神秘数字6174

 

原文作者：西山豊，大阪经济大学教授。

翻译作者，Dr.夏洛克，哆嗒数学网翻译组成员。

校对：333

 

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6174是一个相当神秘的数字。乍一看，可能不那么明显。但是正如我们即将看到的，任何一个会做减法运算的人都能发现使得6174如此特别的秘密。

 

 

卡普雷卡运算

 

1949年来自印度的数学家卡普雷卡(D.R.Kaprekar)引入了一个今天被称为卡普雷卡运算的步骤。首先选一个各位数字不全相同四位数（也就是除了1111,2222，。。。）。然后重排各位上的数字得到这些数字能组成的最大与最小数。最后，从最大的数中减去最小的数得到一个新的数，接下来对每一个新的数重复以上运算。

 

 

这是一个简单的运算，但是卡普雷卡得出一个惊人的结果。让我们试一下，以数字2005开始，也就是去年年份的各位数。用这个数的各位数字我们得到最大数是5200，最小数是0025或者25（如果有一个或者一个以上的数字是0，把他们放在最小数的左边）。减法如下：

 

5200 - 0025 = 5175
7551 - 1557 = 5994
9954 - 4599 = 5355
5553 - 3555 = 1998
9981 - 1899 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174

当我们得到6174时，运算开始重复，每次都得出6174.我们称6174是这个运算的一个核。那么6174是卡普雷卡运算的一个核，但是这是不是想得到6174那样特殊呢？也就是说不止这个运算只有6174一个核心，溯流而上它还有另一个惊喜。让我们用一个不同的数再试一下，比如说1789.

 

9871 - 1789 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174

 

我们又得到了6174！

 

当我们用2005开始时，7步得到了6174，然而对于1789用了3步。实际上，所有各位不全相同的的四位数你都能得到6174.太牛了，不是吗？卡普雷卡运算如此简单但是揭示出一个如此有趣的结果。当我们思考所有四位数都能得到这个神秘数字6174的原因时，这会变得更加引人遐思。

 

只有6174吗？

 

任意一个四位数通过降序排列各位数字都能得到一个最大数，通过升序排列得到最小数字。那么对于四个数字a，b，c，d，其中

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0

同时a，b，c，d不全相同，最大数是abcd最小数是dcba。

 

对这个问题的每一列用标准的减法运算就能算出卡普雷卡运算的结果：

得出如下关系：

D = 10 + d - a (a > d)

C = 10 + c - 1 - b = 9 + c - b ( b > c - 1)

B = b - 1 - c ( b > c)

A = a - d

 

这些数字中a>b>c>d.

 

如果结果数字可以用原始的四个数a，b，c和d写出，卡普雷卡运算就会重复。那么通过考虑所有可能的组合{a，b，c，d}并检验它们是否满足上述关系，就能找到Kaprekar运算的核。对a，b，c和d的4！=24种组合的每一个组合给出一个含有四个未知数与四个等式的方程组，那么我们应该能从这个方程组中解出a,b,c,d。 

 

结果，这些组合中只有一个组合有整数解且满足9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0。这个组合是 ABCD = bdac，此时相应的方程组的解为 a=7, b=6, c=4 and d=1。也就是 ABCD= 6174。 整数 {a,b,c,d}  中某些数相同时没有使等式同时成立的有效解。因此，6174是唯一一个不会被卡普雷卡运算改变的数——我们的神秘数字是唯一的。

 

对于三位数会出现相同的现象。比如把Kaprekar运算应用在三位数753上，产生如下结果：

753 - 357 = 396
963 - 369 = 594
954 - 459 = 495
954 - 459 = 495

数字495是三位数运算（卡普雷卡运算）的唯一核，也就是用这个运算时所有的三位数都会得到495.为什么你不自己检验一下呢？

 

得到6174要几步？

 

从我朋友那里第一次听说6174是在1975年，当时我印象很深刻。当时我认为很容易证明为什么这种现象会出现，但是事实上我没能找到原因。我曾用电脑检验是否所有的四位数在有限步运算内都能得到核6174。这个大约50行的visualbasic程序检验了从1000到9999各位不全相等的所有8891个四位数。

 

下面的表格显示了结果：每一个各位不全相等的四位数在卡普雷卡运算下都得到了6174，而且都在7步之内。如果使用卡普雷卡运算7次之后没有得到6174，那么你就在你的计算中犯了错误，要重新试一下。

 

Iteration	Frequency
0	1
1	356
2	519
3	2124
4	1124
5	1379
6	1508
7	1980

 

 

怎样得到6174？

 

当研究卡普雷卡运算时，我的电脑程序检验了所有的8991个数，但是在Malcolm Lines的文章中说只需要检查所有可能四位数中的30个就足够了。

 

让我们计算过程中的第一个减法。最大数是1000a+100b+10c+d 最小数是 1000d+100c+10b+a。那么减法是：

 

