十大坑爹高数题

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开学啦!进了大学,数学上,第一个要学习的就是高等数学或者数学分析了。这是让有的人感到头痛,有的人带到新奇的学科。利用高中集合和函数做衔接,我们进入了一个新的数学世界。见到之前没见过的函数,之前没见过方法。也颠覆了之前对数学的一些理解。

学习数学,“刷题”是必然不能少。我们不断的做练习,遇到了各种奇怪的题,然后被我们逐个解决。然而,有一些“长”得很像高等数学题目的问题,其实在高数或者数学分析框架下很难解决,而用更高级的办法几乎是秒杀。高数高手们遇到了这些问题,就算是掉坑里了。

这里,哆嗒数学网小编为你列举十个“坑”。问题方式为了方便大家参与讨论,都以“是否”形式提问。以下提到的函数,如无特殊说明,都为$R→R$的实函数。




No.10
函数的单调性高中就学啦,一个单调函数可以是$y=x$这样的连续函数,还可以是$y=x·sgn(x)$这样有间断点的函数。你还能写出很多单调函数,有无穷多个间断点。不过你画图象时,这些函数的间断点大概都是一个一个离散开的。那么间断点可能稠密吗?
问题: 是否存在一个在无理数点连续,有理数点不连续的严格单调函数。
高级秒杀:有理数是可数的。利用级数构造一个特别的函数。见http://duodaa.com/?qa=906,第二题。


No.9 
有的人也许学了黎曼函数$R(x)$,他是一个有所有无理点处连续,所有有理点处不连续的函数。那么可以反过来吗?
问题:是否存在一个在有理数点连续,在无理数点不连续的函数。
高级秒杀:先要知道$G_δ$集,$F_σ$集的概念,连续点集只能是$G_δ$。而有理数集不是$G_δ$集。


No.8 
好了,我们学了导数了,虽然高中也学过,没有像高数那样,平凡的对一个函数某点是否可导进行讨论。“可导必然连续,连续不必可导”,这一句顺口溜一直记于脑海。老师还说,存在处处连续,但处处不可导的函数呢。那么,对于严格单调函数,会怎么样呢。
问题:是否存在一个严格单调,但处处不可导的函数。
高级秒杀:有个定理是说:单调函数是几乎处处可导的。


No.7
一个可导函数$f(x)$求导数后变成了$f'(x)$,$f'(x)$还是一个关于$x$的函数呢。$f'(x)$可能不再连续呢!那么$f'(x)$可能处处不连续吗?
问题:是否存在一个可导函数,它地导函数处处不连续。
高级秒杀:连续函数列只能收敛到一个间断点集为第一纲集的函数。而实数集是第二纲集。


No.6
函数函足$f(x+y)=f(x)+f(y)$,高中就见过啦。高中还让你证明他是奇函数,在多给一些已知条件的情况下,求$f(1)$、$f(8)$什么的。到了大学,在给定$f(x)$连续情况下,我们能证明$f(x)$的图象一定是过原点的直线,那么如果f(x)不连续呢。
问题:如果函数函足$f(x+y)=f(x)+f(y)$,$f(x)$是否有不连续的例子。
高级秒杀:实数看成有理数域上的线性空间是无限维的,还要用到线性代数中基的概念。当然,我们承认选择公理。见http://www.duodaa.com/?qa=704


No.5
高中里的集合交并运算,都是有限个里在做,多没意思。大学里可以对无限个集合求交并啦。比如R可以写成形如$[n,n+1)$的并集,其中n跑遍整数集合。注意到,对于不同的整数,他们还两两不交呢。那么把半开半闭区间改成闭区间呢?
问题:实数集是否能写成一列不相交闭区间的并。
高级秒杀需要知道:基数、完备集的概念,完备集的基数是不可数的。而如果可以写成,那些区间的端点可以构成完备集。


No.4
泰勒展开真神奇,能把一些函数写成一个幂级数的形式。但我们一定也知道了,就算是一个无穷次可导的函数,他本身也不一定等于它的泰勒级数。那么展开式是多项式的情况呢?
问题:一个无穷次可导函数在任意一点的泰勒展开式都是多项式,这个函数是否是多项式。
高级秒杀:利用贝尔纲定理,精巧的构造一些东西,大概不能算秒杀。见http://www.duodaa.com/?qa=920


No.3
对于形如两个数列取幂$f(n)^{g(n)}$这样的,计算极限,我们有了很多办法。比如凑重要极限形式计算,取对数计算等等。但有一些形式非常简单的极限,解决却不容易。
问题:$n→∞$时,数列$|sin(n)|^{1/n}$的极限是否等于$1$。
高级秒杀:刘维尔数的概念,以及π不是刘维尔数。后者是Mahler在1953年的论文上写的,不过,如果不是专门这个方向的一般看不懂,哆嗒数学网小编的也看不懂。见http://www.duodaa.com/?qa=2476/


No.2
高中就知道了自然对数底$e$,老师还说他是无理数,但没告诉我为什么是无理数。上了大学,我们终学会了如何证明$e$是无理数。于是,跃跃欲试,要证明其他数是否是无理数了。
问题:$\sqrt{2}^\sqrt{2}$是否是有理数。
高级秒杀:格尔丰德-施奈德定理可以推出他是超越数,当然就是无理数啦。


No.1 
接上个问题。同样,我们还学会了证明圆周率$π$是无理数。两个无理数相加可不一定是无理数呢。
问题:$e+π$是否是有理数。
高级秒杀:些问题人类还没有解决。你能秒杀我叫你大神!。



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