2018年5月

关于毕达哥拉斯,你也许不知道的10个秘密!

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原文作者,Mark Oliver。

翻译作者,math我想想,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,小米。

 

毕达哥拉斯,这个毕达哥拉斯定理背后的人不仅仅是一个数学家。毕达哥拉斯的追随者们认为他是上天派下来的,并且尊其为精神领袖。对毕达哥拉斯学派来说,数学是一种宗教体验,而有些方程式是神圣的秘密,不宜为普通人所知道。

当你的中学老师教你如何求出直角三角形的斜边长时,你可能不会跪下来把他当作神来崇拜。但是,当它第一次在古希腊发生时,这却是很多人的反应。

在这个想出如何计算三角形边长的男人背后是一个完整的教派而且正如你所想象的那样,他们有一些非常奇怪的信仰。


10.毕达哥拉斯派崇拜数字
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毕达哥拉斯有很多追随者。 一大批数学家报名成为他的学生,学习他所知道的一切,帮助他解决宇宙的伟大奥秘。这不仅仅是一群喜欢数学的人,他们成为了一个完整的教派。

毕达哥拉斯相信,数是万物的本质。他教导他的追随者说,世界由数的和谐所控,它们构成了现实的每一部分。不仅如此,他还认为这些数字几乎像神一样非常神圣。

毕达哥拉斯学派中有几个神圣的数字。7代表智慧,8代表正义,10是所有数字中最神圣的。数学的方方面都是神圣的。每当他们解决了一个新的数学定理,他们就会杀一头牛来表示对神的感谢。

希腊人认为这有点怪异。 他们不把它称为哲学或宗教,而认为这是一种邪教,一种危险的东西。毕达哥拉斯吓坏了人们。为此,人们甚至烧毁了他的房子,把他赶出城市,担心他对神圣数字的神秘控制。

 

9.毕达哥拉斯学派向数字10祈祷

毕达哥拉斯学派有一个神圣的图形标志,被称为圣十(Tetractys)。这是一个三角形,横跨四行十个点,象征着空间和宇宙的组织。他们认为10是具有最高秩序的数字,其中包含所有凡间事物的过程。他们是真正的崇拜它。

毕达哥拉斯的追随者们有一套专门用来崇奉数字10的祷文——“祝福我们,神圣的数字,你们产生了神和人!因为神圣的数字始于深奥而纯粹的统一,直到到达神圣的4。之后它就会成为万物之母,包括所有人,所有土地,最初产生、永不改变的、永远不会疲倦的神圣的数字10,一切事物的拥有者。”

如果想加入毕达哥拉斯派系,每个人都必须对圣三角宣誓。他们会以“纯粹的,圣洁的,四字的名字”的名义宣誓他们的忠诚,也就是圣十。然后他们必须支持毕达哥拉斯,他像是数学界的普罗米修斯,给人类带来了圣十。

 

8.毕达哥拉斯被当作神

毕达哥拉斯的追随者认为毕达哥拉斯是半神半人,因此称他为“圣人毕达哥拉斯”,并且告诉人们他是神的儿子——通常是赫尔墨斯或阿波罗,这取决于你向谁发出指令。

他们甚至有赞美诗来歌颂毕达哥拉斯的神性。一首歌这样唱到:“皮塞斯,萨米安部落最美丽的母亲,太阳神阿波罗怀抱着她。于是,光芒万丈的毕达哥拉斯来到世上——他是宙斯最亲近的人!”

