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如何证明素数有无限多个?

 

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素数又叫做质数,小学生都知道是什么意思。如果这位小学生对于数学的课外阅读还不错的话,很容易就能证明素数是无限的。

那么,这篇文章岂不是很水?再讲一个小学里总所周知的事?我们哆嗒数学网小编的回答:“是,也不是!”,我们的确在讨论一个简单的数学结论,但却在用不同的数学方法。方法可能涉及抽象代数、拓扑学以及集合论这种大学生都不一定会学习的方法。

文章受到《GÖDEL’S LOST LETTER AND P=NP》博客中文章的启发(WordPress上的博客,一般打不开),想和大家一起分享。

大学生看不懂的高级方法?这么任性?——不是任性,只是忍不住。

第一个方法,从简单的开始讲。小学生能看懂的就是欧几里得的在2000多年前提供的办法了。

假设只有有有限多个素数。设$p_1,p_2,\cdots,p_m$是全部$m$个素数,令$p=p_1p_2\cdots p_m+1$。则$p_1,p_2,\cdots,p_m$都不是$p$的素因数。所以$p$是有一个与$p_1,p_2,\cdots,p_m$都不同的素数。矛盾。

把欧几里得的这个办法做一些小修改,就是令前面的$p$为$p_1p_2\cdots p_m-1$,在做一些程度不大的改变,也可以证明素数是无限的。利用这个改变后的思想可以证明下面一个简单的命题——“有无穷多个型如$4n-1$的素数”。 证明过程是这样的,如果只有有限个$p_1,p_2,\cdots,p_m$互素,令$N=4p_1p_2\cdots p_m-1$。下面的讨论和前面差不多,首先$p_1,p_2,\cdots,p_m$都不是$N$的素因数,所以$N$的素因数只能是型如“$4n+1$”,这样两边除以$4$的余数不一样,矛盾。

第二种办法,用到排列组合的知识,高中生能看懂,叫做数数法。考虑一个正整数$x$,那么不大于$x$的正整数取值方式有$x$种。把每个$2$与$x$之间的正整数唯一地写成$r^2s$形式,其中$s$的素因数都不超过$1$次的。那么$r\le\sqrt{x}$,就是说$r$取值方式最多$[\sqrt{x}]$种,如果只有$m$个素数,那么$s$的取值方式最多$2^m$。于是$[\sqrt{x}]2^m\ge x$。当$x$足够大时,不等式不可能成立。

热身完毕,进入高级模式。

方法三,抽象代数办法。如果$\mathbb{Z}$只有有限个素理想,那么单扩张$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$是唯一分解整环。但$6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$,矛盾。注意$1\pm\sqrt{-5}$在这个环下不可分解,不是很显然的,了解抽象代数的读者可以试试证明它。

方法四,再来一个拓扑学的办法。在整数集合中,每个从$-\infty$走到$+\infty$的等差数列中所有的数做成一个集合。用这些集合做基,可以生成一个拓扑。令$A_p=p\mathbb{Z}$那么$A_p$不仅是开集,它还是闭集,这是因为$\mathbb{Z}\setminus A_p=\bigcup\limits_{i=1}^{p-1}\{pn+i~:~n\in\mathbb{Z}\}$是一簇开集的并,即开集,于是补集是闭集。如果只有有限个素数得到$P=\bigcup\limits_{p}A_p$,并集跑遍素数时,得到$P$是闭集。但$\mathbb{Z}\setminus P=\{-1,1\}$不是开集,矛盾。

