一般定义。

 

1837年

刘维尔(Liouville)讨论了积分方程,并给出了“斯图姆-刘维尔定理”用于求解此类方程。

 

1837年

旺策尔(Wantzel)证明了经典问题倍立方与三等分角不可能用尺规作图。

 

1838年

贝塞尔(Bessel)测量了天鹅座61的视差,这是第一颗被计算视差的恒星。

 

1838年,库诺特(Cournot)出版了《财富理论的数学原理之研究》(Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses),书中讨论了数学经济学,特别是供需函数。

 

1838年

德摩根(De Morgan)发明了术语“数学归纳法”,并使该方法精确化。

 

1839年

拉梅(Lamé)证明了费马大定理在n=7的情形。

 

1840年

柯西出版了四卷本《分析与数学物理习题集》(Exercises d'analyse et de physique mathematique)的第一卷。

 

1841年

高斯发表了一篇光学论文,其中给出了一个公式,用于计算给定焦距的透镜成像的位置和大小。

 

1841年

雅可比(Jacobi)撰写了《函数行列式》(De determinantibus functionalibus),致力于研究函数行列式,现在称为雅可比行列式。

 

1841年

凯特勒(Quetelet)建立了比利时中央统计局。

 

1842年

海森(Hesse)在一篇研究三次和二次曲线的论文中引入了“海森行列式”。

 

1842年,斯托克斯(Stokes)开始研究流体,出版了《关于不可压缩流体的稳定流动》(On the steady motion of incompressible fluids)。

 

1843年

哈密顿(Hamilton)发现了四元数,它是复数的四维推广。

 

1843年

刘维尔(Liouville)向法国科学院宣称他发现了伽罗华的未发表作品中的深刻结果,并承诺将伽罗华的论文以及他自己的注解发表出来。

 

1843年

库默尔(Kummer)在研究唯一分解时发明了“理想复数”。这导致了环论的发展。

 

1843年

凯莱(Cayley)在他的论文中研究了“n维几何”,他是第一个研究高维几何的人。他使用行列式作为主要工具。

 

1844年

刘维尔找到了第一个超越数,这种数不能被表示为有理系数代数方程的根。

 

1844年,格拉斯曼(Grassmann)出版了《线性外代数,数学的新分支》(Die lineale Ausdehnundslehre, ein neuer Zweig der Mathematik),其中他发展了一种代数的思想,用特定的法则来处理表示几何对象的符号,例如点、线、面等。

 

1845年

凯莱出版了《线性变换理论》(Theory of Linear Transformations),其中他研究了线性变换的复合。

 

1845年

柯西在研究置换群的时候证明了一个群论基本定理,后来被称为“柯西定理”。

 

1846年

刘维尔在《Liouville's Journal》(刘维尔杂志)发表了伽罗华的关于求解代数方程的论文。

 

1846年

14岁的麦克斯韦(Maxwell)写了他的第一篇论文《论卵形线与其他多焦点曲线》(On the description of oval curves, and those having a plurality of foci)。

 

1847年

布尔(Boole)出版了《逻辑的数学分析》(The Mathematical Analysis of Logic),其中他证明了逻辑法则可以用数学方法处理而非形而上学。布尔的工作为计算机逻辑奠定了基础。

 

1847年

德摩根(De Morgan)提出了两个集合论定律,被称为“德摩根律”。

 

1847年

斯陶特(Von Staudt)出版了《位置几何学》(Geometrie der Lage)。它第一次将射影几何从度量基础中完全解脱出来。

 

1848年

汤姆森(开尔文勋爵)提出了以他名字命名的绝对温标。

 

1849年

埃尔米特(Hermite)将柯西的留数技术应用到双周期函数。

 

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数学上下三万年(四):欧洲资产阶级革命开启

原文作者,圣安德鲁斯大学数学与统计学院

翻译作者,mathyrl,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,math001。

  

 

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从今天起,我们将连载这部数学编年史。本文是翻译版本,因为工作量巨大,必有疏漏(包括原文也会有错误),欢迎指正。

 

这应该是网上最全的数学编年史,从公元前30000年到公元2000年,哆嗒数学网为你奉献。

 

这里是 数学上下三万年(四):欧洲资产阶级革命开启

 

本期发布的编年史涵盖1640年到1800年的内容。1640年,应该开始资产阶级革命。而中国在此时进入清朝。本期四大数学家出场三个:牛顿、欧拉、高斯。

 

本期出场人物有:帕斯卡、费马、托里拆利、惠更斯、胡克、牛顿、莱布尼兹、伯努利家族、泰勒、棣莫弗、欧拉、阿涅西、拉格朗日、高斯等。

 

 

本系列下面是往期内容:

 

数学上下三万年(一):爱在西元前

 

数学上下三万年(二):从罗马时代到中世纪

 

数学上下三万年(三):大航海时代

 

 

1640年

帕斯卡(Pascal)出版了《圆锥曲线专论》(Essay pour les coniques)。

 

1641年

威尔金斯(Wilkins)出版了关于编码和密码的著作。

 

1642年

帕斯卡(Pascal)制造了一台计算器帮助他父亲进行税务计算。它只能做加法。

 

 

1644年

托里拆利(Torricelli)出版了《几何操作》(Opera geometrica),包括了他在抛射体方面的成果。他研究了费马点(到三角形三个顶点距离之和最短的点)。

 

1647年

费马(Fermat)声称他证明了一个定理但页边没有足够的空位写下证明的细节。这就是后世所知的费马大定理:当正整数n>2时,关于x,y,z的不定方程x^n + y^n = z^n 没有非零整数解。这个定理最终在1994年由怀尔斯证明。