他们甚至还认为毕达哥拉斯有超自然的力量。他的追随者们说,他可以通过抚摸鹰和熊来驯服它们。他只需要用声音用可以控制任何动物,并且他有能力在月亮上写字。

关于毕达哥拉斯最大的传说之一莫过于他黄金大腿。当有人对他的神性产生怀疑的时候,据说他就会给对方看自己黄金大腿,随后立马会得到对方的敬仰。在一个故事中,他向阿波罗的大祭司展示了自己的黄金大腿,作为奖励,他得到了一个富有神力的金箭,让他可以飞越山脉,驱赶疾病,平息风暴。

 

7.他告诉人们他可以在死后不断转世

人们开始编造一些关于毕达哥拉斯 的故事,不仅仅是因为斜边长定理的发现激起了人们对他的崇拜风潮,同时因为毕达哥拉斯本身也鼓励别人去这么做。他直接告诉人们,他是神的儿子,经多次转世,直到他现在的样子。

毕达哥拉斯宣称,在过去的生活中,他是赫耳墨斯的儿子,除了不朽之外赫尔墨斯还给毕达哥拉斯提供了他想要的一切天赋。毕达哥拉斯要求保留他每一段人生的记忆,现在可以记住他曾经的每一世。他曾经在特洛伊战争中与阿喀琉斯进行过战斗。他曾经当过卑微的渔夫。他甚至曾经是一个和权贵上床的名妓。

不仅如此,毕达哥拉斯还声称他可以用新的身体来感知旧灵魂。传说他曾经看到一条狗在街上遭到殴打,赶紧跑来阻止。“住手!别打它!”毕达哥拉斯大叫 “这是我朋友的灵魂。”他在狗的吠叫中认出了朋友的声音。

 

6.他是最早的也是最懒惰的素食主义者之一

在西方历史中,最初有一批人因为道德的原因开始吃素,毕达哥拉斯便是其中之一。他告诉他的追随者们吃死去的肉食会污染自己的身体,他们也因此不会杀生。

不过,他的原则有点奇怪。你可能记得我们之前提到过他会杀牛,同时也是素食主义者。就像一个吃鱼肉和鸡肉的素食主义者,毕达哥拉斯的素食主义不是特别的严格。

希腊作家第欧根尼在毕达哥拉斯的传记中写道:“他所做的祭品总是无生命的。”接着,提奥奇尼斯澄清道:“尽管有人说他会提供公鸡,还在吃奶的小山羊和猪。”不过,毕达哥拉斯还是有清楚的底线。“但是羊羔,”第欧根尼解释说,“从来没有!”

在希腊人看来,希腊人对毕达哥拉斯的原则和我们对希腊人的感觉一样怪异。在他的时代,希腊人散布了一个关于一个坚持说从来不吃任何活物的毕达哥拉斯人的笑话。但在被抓到吃狗肉后,这个人说:“我是吃了,但是我先杀了它们,所以它们不再是活物了。”

 

5.他的教条涉及方方面面

毕达哥拉斯学派的人可能在食肉问题上不太严谨,可是这并不意味着他们可以做任何他们想做的事情。他们在任何事情上都有近乎难以置信的严格的特殊的教条——例如规定了必须先穿哪一只鞋子。

“必须要先穿右脚的鞋子”,他告诉自己的追随者们。一旦你穿上了鞋子,他会继续说:“你不能在公共的道路上走路。”不过,他的规矩不仅限于鞋子。在关于掉在地上的食物的五秒原则问题上,他告诉他的追随者们永远不要去吃在掉下饭桌的食物。

他对性行为也有特别严格的规定。毕达哥拉斯认为,体液是男人灵魂的一部分。当男人失去一些体液,就仿佛是放弃了他们的一些力量。毕达哥拉斯的追随者们被教导尽可能避免性行为。但是如果他们控制不住,毕达哥拉斯告诉他们:“在冬天可以享受性行为带来的乐趣,但夏天,必须戒除。”

 

4.新入教的人五年不能说话

毕达哥拉斯认为保持沉默十分重要,保持安静是一个学习自我控制的方法,所以他确保每个想加入他的教派的人都要这样做。任何报名加入的人都必须连续保持五年不说话。

这部分是为了帮助人们保持纯洁,但是,有很多理由让我们相信,这与确保他们保守秘密有关。即使在古希腊,把自己称为神的儿子并让人们崇拜数字的人,不是一个标准的模范公民。

