人人都可以成为“神奇的设计师”!

 

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作者,读,某杂志社编辑。

 

 

上述是出自英国游戏专家亨利•杜德尼的研究成果,1903年,杜德尼发现可以把等边三角形分成四部分,经重新拼合后变成正方形。

 

这个设计我很早就知道,但从未对其有过关注,直至近年,有新闻报道,提到这一游戏被英国建筑师“相中”,他们获得设计灵感,建造了一种奇妙的房子,可随着季节的不同而呈现不同的稳定结构,以适应不同的气候环境(http://tech.ifeng.com/discovery/detail_2012_12/10/20012762_0.shtml)。

 


 

巧合的是,设计师们似乎十分喜欢杜德尼的这一发现,他们对此做了很多精心地尝试与应用。

 

如设计师David Ben-Grünberg和Daniel Woolfson精心设计的“百变茶几”,就是充分利用了杜德尼三角形多变的造型(http://www.333cn.com/industrial/sjxs/138462.html)。

 

2015北京国际设计周的混凝土灯具作品展上,有件展品为“杜德尼”灯,也是类似的创意(http://www.verydesigner.cn/article/25424)。

 

最近,看到微信群里大家也在传“杜德尼三角形”的神妙,不禁想加深一下大家对这一现象的认知。

 

这种变换的游戏,神奇但不玄妙,数学可以引导我们正确看待这一问题,从而让每个人都成为“神奇的设计师”!

 

其实,我们看到这一特例,就不禁想问:这是巧合吗?这是唯一的特例吗?

 

那么,我想说,这不是巧合,也不是特例,而是经过精心计算得到的结果。

 

换句话说,并不一定需要正三角形,面对一个“长相普通”,甚至“歪瓜裂枣”的三角形,我们仍有可能将之变形成为一个“端正、大方、得体”的正方形,当然,方法还是类似于“杜德尼三角形”的变形,我们不妨称此方法为“简单四分”。

 

数学的演算比较复杂,为了保证大部分人不头晕,我们就直接上结论了:

 

(一)拿到任意一个△ABC,我们先判断其是否可“简单四分”,请按以下顺序操作:

1)度量高h与底边l,确保高与底边之比介于2/5≤t(=h/l)≤2之间(不妨设底边左右端点分别为B,C,其对应高为AK);若不存在,则△ABC不可“简单四分”;


 
2)计算X(=2t-t2)([0,1]),k ([-1,2])的值,其中k使得向量KC正好是向量BC的k倍;

 

3)判断是否满足如下的结论:


i 当0≤X<1/4时,若 满足sqrt(x)-1≤k≤sqrt(x)或1-sqrt(x)≤k≤2-sqrt(x),则三角形可“简单四分”;(sqrt表示开根号,下同)


ii 当1/4≤X≤1时,若 满足sqrt(x)-1≤k≤2-sqrt(x),则三角形可“简单四分”,

 

i、 ii皆不满足,则△ABC不可“简单四分”。(注:“简单四分”只是代表一种方法,并不一定分成四块,有些临界情况只需要分成三块)

 

三思而后行,这一判断可能花费你较多的时间,因为三角形有三条边,如果你选择的三角形比较“糟糕”的话,那你所花的时间可能就是别人的数倍。当然,如果你自认为自己是行动派,而不是预言派,直接操作也是可以的。

 

好了的话,那我们就可以开始行动了!

 

当然,还请仔细筛查,我们下面要做的事,类似于让“丑小鸭变成白天鹅”,万一选到“冒牌货”,那就不妙了——可能你白忙活半天,也没法让戏法变成功。

 

(二) 对于判断通过的△ABC,我们可按照如下顺序画出四块,使其拼成一个正方形:

 

还是先要回到杜德尼的方法上去。我们发现,杜德尼充分发挥了中点作为旋转对称中心的特点。

 

如图,其中,DE作为中位线,与底边BC平行,即DE∥NK,又有DE=NK,显然,四边形DNKE为平行四边形(一开始我直观还以为是个矩形,其实不是)。
 

 

这个平行四边形是杜德尼“正三角形四分”的一个关键,它很特殊,而且有固定的作法,以任意△ABC为例:

 

(1)对于符合判断条件的底边BC以及底边上的高h,求出△ABC的面积S=a2(a>0);

 

(2) 取AB,AC的中点D,E,连结DE;

 

(3) 以E为圆心(也可以D为圆心,后续操作方式类似),a为半径画弧,与直线BC交于点N(当有两个交点时,只能取左交点;若无交点,则操作无法完成),连结DN;

 

(4)过点E作DN的平行线交底边BC于点K(如果不存在,则操作无法完成),则四边形DNKE就是我们所要作的平行四边形。

 

显然,从这个特殊的平行四边形的作法,善于思考的人已经知道我们之前为什么要对三角形进行判断了。

 

第(3)(4)步的作法是有限制的, 这个平行四边形若无法作出来,那我们就无法按照杜德尼的“简单四分”的方法,对一个三角形进行裁剪拼合。

 

虽然任意△ABC不一定行,但是经过了前面的筛选后,被我们“选中”的△ABC绝对能行!

 


 
恭喜你,当你画出这个“平行四边形”的四个顶点D,N,K,E时,再连结EN,作DQ⊥EN于点Q,KP⊥EN于点P,(这里的操作同样体现在了判断的标准中)即可得到你想要的“四分”三角形,将它裁剪后,就能变成一个正方形。

 

如上所示,我们只谈操作的话,还是不繁的,所以只是行动派的话,也是可以完成的。不过他们属于后知后觉的那种人,不到最后一刻,完全不知道这一三角形是否可以“简单四分”为正方形。

 

这样一来,相信你作为一个“神奇”的三角形裁剪设计师,还是愿意先花点时间做个“预言”,然后再选择操作,不是吗? 

 

神奇源于数学,而数学的思考可以帮助我们揭示这种神奇。
 

 

 

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