方法五,集合论来了。在整数集合中,还是用每个从$-\infty$走到$+\infty$的等差数列中所有的数做成一个集合。用这些集合做成集簇$\mathcal{A}$。$\mathcal{A}'=\mathcal{A}\cup\{\emptyset\}$显然对有限交运算封闭,而且用方法四中的办法可以证明,对$A\in\mathcal{A}$有$A^c$可以写成有限个$\mathcal{A}$中成员的并。而且对于有限个$A_1,A_2,\cdots,A_m\in \mathcal{A}$,他们的并的补集不可能是非空有限集。这是因为$F=\left(\bigcup\limits_{i=1}^m A_i\right)^c=\bigcap\limits_{i=1}^m A_i^c$,而每个$A_i$是有限个$\mathcal{A}$中元素的并。再利用一下交并的分配率对有限交的封闭性,得到结果是$F$是有限个$\mathcal{A}'$的并,所以要么是无限集合,要么$\emptyset$。这样,如果素数是有限集,令$F=\{-1,1\}$而$A_p=p\mathbb{Z}$,其中$p$跑遍素数得到矛盾。

 

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向“倍儿努力”致敬

 

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原文发表于科学网博客:http://blog.sciencenet.cn/blog-395200-866788.html

 

“倍儿努力”先生何许人?瑞士物理学家、数学家丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli 1700~1782)是也。通用的译名念起来怎么听都有点像“不努力”,索性称呼为“倍儿努力”也许更贴切,注意要用京味儿的儿化音来读——可参考某晚会歌曲《这个FEEL倍儿爽》的发音。

2月8日是这位 “倍儿努力”先生寿辰,让我们来聊聊这位大名鼎鼎的伯努利家族中最著名的一位吧。与德国的音乐世家巴赫家族的枝繁叶茂相似又不同的是:瑞士的伯努利家族是不折不扣的科学豪门,特别是数学,代代相传,在世界范围内也罕见。三代人中产生了8位数学家、科学家,堪称大家的至少也有三位,而家族后代中在数理科学、工程技术、艺术方面也多有所建树。

丹尼尔1700年生于荷兰格罗宁根。是数学家雅各布的侄子,数学家约翰的次子,这就是最著名的三位“倍儿努力”先生。有趣的是三位走向数学的路也如出一辙,都是违抗父命改行。丹尼尔的爷爷尼古拉斯曾让其伯父雅各布念神学,但他取得学位后还是自学了数学成为数学家。其父约翰原本被安排照料家中事务,在大哥的支持下学医,后受兄影响凭着对数学的热爱,自学成才,这一家在数学方面真称得上是倍儿倍儿的努力。

丹尼尔同样违背了其父要他经商的意愿,先是曲线学医,他21岁取得医学硕士学位,后来还是受父兄的影响而转向了心爱的数学方向。25岁时赴俄国圣彼得堡科学院担任数学教授。在圣彼得堡科学院8年应该是他的黄金时期,完成了关于流体研究的初稿,并与父亲的学生欧拉成为好友,探讨各种数学问题。这期间丹尼尔讲授医学、力学、物理学,做出了富有创造性才能的工作。后来由于健康原因回到瑞士的巴塞尔,并开始了与欧拉之间长达40年为人称颂的科学通信。在通信中,丹尼尔向欧拉提供关心的重要科学信息,欧拉则运用数学才能给以最迅速的帮助。1738年出版他一生中最重要的著作《流体力学》(Hydrodynamica),共13章,提出了超越时代的流体定律。1750年成为物理学教授。一生曾十次荣获法国科学院的年度奖,据说历史上另一位获得同样多次殊荣的恰恰是欧拉。当然其父约翰不愿和他一同获奖而至终身龃龉不合更被视为奇闻,这儿暂不多谈了。

丹尼尔·伯努利的流体定律也被称作伯努利原理,在1726年首先提出。原理其实不难理解:在水流或气流里,如果速度小,压强就大,如果速度大,压强就小。其在重力场中同一高度流动时常被写作简化伯努利方程:

   式中p为流体中某点的压强,v为流体该点的流速,ρ为流体密度。实质是流体的机械能守恒定律体现,适用于忽略粘度、不可被压缩的理想流体。这个看似简单的公式用处可不小,涉及生活的方方面面,对现代航空飞行更是至关重要。