毕达哥拉斯教派的人尽力保持生活安静。所以,除非这个人可以证明自己可以保持沉默,否则他们不会让任何人进入他们教派。

然而,大多数希腊人并不了解这些沉默的侍从的深层含义。 希腊人只是很高兴成为毕达哥拉斯追随者后,因这个改变而不用谈论数字。一般来说,安静的人比话多的人更加令人印象深刻。

 

3.他可能淹死了一个发现无理数的人

西帕索斯是毕达哥拉斯最有名的追随者之一,传说他是第一个发现无理数的人,而且他可能因此而死。

西帕索斯给出了二是一个无限不循环的无理数的证明。这不仅仅是一个重大的发现,更是一个公开的反叛。毕达哥拉斯曾经教导说,所有的数字都可以表示为整数与整数的比例,而西帕索斯已经证明他的神圣的教主是错误的。

根据传说,当时他俩在一条船上,西帕索斯给毕达哥拉斯看了他的证明,然而,毕达哥拉斯抓住了西帕索斯,并把他摔到船边,把他的头按到水里,直到他不能动弹。然后毕达哥拉斯把尸体扔到船上,转向船上的其他人,并警告他们永远不要告诉别人发生了什么事。

这个故事可能不是事实,它更像是一个毕达哥拉斯寓言故事的扭曲版本,说西帕索斯被神淹死,作为向世界揭露无理数的秘密的惩罚。

但是这个故事仍然揭露了毕达哥拉斯派的一些令人胆寒的事情。他们把这个故事作为一个寓言传播给人们,告诉他的追随者们,如果他们与世界分享教派的秘密,等待他们的可能就是一个浸水的坟墓。

 

2.毕达哥拉斯演讲时总待在一个帘子后面

毕达哥拉斯派中有两种人:数学家和声闻家。数学家是毕达哥拉斯最亲密也是最值得信赖的追随者。他会亲自见面,并详细向他们解释他的定理。他们被允许知道隐藏在世界其他地方的先进数学的秘密。

当然他们不得不为这个特权付出沉重的代价。要成为一个数学家,一个人不得不放弃肉类,女性和所有的私人财产。从此以后,他们唯一的忠诚就是毕达哥拉斯了。

其余的人被允许成为声闻家,他们从未被允许看见毕达哥拉斯的脸。当他对他们说话时,毕达哥拉斯将隐藏一个面纱背后,像是奥兹国的法师一样。他不会向声闻家仔细地解释问题,他们只被要求遵循他的仪式。高端数学的危险秘密是不会告诉他们的。

 

1.他为了不伤害豆子而付出了生命的代价

毕达哥拉斯最奇怪的教规之一是他的追随者们永远不能触碰豆子。他教导说豆子会带走一部分灵魂。他解释说“它们会导致胀气,当气体出来时,会带走人的大部分灵气。”

不仅仅如此。据说他相信豆类包含了死者的灵魂,并告诉他的追随者,“吃豆子等同于啃食父母的人头。”

豆子对毕达哥拉斯派是如此神圣,以至于毕达哥拉斯愿意用生命去保护它们。 据说,一个人因为看不见毕达哥拉斯感到愤怒,就把毕达哥拉斯的房子烧掉了,这时毕达哥拉斯已经危在旦夕。

他为了活下去,他只能不停的逃跑,却在一块豆子田之前停了下来。他宣称,他宁可死,也不愿踩一颗豆子。 最后他让那个人割了自己喉咙这样豆子就能够活下去。

当然,这只是关于他死亡的许多故事之一。 但几乎所有的故事都是毕达哥拉斯死于保护豆田。在一些故事中,他因为试图推翻政府而受到攻击。而在另一些故事里,他被烧死了。但几乎在每一个故事中,毕达哥拉斯都是为了不践踏豆子而付出了自己的生命。