 

1647年

卡瓦列里(Cavalieri)出版了《六个几何练习》(Exercitationes geometricae sex),其中首次包含了xn从0到a的积分。

 

1648年

威尔金斯(Wilkins)出版了《数学的魔法》(Mathematical Magic),给出了一些机械装置的说明。

 

1648年

亚伯拉罕·博斯(Abraham Bosse)出版了一本著作,其中包含了著名的“笛沙格定理”:当两个三角形是透视时,则其对应边的交点共线。

 

1649年

凡司顿(Van Schooten)出版了《笛卡尔几何》的第一个拉丁文版本。

 

1649年

德博纳(De Beaune)撰写了《简明注释》(Notes brièves),它包含了很多“笛卡尔几何”的成果,特别是给出了现在熟知的双曲线,抛物线,椭圆的方程。

 

1650年

德·维特(De Witt)完成了《曲线论》(Elementa curvarum linearum)。它是首次对直线和圆锥曲线的解析几何的系统性发展。这本书直到1661年才发表,出现在凡司顿的主要著作的附录中。

 

1651年

墨卡托(Nicolaus Mercator)出版了三本关于三角学和天文学的专著:《对数球面三角学》(Trigonometria sphaericorum logarithmica),《宇宙志》(Cosmographia),和《球面天文学》(Astronomica sphaerica)。他给出了ln(1 + x)的级数展开,

 

1653年

帕斯卡出版了关于帕斯卡三角形的《论算术三角》(Treatise on the Arithmetical Triangle)。帕斯卡三角形已被很多早期数学家研究过。

 

1654年

费马和帕斯卡在夏季交换的五封信里得出赌博和概率的规律。

 

1654年

帕斯卡出版了关于流体静力学的《论液体平衡》(Treatise on the Equilibrium of Liquids)。他认识到力通过流体均等地向各个方向传递,并给出帕斯卡压力定律。

 

1655年,布隆克尔(Brouncker)给出了4/π 的一个连分数展开。他也给出了双曲线的求积法,这个成果在三年后发表。

 

1656年

沃利斯(Wallis)出版了《无穷小算术》(Arithmetica infinitorum),其中使用了插值法计算积分。

 

1656年

惠更斯(Huygens)取得了第一个摆钟的专利。

 

1657年,惠更斯出版了《论赌博中的计算》(De ratiociniis in ludi aleae)。这是第一本关于概率论的出版著作,基于费马和帕斯卡在1654年的信件中的想法首次概述了数学期望的概念。

 

1657年

奈勒(Neile)在修正三次抛物线的时候,首次找出一种代数曲线弧长。

 

1657年

德·班西(Frenicle de Bessy)出版了《问题解答》(Solutio duorm problematum),给出了费马的一些数论挑战问题的解答。

 

1658年

雷恩(Wren)找出了旋轮线的弧长。

 

1659年

拉恩(Rahn)出版了《代数》(Teutsche algebra),其中包含了÷(除号),这个符号可能是佩尔(Pell)所发明。

 

1660年

德·斯路斯(De Sluze)在他的作品中讨论了螺线,拐点,以及求几何平均。他研究了被帕斯卡命名为“斯路斯明珠”的曲线。

 

1660年

胡克(Hooke)发现了胡克定律。

 

1660年

维维亚尼(Viviani)测量了声速。他确定了旋轮线的切线。

 

1661年

凡司顿(Van Schooten)出版了第二卷,也是最后一卷的《笛卡尔几何》(Geometria a Renato Des Cartes)。这项工作将解析几何确立为一个重要的数学专题。这本书还包括他的三位弟子德·维特(de Witt),胡德(Hudde)和休雷特(Heuraet)所做的附录。

 

1662年

伦敦皇家学会成立。布隆克尔当选第一任会长。

 

1662年

约翰·葛兰特(Graunt)和威廉·配第(Petty)出版了《对死亡率表的自然与政治观察》(Natural and Political Observations made upon the Bills of Mortality)。它是最早的统计学书籍之一。

 

1663年

巴罗(Barrow)成为英国剑桥大学首任卢卡斯数学教授。

 

1665年

牛顿(Newton)发现二项式定理并开始了关于微积分的工作。

 

 

1666年

法国科学院在巴黎成立。

 

1667年

詹姆斯·格雷戈里(James Gregory)出版了《论圆和双曲线的求积》(Vera circuli et hyperbolae quadrature),为无穷小几何形成了严格的基础。

 

1668年

詹姆斯·格雷戈里出版了《几何的通用部分》(Geometriae pars universalis),这是撰写微积分教科书的首次尝试。

 

1668年

佩尔(Pell)给出了100000以内所有正整数的因子表。

 

1669年

雷恩(Wren)发表了他的成果:旋转双曲面是一个直纹面。

 

1669年

巴罗退去剑桥大学卢卡斯数学教授席位,他的学生牛顿被任命。

 

1669年

沃利斯(Wallis)出版了《力学》(Mechanica),这是一份对力学的详细数学研究。

 

1670年

巴罗出版了《几何学讲义》(Lectiones Geometricae),其中包含了他关于切线的重要工作,这形成了牛顿微积分工作的起点。

 

1671年,德·维特(De Witt)出版了《关于人寿年金》(A Treatise on Life Annuities)。它包含了数学期望的想法。

 

1671年

詹姆斯·格雷戈里(James Gregory)发现了泰勒定理并将自己的发现写信告诉柯林斯(Collins)。他用arctan(x)的级数展开得到了的π/4的级数。