   比如飞机为什么能够受到向上的升力而起飞?这是因为飞行时机翼周围空气流线分布在机翼横截面的上下方不对称所致,上方的流线密流速大、下方的流线疏而流速小。由方程可知机翼上方的压强小,下方的压强大。于是就产生了升力。

   球类运动中的弧线球也可以用它直观的分析出结论,比如贝克汉姆外脚背的弧线弯曲方向与使用内脚背有何不同?乒乓球中的上旋球与下旋球的轨迹如何判断?运用方程都会有很便捷的答案。

   生活中还有许多现象可以从伯努利原理来解释,有兴趣的读者可以深入研究。

丹尼尔·伯努利在世的时候已经享誉欧洲。1747年他成为柏林科学院成员,1748年成为巴黎科学院成员,1750年被选为英国皇家学会会员,他还是波伦亚、伯尔尼、都灵、苏黎世等科学院或科学协会的会员。据说有一次旅行时还很年轻的他向别人自我介绍说,他就是数学家丹尼尔·伯努利,而听者不信,嘲讽地回应道:“那我还是艾萨克·牛顿呢!”由此,其知名度可见一斑。

他的研究领域极为广泛,绝对算得上“倍儿努力”。著作数量庞大,据统计其全部数学、力学著作和论文超过80种,工作几乎涉及当时的数学和物理学的研究前沿的所有问题:如流体问题、振动和摆动问题、引力、潮汐、磁学、船体的稳定等,并率先将微分方程应用到物理领域,被推崇为数学物理方法的奠基人。在纯数学方面,涉及到代数、微积分、级数理论、微分方程、概率论等重要方面。不愧是天才骄纵啊…

且慢!

巧合的是,同在2月8日出生、并在圣彼得堡发现化学元素周期性的化学家门捷列夫(1834-1907)就否认所谓的天才,他曾平静地说:“什么是天才?终身勤奋就是天才!”

所以,致敬“倍儿努力”!

 

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统计学论文里的”睡美人”

 

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对于做学术的人们,是非常看重自己发表的论文的引用量的。因为,一般认为,论文被引用数据来反映论文作者的水平,反映论文的价值。论文被引用次数越多,说明论文价值越大,作者的水平越高。很多时候,一篇学界大家发表于顶级杂志的论文在短期内被很多人引用,但有时时候也不尽然,有的论文被引用的次数很少,有的甚至“零引用”。

 

还有一种现象,一篇论文在发表初期,甚至在发表后几年、几十年都引用者寥寥,但之后被引用数量“大爆发”,成为被引用大户。这样的论文,就叫做“睡美人”论文,这些论文就像沉睡的公主一样,一旦被唤醒,就不断散发着她诱人的气息。对于这个现象,还有一种更专业的说法叫做“延迟承认”(Delayed Recognition)。俗话说,书中自有“颜如玉”,论文中也有“睡美人”。

 

2014年10月30日出版的《自然》杂志讨论了史上被引次数最高的100篇文献。列在第11位的是美国统计学家Edward Kaplan和Paul Meier发表于1958年第53卷《美国统计学会会刊》上的论文,这是一篇典型的“睡美人”文献。他发表后几乎没有什么人去引用,直到十几二十年后的20世纪70年代,由于计算机能力的增强,使得该文介绍的方法——Kaplan-Meier方法——连非专家都能掌握了。该方法简洁、易于使用,故引用者众。据了解,此文已被引用超过4万次了。

 

武夷山教授是中国科学技术发展战略研究院研究员,他对论文文献中的“睡美人”现象也颇也研究。他说:“千万不能忽视文献‘睡美人’现象。……如果我们在文献收藏上短视的话,等“睡美人”文献苏醒之时,恐怕已经找不到这些文献了。”

 

 

附录:Kaplan-Meier方法介绍(来源于网络)

 