 

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【大结局】数学上下三万年(八):二十世纪下半叶的数学

 

 

原文作者,圣安德鲁斯大学数学与统计学院

翻译作者,mathyrl,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,math001。

  

 

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从今天起,我们将连载这部数学编年史。本文是翻译版本,因为工作量巨大,必有疏漏(包括原文也会有错误),欢迎指正。

 

这应该是网上最全的数学编年史,从公元前30000年到公元2000年,哆嗒数学网为你奉献。

 

 这里是 【大结局】数学上下三万年(八):二十世纪下半叶的数学

 

二战结束,和平与发展成为世界主题。计算机的广泛使用让世界逐步进入信息时代。

  

本期出场人物有:塞尔、霍奇、柯尔莫哥洛夫、米尔诺、斯梅尔、索伯列夫、邦别里、科恩、格罗腾迪克、阿蒂亚、森重文、康威、瑟斯顿、曼德博、唐纳森、孔涅、怀尔斯、威腾、朗兰兹等。

 

中国人或华人也有陈景润、丘成桐、王秋冬登场。

 

 

本系列下面是往期内容:

 

数学上下三万年(一):爱在西元前

 

数学上下三万年(二):从罗马时代到中世纪

 

数学上下三万年(三):大航海时代

 

数学上下三万年(四):欧洲资产阶级革命开启

 

数学上下三万年(五):十九世纪上半叶的数学

 

数学上下三万年(六):十九世纪下半叶的数学

 

数学上下三万年(七):二十世纪上半叶的数学
 

 

 

1950年

卡尔纳普(Carnap)出版了《概率的逻辑基础》(Logical Foundations of Probability)。

 

1950年

汉明(Hamming)发表了关于误差检测与误差校正编码的基础论文。

 

1950年

霍奇(Hodge)提出了关于射影代数簇的“霍奇猜想”。

 

1951年

塞尔(Serre)利用谱序列来研究纤维丛的纤维、全空间和底空间的同调群的关系。这使得他发现了空间的同调群与同伦群之间的基本关联,并证明了球面同伦群的重要结果。

 

1952年

霍尔曼德尔(Hörmander)开始了偏微分方程理论的工作。十年后他因为这项工作获得菲尔兹奖。

 

1954年

塞尔(Serre)由于他的谱序列的工作以及层的复变理论的工作获得了菲尔兹奖。

 

1954年

柯尔莫哥洛夫发表了关于动力系统的第二篇论文。这标志着KAM-理论的开始,这个理论的名字来源于柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)、阿诺尔德(Arnold)与莫泽(Moser)。

 

1955年

嘉当(Cartan)与艾伦伯格(Eilenberg)发展了同调代数,将强大的代数方法与拓扑方法关联起来。

 

1955年

诺维科夫(Novikov)证明了群的字问题不可解。

 

1955年

谷山丰(Taniyama)提出了关于椭圆曲线的猜想,将在费马大定理的证明中起到重要作用。

 

1956年

米尔诺(Milnor)出版了《论同胚于7维球面的流形》(On manifolds homeomorphic to the 7-sphere),打开了微分拓扑的新领域。

 

1957年

柯尔莫哥洛夫解决了“希尔伯特第13问题”,它是关于某些3变量连续函数不能被表为2变量连续函数的问题。

 

1958年

托姆(Thom)由于拓扑学的工作获得菲尔兹奖,特别是有关示性类、配边理论和”托姆横截理论”。

 

1959年

布恩(Boone)证明了群的许多判定问题不可解。

 

1959年

马歇尔·赫尔(Marshall Hall)出版了他的著名教科书《群论》(Theory of Groups)。

 

1960年

铃木通夫(Michio Suzuki)发现了有限单群的新的无穷族。

 

1961年

爱德华·洛仑兹(Edward Lorenz)发现了一个具有混沌现象的简单数学系统。它导致了被广泛应用的混沌理论的新数学。

 