1000a + 100b + 10c + d - (1000d + 100c + 10b + a)
= 1000(a-d) + 100(b-c) + 10(c-b) + (d-a)
= 999(a-d) + 90(b-c)

 

 

 (a-d) 的可能值是从1到9， (b-c) 的可能值是从0到9.通过遍历所有可能，我们能看到运算过程中第一个减法运算的所有可能结果。这些结果显示在表格1中。

 

表1：Kaprekar运算的第一个减法后产生的数

 

我们只对各位数不全相等且a ≥ b ≥ c ≥ d的数有兴趣，因此我们只需要考虑那些 (a-d) ≥ (b-c)的数即可。那么我们就可以忽略表1中的灰色区域，这个区域包含(a-d) < (b-c)的数。现在我们把表中数的各位数字降序排列，得到第二个减法运算的最大数：

 

 

表2：第二个减法备用的最大数

 

我们可以忽略表2中的重复数字（灰色区域），于是仅剩余30个数字进行接下来的处理。下图展示了这些数字变成6174的路线。

 

这30个数如何变成6174的

 

在这个图你能看到所有的四位数都在最多7步之后得到6174.即便如此我依然认为它很神奇。我猜发现这个数的卡普雷卡要么是极其聪明要么是有很多时间思考这个运算。

 

 

2位数，5位数6位和更多位的数……

 

 

我们已经看到四位数和三位数都得到唯一核，那么其他数呢？结果答案不那么印象深刻。让我们试一下一个2位整数，比如说28：

82 - 28 = 54
54 - 45 =   9
90 - 09 = 81
81 - 18 = 63
63 - 36 = 27
72 - 27 = 45
54 - 45 =   9

 

不难验证所有的两位数都将得到9→81→63→27→45→9的循环。不像三位数和四位数，2位数没有唯一核。

 

那么5位数呢？5位数会有一个像6174和495那样的核吗？为了回答这个问题，我们需要使用一个像之前的过程：检验 {a,b,c,d,e} 的120个组合ABCD满足

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e ≥ 0

和

abcde - edcba = ABCDE.

 

 

万幸计算机已经完成了计算，而且众所周知5位数没有卡普雷卡运算核。但是所有的5位数确实都得到如下三个循环之一：

 

71973→83952→74943→62964→71973
75933→63954→61974→82962→75933
59994→53955→59994

 

正如Malcolm Lines在他的文章中指出的那样，检验6位或更多位数会发生什么会很费时间，而且这项工作会变得相当无聊！为了使你免于这种命运，下表展示了2位数到10位数的核。图表显示卡普雷卡运算只能把所有3位和4位数变成唯一核。

Digits	Kernel
2	None
3	495
4	6174
5	None
6	549945, 631764
7	None
8	63317664, 97508421
9	554999445, 864197532
10	6333176664, 9753086421, 9975084201

 

漂亮吧，那它有那么特殊吗？

 

 

我们都看到在卡普雷卡运算下所有的三位数都得到495所有的四位数都得到6174.但是我没能解释为什么这样的数能得到唯一核。这是一个偶然现象还是发生这些的原因有更深的数学原理？（原理）就像结果一样既漂亮又神奇，这可能只是一个巧合。

 

让我们听一下看一个日本人山本幸雄的漂亮谜题。

 

如果你把两个5位数相乘能得到123456789.你能猜到这两个5位数吗？

 

 

这是一个非常漂亮的谜题，那么你可能认为它背后应该藏着一个很大的数学理论。但是实际上它的美只是一个偶然，也有其他相似但是不那么漂亮的例子。比如：

 

 

 

看到幸雄的谜题，你可能就跃跃欲试想要解出它，因为它是如此美丽，但是如果我给你第二个谜题你可能就一点都不感兴趣。我认为卡普雷卡问题就像幸雄的数字谜题一样。我们被他们吸引都是因为它们是如此美丽。因为它们如此美丽我们觉得它们有更多的内容，事实上他们的美丽很可能是偶然的。过去这样的误解也导致了数学和科学的进步。

 

 

只知道卡普雷卡运算下所有的四位数都得到6174但是不知道原因够吗？至今为止，没有人能说所有的3位和4位数得到一个唯一核是一个偶然现象。这种属性看起来这么惊人使得我们期待着它背后隐藏着数论定理。如果我们能回答这个问题，我们可能发现这只是一个美丽的误会，但是我们希望不是。

 

 

参考书目：

 

Kaprekar, D. R., "Another Solitaire Game", Scripta Mathematica, vol 15, pp 244-245 (1949)

Gardner, Martin, "The Magic Numbers of Doctor Matrix", Japanese version, Tokyo: Kinokuniya (1978)

Lines, Malcolm E., A number for your thoughts: facts and speculations about numbers..., Bristol: Hilger (1986)

Nishiyama, Yutaka, Kurashi no Algorithm, Kyoto: Nakanishiya (1993) 

 

 

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