Kaplan-Meier生存曲线

随访研究,如对 某人群进行跟踪,直至出现一个特殊事件或终点,如死亡、癌症复发等,对所有研究对象从某特定时间点开始追踪,记录出现特殊事件的时间。通常,当所有研究对 象出现该事件时研究才结束,但也有些研究对象可能失访,或者研究提前结束,这样就有一些对象的结局未知,对这些对象记录跟踪的时间(截尾数据)。 
Kaplan-Meier生存曲线可以用来描述该人群的生存情况。 

Kaplan-Meier方 法是一种非参数方法,既适用于小样本,又适用于大样本。基本思想是:将生存时间由小到大依次排列,在每个死亡点上,计算其期 初人数、死亡人数、死亡概率、生存概率和生存率。其思想与寿命表法相同。只不过寿命表法中时间段的划分是人为的、等距的,而Kaplan-Meier法划分时间段的分割点是实际死亡发生时间。

Kaplan-Meier方法的可用来 
1. 估计某研究因素 不同水平的中位生存时间。 
2. 比较该研究因素 不同水平的生存曲线有无差异。 
3. 控制一分层因素 后对研究因素不同水平的生存时间比较(此时将按分层因素的不同水平对研究因素对生存时间的影响分别进行分析)。

 

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樱花盛开的时节结识了松本米子

 

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编者注:本文作者系我国已故著名数学家苏步青。此文从苏步青网转发。在西方情人节即将到来之际,哆嗒数学网与大家一起分享老一辈数学大师跨越战争年代的跨国恋情。我们一直认为,每一位热爱数学的人一定也热爱自己的生活,也会拥有真挚的爱情。在这里,祝大家都幸福。

 

   年轻时,我在日本仙台的东北帝国大学留学。不久,认识了松本教授的爱女松本米子。

  

  在樱花盛开的季节,我们由恋爱而结婚。那年她二十三岁。

  

 

  对于我们的婚姻,她的父亲不太赞成,但是她的母亲很支持。在我们结婚时,因为害怕亲戚们嘲笑我是个中国人,不敢暴露我的真实的国籍。直到我获得了理学博士学位,日本报纸都报道了一个中国留学生的成就,他们才知道了我的真正国籍,他们暗说:“这么厉害的中国人,为什么不早告诉我们?”

  

  我获得学位以后,便决定回国。那时,很多人都劝我别回中国,他们为我保留了讲师的工资和博士研究生的助学金,这足够我们一家子开销了。但是她对我说,她很喜欢我,她支持我回中国,为我们的两个孩子的教育着想,我们也应该回中国去。不久,我们一家到了西子湖畔的杭州城。从那时起,她就生活在中国的大地上,一直到离开人间。

  

  刚到中国,她在生活上很不习惯,就说吃吧,起初她很讨厌乳腐,说太脏了。我说那么好的东西不吃太可惜了,就趁她不注意,把乳腐进行了“改造”:把乳腐上的一层皮去掉,还加了白糖。后来,她就很爱吃了。皮蛋,日本也没有,慢慢地,她也习惯那种特殊的香味儿了。那时,在杭州的日本领事馆通过各种关系来对她说,你是日本人,在中国吃东西不方便,早上就到我们这里来吃吧。可是在杭州几年,她一次也没有去过。再说洗澡吧,日本人的习惯是每天都要洗的,到了中国以后,没有那样便利的条件了。为了解决这个矛盾,我请人用铁桶做了一个浴缸,但也只能满足她一星期洗一次,后来她对此也习以为常了。

  

  抗战开始后,平静的生活被日本侵略者的炮声打破了。从此,我们开始了一段艰难的生活。我随学校内迁到了贵州,我的夫人独自带着孩子回老家,逃难中的人们,又哪有心思去欣赏那大自然的风光呢?相反,她又面临了一个新的困难:不懂浙江话。

  

  故乡的人们以极大的热情欢迎这位远道而来的媳妇,他们帮助她料理一切家务事,洗菜、淘米、做饭,常常有人悄悄地帮她干好了。

  