1961年

斯梅尔(Smale)证明了n > 4的高维庞加莱猜想,即同伦等价于n维球面的n维闭流形必定是n维球面。

 

1962年

雅各布森(Jacobson)出版了他的经典教科书《李代数》(Lie algebras)。

 

1962年

索伯列夫(Sobolev)出版了《泛函分析在数学物理的应用》(Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics)。

 

1963年

约翰·汤普森(John Thompson)与费特(Feit)发表了《奇数阶群的可解性》(Solvability of Groups of Odd Order),证明了所有非阿贝尔有限单群都是偶数阶群。他们的论文用了250页来证明这个定理。

 

1963年

科恩(Cohen)证明了选择公理与连续统假设的独立性。

 

1964年

广中平佑(Hironaka)解决了代数簇上有关奇点消解的一个重要问题。

 

1965年

谢尔盖·彼得罗维奇·诺维科夫(Sergi Novikov)关于微分拓扑的工作,特别是计算稳定同伦群与分类光滑单连通流形,导致他作出“诺维科夫猜想”。

 

1965年

邦别里(Bombieri)利用他改进的大筛法证明了关于算术级数的素数分布的“邦别里中值定理”。

 

1965年

杜奇(Tukey)与库利(Cooley)发表了一篇论文,介绍了快速傅立叶变换算法。

 

1965年

塞尔顿(Selten)发表了区分在预测博弈结果时的合理决策与不合理决策的重要工作。它导致了1994年的诺贝尔奖。

 

1966年

格罗腾迪克(Grothendieck)由于他在几何、数论、拓扑与复分析的工作厄尔获得了菲尔兹奖。他的概型理论使得韦伊的几个数论猜想得以解决。他的拓子理论与数理逻辑高度相关,他给出了黎曼-罗赫定理的代数证明,并给出了曲线基本群的代数定义。

 

 

1966年

兰德尔(Lander)与帕金(Parkin)利用计算机寻找欧拉猜想的反例。他们找到了27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5。

 

1966年

艾伦·贝克(Alan Baker)证明了“格尔丰德猜想”,它是关于有理数域上代数数的线性独立性。

 

1967年

阿蒂亚(Atiyah)发表了《K理论》(K-theory),详述了他关于K理论的工作和指标定理,而之前此工作让他获得了1966年的菲尔兹奖。

 

1968年

诺维科夫(Novikov)与阿迪安(Adian)联合发表了一个证明,证明了对于d > 1与n > 4380,伯恩赛德群B(d, n)是无限的。

 

1969年

康威(Conway)发表了他的新的零散有限单群的发现。

 

1970年

艾伦·贝克(Alan Baker)由于他在丢番图方程的工作获得菲尔兹奖。

 

1970年

马季亚谢维奇(Matiyasevich)证明了“希尔伯特第10问题”不可解,即没有通用方法判定一个多项式方程是否有整数解。

 

1971年

史蒂芬·库克(Stephen Cook)提出了有关多项式时间算法的P vs NP问题。

 

1972年

托姆(Thom)发表了《结构稳定性与形态发生学》(Structural Stability and Morphogenesis),解释了突变理论。这个理论研究了渐变力导致突变的情况,在光学与生物学有重要应用。

 

1972年

奎伦(Quillen)阐述了高阶代数K理论,它是一个新工具,使用几何与拓扑的方法与思想来描述与解决代数中的重要问题,特别是环论与模论。

 

1973年

德林(Deligne)证明了三个“韦伊猜想”。

 

1973年

陈景润证明了每个充分大的偶数可表为一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和。它是对哥德巴赫猜想的重要贡献。

 

 

1974年

芒福德(Mumford)由于代数簇的工作获得菲尔兹奖。

 

