2022年11月

张益唐零点问题论文会是什么结果?

 

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最近,菲尔兹奖得主在他的一篇旧博文的评论区对张益唐关于朗道-西格尔猜想的论文进行了评论。大概意思是,论文还没被确认是正确的,因为文章已经发现的各种问题,其中一些问题还是阻碍验证的过程。陶哲轩也把这些问题给张益唐说了,希望把这些问题解释一下。但是,大家也别急别催,应该耐心地等待张益唐教授的完整详细版。

 

本文借着这个热点事件,从数学史的角度来讲讲,当一个数学家宣布一个数学大问题被自己证明后,有哪些可能的走向。因为这些历史故事都非常精彩,读者们可以通过我们哆嗒数学网提供的线索,搜搜故事的完整版。张益唐教授的这篇论文,大致也就是这几种可能吧。

 

 

1、 论文是正确的,并且很快通过同行专家审稿验证的流程,被学界承认。

 

经典案例:张益唐关于弱孪生质数猜想的证明

这是吃瓜群众最愿意看到的走向。其实最难发生,但确实发生过。最近的最经典例子就是张益唐的那篇成名作了。

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这篇文章交稿的时候,文章条例清楚,引用清晰,证明被形容拥有“文艺复兴之美”。尽管论文内容深邃繁复,但思路清晰明了。另外,论文中也没原创太多的新概念。这些都为审稿人的快速阅读创造了条件。这篇文章最后发到数学最顶级的期刊《数学年刊》上,按以往经验,这种级别的论文怎么也要审稿一两年。而张益唐的这篇文章不到一个月,整个审稿验证流程就完成了。

 

2、 论文是本质上正确的,经过漫长的审稿,几经漏洞修补,但最终确认是正确的。

 

经典案例:怀尔斯对费马大定理的证明

 

这是数学界内重大问题的常态。越是重大问题,审稿越是小心。庞大复杂的数学证明,也时常会有各种不易发现逻辑漏洞,好在有办法修补漏洞保证了正确性。

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怀尔斯对费马大定理的证明大致走了这个剧本。1993年6月,怀尔斯英国剑桥大学的一系列讲座中,宣布证明了费马大定理。这个学术讲座同时展示了证明的提纲和一些重要细节。这个宣布让媒体和数学界都非常兴奋,大家奔走相告。但是数学界对于数学成果的承认不会因为媒体的声浪大小而改变。论文进入漫长的审阅验证流程。其间不断的修补小问题。但是其中有一个“小问题”最为严重,怀尔斯在另外一位数论大佬理查德·泰勒的帮助下,修补它用了一年多时间。好在结局是圆满的,1994年10月重新提交的论文修补完所有的问题,发表在1995年的数学年刊上。

 

3、 论文是正确的,但是业内专家都没看懂,不承认他是正确的,然后作者努力给他们讲懂。

经典案例:维拉尼关于波兹曼方程的相关论文

数学论文有没有其他同行专家都没看懂,然后产生误判的情况。菲尔兹奖得主维拉尼的自传中就描述过这样的情况。

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维拉尼是波兹曼方程研究的顶级专家,他写了一本自传《一个定理的诞生》。这本书描述了他获得菲尔兹奖的过程。他提到,他获得菲尔兹奖那篇核心成果的论文中有一个关键步骤,由于审稿专家没有看懂而被多次拒稿。他非常无奈,因为这个步骤他已经解释了无数遍了,但还是有人不懂。而维拉尼采取的办法是,继续在各个地方开关于论文的讨论班,耐心解释证明细节。同时,在书写中又做了一些必要的优化。最终,论文被同行们承认。

 

4、 论文是正确的,但超越了时代,业内专家都看不懂。多年后被承认是正确的。

经典案例:伽罗瓦对五次方程无根式解的证明

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这里还有一种情况,就是论文内容过于创新,超越了时代。那么这样的成果就只能等待时间来承认它了。

伽罗瓦对五次方程无根式解的证明大致属于这种情况。1828年,17岁的伽罗瓦将关于五次代数方程的论文交给了法国科学院。当时的大牛泊松看了论文后,批语“完全无法理解”,然后退稿。柯西瞄了一眼论文,没有发现论文的价值,后来把论文遗失了。——另外有种说法是,论文是被柯西故意扔掉的。而到了18年后的1846年,刘维尔在他创办的《纯数学和应用数学》杂志上首次发表了伽罗瓦的部分文章。而1870年约当出版的《论置换群与代数方程》一书用更有条理的方式全面介绍了伽罗瓦理论,伽罗瓦的贡献才被学界真正接受。

 