  她生活在温暖之中,与乡亲们建立了浓厚的情谊。她常常用她微薄的力量为乡亲们做一点事儿。一直到新中国成立后,她和乡亲们仍然保持着那种真挚的感情。不管是关系多远的亲戚上我家来,她都要亲自迎接,为他们安排食宿,从不表示厌烦。直到现在,我家乡的人有时还会说:要不是苏老太太,我们还真进不了苏家的门,苏先生太忙了。

  

  每当听到这些,我就感到脸红。因为我自己对频频来访的乡亲们,有时会感到厌烦。

  

  战时生活非常艰苦,我整天忙于教学和科研,很少能顾及家庭。

  

  家里再也请不起保姆了,几个孩子和许许多多的家务,全靠她一个人照顾。一个日本的富家女子,在中国人民的抗日战争的岁月中,默默地为一个中国家庭费尽了心血。

  

  我记得,在我们的婚礼上,她穿的是非常漂亮的礼服。可是自从抗战以后,她就再也没有心思,也没有机会去做一套好一点的衣服了。

  

  她心里想的是我和孩子们的温暖。

  

  她在少年时代,是高级女子学校的高材生,她有比较高的文化素养和艺术造诣。弹奏古筝是她的一大爱好,听说还常上广播电台去播音。结婚以后,她带了一把十三弦的古筝随我一起来到了中国。至今,这把琴依然在我的房间里。每当我抚摸琴身,弹拨出一阵阵琴声,我便仿佛又看见她坐在琴前,轻弹慢拨,沉浸在悠扬的古曲声中的形象。

  

  可是,在那个年代里,琴身蒙上了一层又一层的灰尘,她再也没有工夫去抚弄它了。

 

  

  那时,她还放弃了自己心爱的书法艺术。她的书法很有功底,有一次我的一个学生对我说:“苏师母的字要比苏先生的好得多。”正是在她的影响下,我才认真地临帖习字,有点进步。在我们的晚年,我常常拿着替朋友们写的条幅到楼上去请她过目,尽管她躺在床上,目光还是那么锐利,常常指出这样那样的缺点。

  

  她牺牲了自己的一切,帮助我在艰难的岁月里,取得了教学、科研上的一点成绩,她还担当起教育八个孩子的任务。我一直认为,没有我的夫人,我不可能培养出那么多的学生,取得数学研究上的成果。

 

 

 

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我是如何度过数学分析的“菜鸟期”的

 

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编者注:本文是作者刚刚度过数学专业的大一“菜鸟季”,写下的一篇数学分析学习心得,与各位网友分享。应作者要求,通过哆嗒数学网匿名发布。同时哆嗒数学网欢迎大家投稿,QQ:1178853280 。

 

数学分析,简称数分,主要内容是微积分,是数学专业数学学习的开端,也是通往未来更高等数学的开端。同样,它是分析方向的基础,学好数学分析非常重要。

 

数分和中学数学有着非常大的区别,可以说,中学和中学以前的数学,都是在介绍各种运算法则,理论性的东西非常之少。到了数分上,就有了非常多的理解性东西,虽然某些概念的定义仍然是用数学符号表达,但是要想完全彻底的理解概念,还是要做深入的思考,而不是像中学那样,仅仅是训练公式的熟练度。

 

对任何一门学科,教材和题集的选取都是至关重要的。这里说下笔者的体会,华东师大的两本书很适合入门,也是普遍普通数学系的数分教材。但是数分是很多后面科目的基础,包括后续的分析内容,实复分析,泛函调和分析,还有一些其他分支,例如微分几何,微分方程等等,一本好的数分教材应该稍微涉及到其他数学科目的基本概念。

 