1975年

费根鲍姆(Feigenbaum)发现了一个新的常数,约等于4.669201609102...,它涉及倍周期分岔,在混沌理论中起着重要作用。

 

1975年

曼德博(Mandelbrot)出版了《分形学:形态,概率和维度》(Les objets fractals, forme, hasard et dimension),描述了分形理论。

 

1976年,拉卡托什(Lakatos)的著作《证明与反驳》(Proofs and Refutations)在他去世两年后发表。首次在1963-64年分4部分发表,这部著作给出了拉卡托什关于数学如何发展的阐述。

 

1976年

瑟斯顿(Thurston)由于他在叶状结构(Foliations)的工作获得美国数学会韦伯伦几何学奖。

 

1976年

阿佩尔(Appel)与哈肯(Haken)使用1200小时的计算机时间检验了大约1500个构型证明了四色定理为真。

 

1977年

阿德曼(Adleman)、李维斯特(Rivest)和萨莫尔(Shamir)引入了公钥编码,它是一个用于传递秘密消息的系统,使用大素数和一个公开密钥。

 

1978年

费夫曼(Fefferman)由于他在偏微分方程、傅立叶分析,特别是收敛性、乘数算子、发散性、奇异积分与“哈代空间”的工作获得菲尔兹奖。

 

1978年

森重文(Mori)证明了“哈茨霍恩猜想”,即射影空间是具有丰富切丛的唯一光滑完备代数簇。

 

1979年

孔涅(Connes)出版了关于非交换积分理论的著作。

 

1980年

有限单群的分类完成。

 

1982年

曼德博(Mandelbrot)出版了《自然的分形几何》(The fractal geometry of nature),比1975年的工作更完整地发展了他的分形几何理论。

 

1982年

弗里德曼(Freedman)证明了同伦等价于4维球面的4维闭流形必定是4维球面。这是在1961年斯梅尔的工作之后证明了高维庞加莱猜想的进一步情形。

 

1982年

丘成桐(Shing-Tung Yau)由于他对偏微分方程、代数几何中的卡拉比猜想、广义相对论的正质量猜想以及实与复蒙日-安培方程的贡献获得菲尔兹奖。

 

 

1983年

唐纳森(Donaldson)出版了《自对偶连接与光滑4维流形的拓扑》(Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds),导致了关于4维流形几何的全新思想。

 

1983年

法尔廷斯(Faltings)证明了“莫德尔猜想”。他证明了对任意充分大的n,最多有有限组互素的x,y,z满足x^n + y^n  = z^n ,这对费马大定理作出重要贡献。

 

1984年

布兰吉(Louis de Brange)解决了比贝伯猜想。

 

1984年

沃恩·琼斯(Vaughan Jones)发现了3维球面中纽结和链的一个新多项式不变量。

 

1984年

威腾(Witten)出版了《超对称与莫尔斯理论》(Supersymmetry and Morse theory),包含了在微分几何研究中具有核心重要性的思想。

 

1986年

马古利斯(Margulis)证明了关于不定无理二次型在整点的值的“奥本海默猜想”。

 

1987年

泽尔曼诺夫(Zelmanov)证明了关于一个无穷维李代数何时为幂零的重要猜想。

 

1988年

朗兰兹(Langlands)是第一个获得美国国家科学院数学奖的人。他获奖是由于“将群表示论带入到与自守形式理论和数论的革命性新关系的非凡远见”。

 

1988年

艾尔基斯(Elkies)找到了欧拉猜想在n=4的一个反例,即2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4.。其后同年弗莱斯(Frye)找到了一个最小反例:95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4。

 

1989年

布尔甘(Bourgain)使用分析与概率方法解决了L(p)问题,这是在巴拿赫空间理论与调和分析中为时已久的问题。

 

1990年

德林菲尔德(Drinfeld)由于在量子群以及数论的工作在日本京都的国际数学家大会获得了菲尔兹奖。

 