5、 论文业内专家说论文错,作者坚持自己对,但不解释,然后长期扯皮。

经典案例:望月新一ABC猜想的例子

神仙打架这个在数学界也是会发生的,而且是打群架。

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2012日本京都大学教授望月新一发表了关于ABC猜想的论文,这篇论文几经修改后到达600多页。论文创造了一个全新的理论体系来证明ABC猜想。但是望月新一对自己的这个庞大体系不太愿意过多的主动宣讲解释。菲尔兹奖得主陶哲轩发表看法,说如果那么大的一个体系只能解决ABC这一个猜想是很诡异的事情。同样是菲尔兹奖得主的舒尔茨,甚至写了一篇文章直接说论文有错。但望月新一的支持者反驳了这些说法。进一步,京都大学要接受甚至发表望月新一的论文。有位数论界的大佬撰文讽刺道:“这是数学界的奇景。ABC只有在京都是定理,在地球的其他地方依旧是猜想。”

 

 

6、 论文是错误的,很快被发现错误,证明失败。

经典案例:布卢姆声明证明P≠NP

论文被发现错误,并被具体的指出,这是发生几率最高的事情。

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2017年德国波恩大学的计算机科学家布卢姆传了一份38页长的论文,声称证明了P≠NP。但不久后业内专家发表看法,说论文中的关键步骤有着核心错误。布卢姆承认错误,收回论文。实际上,多年来有很多人声明解决了P vs NP 问题,但都被发现证明过程有误。这个问题依旧是开放问题。

 

 

7、 论文的错误过于离谱或者论文细节太缺失,业内专家都不削于发表看法。

经典案例:阿蒂亚声明证明黎曼猜想

这种情况经常见于一些没有专业训练所谓“民科”的证明宣布,但实际上也有业界大佬干这种事情。最近的例子就是阿蒂亚宣布对黎曼猜想的证明。

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2018年,菲尔兹奖得主宣布证明了黎曼猜想,并在一个讲座中公布了一个5页纸的证明。由于证明细节大量缺失,而且在本来不长的论文还写了很多与数学证明的技术无关的物理思想,所以数学界没有把这个证明宣布当成一次严肃的学术发布。出于对老数学家的尊重,也没有人公开发表看法。即便过去获得过菲尔兹奖,如果论文的东西没有具体的技术性内容,学界同样对它没有兴趣。

 

 

 

8、 论文被业内专家承认是对的,得到学界认可。但多年后发现错误,然后重新开放问题。

经典案例:肯普对四色猜想的(错误)证明

 

有没有可能,包括证明发布者在内的所有的专家都错了。这尽管非常罕见,也是有可能的。

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1879年英国数学家肯普发表了对四色猜想的证明。这个证明甚至得到《自然》杂志的确认。在经过同行评议后,数学界的专家们一致认为,四色猜想已经被完全解决。但11年后的1890年,英国数学家希伍德发现了肯普论文中的严重错误,并发表文章指出。于是四色猜想在被学界认为已经解决的十多年后,又变成未解决的问题。直到1976年,人们用计算机验证的方式证明了四色猜想,但计算机验证的证明算不算通过评议流程,还是一个争议话题。无论如何,肯普的四色猜想的证明成为数学史上最著名的错误证明之一是板上钉钉了。

 

 

总结一下,一篇数学大问题的论文要获得快速通过需要:

1、 论文的核心过程和核心结论本质上是正确的。

2、 论文的书写条理清晰、文字易读。

3、 面对提问积极解释和回应。

 

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陶哲轩评张益唐论文:别急!论文还要改!

 

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最近,菲尔兹奖得主陶哲轩分别在他的个人博客和数学问答网站MathOverflow上发表了关于朗道-西格尔猜想的论文进行的评论。两个评论都不是正式发表的文章,而是在一些不太起眼的评论区夹缝中,写下的简短文字。


在自己的评论区,陶哲轩这样写道:

目前,手稿基本的正确性还没有确认。论文中有许多笔误和技术问题(主要集中在第11和12节),这些问题妨碍了对论文的验证的进行,我已把这些问题转发给张益唐,请他进一步说明。比如,第64、65、67页引用了不存在的方程(8.25)和(8.26),第67页引用了(不存在的)方程(10.),第98和99页引用了方程(15.),第67和69页引用了“(4)和(4)”,第63页引用了“(5)和(5)”,以及109页引用了方程(A)和(14). 在第70页的引理12.3之前(以及在前述第109页对方程(A)的引用之前)似乎也完全缺失了一个引用,并且从第96页开始出现的函数 ϰ4 从未在论文中定义。因此,手稿中的一些步骤没有有效论据支撑。这些问题(以及一些更严重的问题)可能会得到修正,但修正需要一段时间(尤其要说的,我不会去催着他上传匆忙修改的文章,而是希望是仔细校对的版本),因此建议大家耐心等待。

 

 

文章中,陶哲轩提到的错误大致就是这样的。

 


另外,在著名的数学学问答网站MathOverflow上,陶哲轩也有发表看法。他评论到:


我建议在对文章的正确性达成合理的共识之前(在益唐修正完已有的问题之后),暂时不要对这个预印版文章进行公开的讨论。我理解大家对这个潜在的重大成果的欣喜之情,但是审阅验证(期待中的未来修改后的)文章,这个漫长和谨慎的过程是必须经历的步骤。过早地对预印本文章进行公开讨论实际上会打乱和干扰这一必要步骤的进行。个把月之后,我们再回来看看。

益唐的那个精心修改和校对过的文章的版本是这篇论文是否能更快速通过审阅验证流程的关键。对于这一点,我认为在私下把论文中的问题和疑问和益唐交流是更有效的方式,比在MathOverflow这样的公开论坛上交流更好。益唐在先前没有表现出太多在这种地方讨论的兴趣.