这里推荐徐森林的《数学分析》。笔者在自学这套教材之后,发现它和普通数分教材比,有很多优点,列举如下:在讲授单元积分学时,本书通过引入零测集的概念,给出可积的充要条件,这对后续学习测度论有益;在讲授多元极限前,普遍本科生已经熟悉了单元极限,本书在此引入了拓扑学的一些基本概念,拓扑,度量空间,紧致集等,首先把开集推广到一般情况,进而把极限以及连续性推广到一般拓扑空间上,最后将连续性的一些定理推广到了一般拓扑空间上,这样,单元中所接触到的单侧极限,广义极限也仅仅是特例,再讲授多元极限,自然水到渠成;在讲授傅里叶级数时,引入了傅里叶积分和傅里叶变换,它们是调和分析的内容,可以用来计算某些含三角函数的积分的简便公式;在讲授多元积分的三大公式——斯托克斯公式、高斯公式、格林公式时,本书借助微分形式和外微分算子,将他们统一成一个公式,公式的统一既深入理解了三大公式的关系,又对后续学习流形有益。

 

俄罗斯有一套《微积分学教程》,国内的很多数分教材都深受本书影响,本书可以说是数分的一本工具书,它含有大量的例题,并且内容非常丰富,包含了很多普遍教材没有的内容,例如绪论的通过证明有理数的不完备性,引入无理数,再证明实数完备性的内容,是大部分数分教材没有篇幅可以介绍的;高阶导数部分介绍埃尔米特差值公式;不定积分处介绍椭圆积分;正项级数的库默尔判别法;函数项级数处的拟一致收敛等等。但是本书是20世纪初所著的,当时测度论还不完善,所以并不包含比如可积的充要条件为不连续的点是零测集,这样的重要内容。对有能力的学生,可以选择卢丁(Rudin)的《数学分析原理》, 本书是作者卢丁所著的分析三部曲第一本,后两本则是《实分析和复分析》与《泛函分析》。这本书比上述教材都更有难度,因为它是直接从拓扑角度讲数分的,并且为了和后两本衔接,还引入了基本测度论。对于有能力的同学不妨一试。

 

 

下面说题集。对于大多数学生,天资并没达到天才的层次,光看教材是不能完全理解理论的,这一点越到后面更难的科目更能体现出来。应用理论解决问题,是理解理论的重要途径。但是,如果仅仅是看解答,并不会有太大进步的,经常直接看解答会让你对答案产生依赖,懒惰会让你不再独立思考,这就相当于你是在拄着拐杖走路。一旦到了需要独立解决问题的时候,就相当于拿走了你的拐杖,这时便很难行走了。因此,做题时独立思考是非常重要的,可以毫不夸张的说,独立做出一道题,比看十个解答都有用。这里按难度从易到难,推荐如下题集: 裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》,这本书很适合准备考研;徐森林的《数学分析精选习题全解》这套就是和徐森林的《数学分析》配套的题集,值得一提的是科大的数分教材史济怀和常庚哲合著的《数学分析教程》上大部分有难度的课后习题,都可以在本书中找到解答;周民强《数学分析习题演练》,这一套很有难度,事实上大多题目来自W.J.Kaczor和M.T.Nowak所著的三本题集《Problems in Mathematical Analysis》;Poyla的《数学分析中的问题和定理》,Polya大师的这一套虽然是题集,但是观点非常高,可以说是数分难题的顶峰,借助问题来引出各种定理和技巧。最后推荐的这本书,笔者认为是学习数学分析的必读书目,但是笔者发现很难将它分在教材还是题集中,因此放在最后介绍,这套书叫谢慧民等著的《数学分析习题课讲义》,分上下两册,可以算作带有题集的学习辅导书。大部分学习辅导书,都是通过重述定理定义内容以及题目和解答来"讲"概念和定理的,本书却大篇幅的具体讲述各种定理该如何理解,一些相似概念的区别和联系,说它是难得的一套从浅如深理解数分的好书绝不为过。每一章最后,都有参考题,难度适中,缺点是题目没有给出解答或提示,这对初学者来说十分不方便。

 

 

自己看书做题是一方面,和他人讨论是更好的学习方式。可以参加学校组织的或者个人组织的研讨班,包括讨论定理或概念该如何理解,自己遇到困难的题目有哪些思路。还可以在一些数学网站上讨论数学,在较正规的数学网站上发言,往往需要LaTeX 打公式,有兴趣的学生可以自学下,并不是很难。