1991年

泽尔曼诺夫(Zelmanov)解决了群论的有限制的伯恩赛德问题。

 

1991年

王秋冬(Quidong Wang)找到了n体问题的无穷级数解(除了少量例外)。

 

1993年

梅纳斯科(Menasco)与斯莱维(Thistlethwaite)证明了纽结理论的猜想“泰特第二猜想”,即同一个素纽结的两个约化交错图由一个扭转序列关联。

 

1994年

怀尔斯(Wiles)证明了费马大定理。

 

 

1994年

孔涅(Connes)出版了关于非交换几何的重要教科书。

 

1994年

利翁(Lions)由于他在非线性偏微分方程的工作获得菲尔兹奖。

 

1994年

约克斯(Yoccoz)由于他在动力系统的工作获得菲尔兹奖。

 

1994年

克里斯蒂娜·古皮尔堡(Krystyna Kuperberg)解决了关于动力系统拓扑的“塞夫特猜想”。

 

1995年

银行家安德鲁·比尔提供大奖悬赏求解比尔猜想:对p, q, r > 2以及互素整数x, y, z,方程x^p + y^q = z^r 无解。

 

1997年

怀尔斯由于解决了费马大定理获得沃尔夫斯凯尔奖。

 

1998年

博赫兹(Borcherds)由于在自守形式与数学物理的工作获得菲尔兹奖;高尔斯(Gowers)由于泛函分析与组合数学的工作获奖;孔采维奇(Kontsevich)由于代数几何、代数拓扑与数学物理的工作获奖;麦克马伦(McMullen)由于全纯动力系统与3维流形几何的工作获奖。

 

1998年

托马斯·黑尔斯(Thomas Hales)证明了关于最密堆积的开普勒问题。

 

1999年

互联网梅森素数大搜索项目(GIMPS)找到第38个梅森素数:2^6972593 -1。

 

1999年

康拉德(Conrad)与泰勒(Taylor)证明了“谷山-志村猜想”。怀尔斯在1993年解决费马大定理的途中证明了其中一个特殊情形。

 

2000年

在洛杉矶举行的美国数学会的一个会议上提出了“21世纪的数学挑战”。不同于100年前的“希尔伯特问题”,这次的问题由30位数学家的团队给出,其中8位是菲尔兹奖得主。

 

2000年

一个700万美元的大奖被设立来求解七个著名数学难题。称为千禧年大奖难题:P vs NP;霍奇猜想;庞家莱猜想;黎曼假设;杨-米尔斯规范场的存在性与质量缺口;纳维-斯托克斯方程解的存在性与光滑性;贝赫和斯维纳通-戴尔猜想。

 
 
 
 

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话说,在网上玩直播的是不是都应该感谢他?

 

原文作者,Jamie Condliffe

翻译作者,ALIMJAN,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,donkeycn。

 

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这就是傅里叶变换。你得感激它,因为帮你每天从网上下载音乐的、把图片压缩成很小的JPG文件的、甚至提高耳机消除噪声能力的都是它。下面介绍一下它的原理。

此公式的威力在于它能够使数学家快速掌握任何一种信号的频谱。这一点是相当牛的。但别以为只有我是这么认为的,早在1867年,物理学家开尔文勋爵也表达过自己对傅里叶分析爱慕至极。他写道:“傅里叶定理不仅是现代分析学里的最美的结论之一,而且也许可以说它充当了几乎破解任何晦涩的物理奥秘的必不可少的工具。”而且,至今仍是如此。

 

数学会将把我们分解

 

毫无疑问,傅里叶变换是数学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵(Baron Jean Baptiste Joseph Fourier,1768-1830)创立的,并发表于他1822年出版的《热的解析理论》一书中。他对热如何在物体内部及其附近流动感兴趣,并在研究此现象的过程中推导出了傅里叶变换。当初,他自己并没意识到他的发现是何等重要的贡献——傅里叶变换不仅在数学和物理领域,而且在整个科学,工程和技术领域都是重要的发现。