 

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张益唐讲座速记:部分解决朗道-西格尔零点问题

张益唐11月8日《关于朗道-西格尔零点猜想》学术报告速记。

 

要点:

1、张益唐没有完全解决朗道-西格尔零点猜想本身,而是解决了一个更弱的一个命题。但这个更弱的问题也是一个突破。原本的表述“本质上”解决朗道-西格尔零点猜想就是在这个部分解决的意义下说的。

2、论文中给的指数2024都还可以改进,按张教授设想改进到几百应该没问题,但是离1的目标这个办法应该不太可能。

3、如果这个方法成立,按张益唐推测,这也许是解析数论的突破。之前都是想办法取构造zn(后文会讲是什么zn),而这个办法是另外一种操作。

4、论文还没有完全定稿,有很多细节需要补充。尤其是一些计算细节。

 

一、问题介绍

 

对于迪利克雷L函数,

其中χ(n)是实本原狄里克雷特征函数,χ是希腊字母,读作kai。

 

那么,朗道-西格尔零点猜想可以表述为,

而张益唐教授这篇论文证明的是

 

这里,张教授补充。这其实是比黎曼猜想弱得多的猜想,但有媒体说论文有可能推翻黎曼猜想。对于这点,张教授回应是——我没那个本事,也不会有人信。

 

另外,证明过程还会用到一个很初等的恒等式:

 

 

问题拆解

 

对于一个有限长度的实数数列,

如何判断它们都是大于等于零的,或者说如何知道这里面有没有负数。这样的问题和我们数论问题有什么关系呢?

 

例1:

 

考虑质数的特征函数:

 

然后对于正整数N,定义长度为N-2的序列xn如下:

这个序列中要有小于零的数,只能是后两项都等于1 。就是说,xn为负的要条件是N=n+(N-n)是两个质数的和。

 

那么N取所有偶数,如果能证明对所有偶数生成的这些序列中都有负数的话,那就证明了哥德巴赫猜想。

 

 

例2

 

设f(t)是[0,T]上的连续实函数。且有N个零点,t1,t2,...,tN 。这N个零点之间的间隔都大于c,即 t(n+1) > tn + c 。如果0<a<b<c, 且 

那么就能找到要么同正要么同负的两个数,但是这个办法不总是好用。

 

那么,还可以找一个非负数列yn, 按如下操作判定是否有负数:

而塞尔伯格给了一个改进,我们直接找zn是某个数列yn的平方形式,就是说他改进的流程变成这样:

按张教授介绍,之前做弱孪生质数的办法就是这种。之前他们的估计始终有个ε跨不过去,我就用一种办法把它跨过去了,但用的zn基本上是之前他们做的zn。而后来梅纳德的办法是找了新的zn,就大大改进了结果。

 

回到西格尔零点

问题的办法还是要找个xn小于零,办法还是试图找到zn,然后让和式小于零。但非常难找到,我找到很多能接近零的,但始终跨不过0这个点。

 

新思路

 

张教授的新思路是用不同路径找到两组序列an+bn 和 cn+dn ,满足xn(an+bn)^2 和 xn(cn+dn)^2都和零非常接近。然后利用一操作(比如柯西不等式)得到矛盾。

假设xn都是大于零的,那么利用之前的那个初等的等式得到:

 

这会导致矛盾。

 

自塞尔伯格以来,人们一直在考虑有没有不是平方形式的yn来做这些问题。但是一直没产生更好的办法。感觉zn平的办法人们已经做到极致了,应该尝试新的办法。大家肯定想过,不过现在还是在zn平里在做。如果这个办法奏效,张教授认为应该是一个突破,这个思路可以被用于解决数论中的其他问题。

 

后记

 

提问:你之前说的本质上解决是什么意思?

张教授:(如前文所诉)在这个部分解决的意义下把这个问题的进展做了推进。

 

提问:2024还能改进吗?

张教授:肯定可以,但自己没去算过,感觉上改进到几百应该问题不大。

 

提问:这个成果有还有什么应用?

张教授:在质数等差级数分布上能有很多很好的结果。另外,了解到解析数论和代数数论中的问题也和这个有关,但自己没做这方面研究,不了解具体细节。