 

最后笔者推荐几个数学网站。这是博士数学论坛(Math.org.cn),是国内最专业的数学网站,有很多高校的数学高手和数学系老师常驻。SE数学版(math.StackExchange.com)}这是国内外比较火的数学网站,它是MO(MathOverFlow.net)下的网站,后者是研究级别的数学网站,包括陶哲轩在内的很多数学家都在上面讨论。SE是为了保证后者讨论质量而建立的适合本科生讨论问题的网站(实际上SE接受任何水平的数学问题——哆嗒数学网注),可惜数分模块中的问题更多的是计算,理论性不多。还有是罗马尼亚的"解题的艺术"网站(ArtOfProblemSolving.com)的数分模块。

 

 

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数学盛宴:美国国家数学节

 

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数学是不是越来越火了?至少美国人想把它做火!

 

2015年2月3日美国国家数学研究所(MSRI)与美国普林斯顿高等研究院(IAS)联合宣布:首届美国国家数学节将在4月18日星期六于美国首都华盛顿召开。而美国国家数学研究所与普林斯顿高等研究院将成为这次数学节的主办单位。

 

 

史密森学会(SI)将成为这是数学节的协办单位,将组织不下30场的演出、展览以及讲座,并开展终身学习者激励初学者的活动。所有活动向公众开放并且免费。各类活动将在伊妮德答豪普特花园、狄龙·利波雷中心、美国国家自然历史博物馆、美国国家航空航天博物馆、美国非洲艺术馆、弗里尔美术馆和萨克勒美术馆等地分别举行。

 

 

这次数学节,并非某学习机构,或者某商家刻意为之商业节日(双十一之类弱爆了——哆嗒数学网注)。从主办单位和协办单位的背景就可见一斑。

 

美国国家数学研究所(Mathematical Science Research Institute, MSRI),成立于1982年,著名数学大师陈省身是创立人之一,并担任第一任所长。美国国家数学研究所是当今世界最卓越的数学合作研究机构,每年有数以千计的数学家与该机构展开合作。当然,美国国家数学研究所被人称道的不仅仅是因为他高质量以及领先世界的基础学术研究,数学教育以及数学公众传播方面的工作也常常被人“点赞”。

 

普林斯顿高等研究院(Institute for Advanced Study, IAS),1930年成立于美国新泽西州普林斯顿。普林斯顿高等研究院与普林斯顿大学虽有渊源,但其并不是普林斯顿大学的一部分。普林斯顿高等研究院是各个领域的最一流学者做最纯粹的尖端研究,而不受任何教学任务、科研资金或者赞助商压力的研究机构。曾经在这里工作的“大人物”的名字都如雷贯耳:爱因斯坦、哥德尔、冯·洛伊曼、小平邦彦、杨振宁、李政道……,到了今天,在数学方面,此机构还有不少于5名的菲尔兹及沃尔夫奖得主的固定研究人员。

 

史密森学会(Smithsonian Institution, SI)) 1846年根据美国国会法令创立,直接隶属于国会,是唯一由美国政府资助、半官方性质的第三部门博物馆机构,同时也拥有世界最大的博物馆系统和研究联合体。史密森学会的管理和经费来源于由美国政府拨款。该组织囊括19 座博物馆、9座研究中心、美术馆和国家动物园以及1365亿件艺术品和标本。董事会由美国最高法院首席大法官、副总统、3名参议员、3名众议员和6名非官方人士组成。

 

有了强力机构对盛会的支持,美国国家数学研究所所长Eisenbud信心十足的表示:“数学在我们每一个人身边——从彩虹的色彩到我们开的汽车以及开车经过的大桥,从现代智能手机和互联网贸易到最新的医疗技术,从“下五洋捉鳖”的深海研究到“上九天揽月”天文研究——这次盛会将成为数学展示它趣味与美的舞台:数学,每个人能懂,每个人能乐享其中。”

 

数学节的官网宣传语说,将给我们从未有过的数学体验,那么我们一起期待吧!