 

他的主要突破性结果在于他意识到复杂的信号可以简单地表示为一系列简单得多的信号的叠加。他选择用来叠加的正是你在高中学到的、在最大值与最小值之间来回震荡的、规律可预测的正弦曲线。比如,当你同时按下钢琴的三个键时,你会产生三种不同的音符,其中每个都有确定的频率——我们在谈声音的时候指的是音高——这恰似标准的正弦波:

 

然而,一旦把它们叠加起来以后,原来那悦耳的和弦音听起来就比较杂乱,就像这个:

 

 

它看起来很复杂,但是我们知道本质上它只是同时把三个普通的正弦波叠加在一起。傅里叶的灵感在于他发现:无论一种波的最终形式有多么复杂,都可以用正弦波的组合叠加来描述——哪怕这意味着这可能需要使用无穷多个正弦波。我觉得这个发现的真正高明之处在于:若你知道为了得到最终的波形来代表信号,你需要知道叠加哪些正弦波,那么你也就可以精确地知道你需要叠加哪些频率的波以及每个波相应的特性。凭借这些知识,你就能精确地知道你叠加出来的最终的信号的频谱。

 

这些是本篇刚开始介绍的那个公式一下子就能做的事情。x(t) 这一项代表你想通过简单的信号的叠加来表示的那个最初的棘手复杂的信号,e^j2πft这一项看起来有点吓人,但是它只是数学家们用来代表我们以上说的正弦曲线的一个简略表达方式。绝妙的是,把这两项相乘然后整体扔进一个积分运算——前面的那个弯曲的符号以及后面的dt——这个运算能算出每一个参与组成最终信号必需的所有正弦曲线的频率。因此,公式的值X(f),可以得出每一个需要参与叠加的简单分信号的强度和延迟。

 

这就是傅里叶变换:它的作用是能精确地揭示原始信号包含着哪些频率。这也许听起来微不足道,然而并不是。

 

传输

 

如果你要把你录制的歌放在网上,你可以只是按本来录制的原始大小的文件放上去,但那样的话,文件实在是太大了。这是因为,录制过程是个全程无损的:每一个频率在录制、混音至最后完成都会被保留。然而,如果拿一小段音频用傅里叶变换,你就会发现其中某些频率是很显著的而某些频率几乎不存在。

 

MP3格式的文件就是运用这个原理,只是它通过抛弃那些我们难以察觉的、或者是超出我们听觉范围上限的频率成分来节约空间,因为我们终归还是无法辨别出它们。整个过程都是如此,即把一首歌分割成上百万个小段,分离出重要的而抛弃那些无关紧要的频率。最终剩下的都是能够给在耳朵精准的播放出原音频效果的那些最重要的频率或音符。当然了,其文件大小要小于原来的十分之一。

 

这也跟Spotify的桌面客户端采用的Ogg Vorbis 格式的工作原理非常相似。(实际上,Vorbis采用的是傅里叶变换的快速计算版本:离散余弦变换,但其本质大略相同。)顺便说一下,Shazam也是运用类似的原理,它有着一个拥有不同歌曲频谱的数据库用于与你正在播放的歌曲的频谱比对,因为这要比直接比对两首歌曲要更可靠。就音频而言,你所戴的降噪耳机同样也是依靠傅里叶变换:有一个麦克风会记录你周围的噪音,得出其全部频谱,然后叠加与这些噪音相同频率、但位相相反的波到你的音乐中从而将类似于婴儿哭声或马路噪声之类的噪音清除。

 

当然傅里叶公式并非只有这一个技能。我们目前只谈到音频这种时间信号,当初傅里叶创立它是为了解决物体之间的热流问题。这表明,傅里叶公式也可以用来处理关于空间的问题。对于傅里叶而言,这意味着在二维平面内通过叠加一些简单的热流来表示复杂得多的热