 

 

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12位古代数学家的现代化成就

 

 

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数学已经成为人类步入现代化的核心工具与中心思想。大到卫星上天,小到一个app应用,都离不开数学——只是你是否知道而已。

 

但是,请和我们哆嗒数学网的小编一起想象一下。远在数学还没有给我们带来计算机、量子力学和卫星定位系统之前的古代,一些最聪明的大脑已经在不断的发现他们的数学成就。这些发现建立了最基本的数学思想和工具,带领我们走进了现代化的生活。这是多么神奇的事情。

 

下面列出的12位数学家,就是这些人中的佼佼者。他们的发现,形成了世界走入现代化的数学基石,也是我们步入现代生活最重要的一系列成就。

 

 

 

毕达哥拉斯 (约前500)

 

 

毕达哥拉斯其实不只一位,他有很多追随者,他们形成了一个学派。他们对数的崇拜有着宗教的神秘主义色彩。带着对神的崇敬来研究几何与数字。

 

毕达哥拉斯学派最有名的数学成果当属毕达哥拉斯定理:对于一个直角三角形,两直角边的平方和等于斜边的平方。这是平面几何最基本的结果之一。

 

毕达哥拉斯学派的故事说明了数学和这样宗教如果结合是多么的危险。毕达哥拉斯学派神化的整数,认为整数是宇宙的基石。他们研究几何与音乐,只要和数量相关的东西都认为是两个整数的商。

 

毕达哥拉斯的一个追随者道如何把一个直角边长等于1的等腰直角三角形的斜边用两个整数的商表示出来。但是他的结果是:这是不可能的。用现代人的说法就是,2的平方根是一个无理数。

 

故事的结局是悲惨的。当这位追随者把它的关于可能存在无理数——一种不能表示成两整数之商的数——的事实告诉同伴时。同伴们很震惊,但也很愤怒,把这位有重大发现的追随者装上了船,扔进水里淹死了。



欧几里得(约前300)

 

 

欧几里得是古西腊最伟大的数学家之一。

 

在他的传世之作《几何原本》中,欧几里得建议了一个几何学的框架。正当诸如毕达哥拉斯们的其他古西腊先哲们还在纠结于关于数的问题的时候,欧几里得已经开始引进他严谨的论证体系了:从为数学多的关于点、线的公理出发,通过不断演绎推理,建立了一套在当时最系统化的几何学。

 

这种从公理开始,不断推导结果,而每个新结果都由之前推导出的结果为依据的严谨论证思想,可能是2000多年的历史长河中,最据支配地位的思想。

 

         

阿基米德 (约前287-212)

 

 

阿基米德可能是所有时代最伟大的数学家。他最被人熟知的贡献是他早期物理学的发现。他发现了杠杆原理,和浮力定律。一个大家都知道的传说:有一天,阿基米德在洗澡,看见洗澡水从澡盆里的漫了出来,于是他兴奋,裸奔上了大街,嘴里兴奋地尖叫:“我发现了!”

 

作为数学家的阿基米德甚至比他在物理中做得更好。他已经能够把圆周率估算到一个非常好的精确值,以及计算抛物线围成的一些图形的面积。

 

这些成就让人惊奇的真正原因是,阿基米德使用的计算方法和1800年后牛顿和莱布尼兹发明的微积分中的计算方法惊人的相似。他用不断的添加更细致多边形的来接近图形,这样多边形的面积就会和想要计算的面积的差距越来越小。这样的方法,让人强烈的联想到现代的极限思想。阿基米德这样的数学智慧,领先了他所处时代将近两千年。


 

 

花拉子米(780-850)

 

 

花拉子米是9世纪的数学家,他创造了很多基础的计算技术与方法。他最大的贡献是他发明了一套做算术和解方程的形式化、系统化的办法。花拉子米在他的著作中,使用了印度人的发明的阿拉伯数字体系并流传到了欧洲。而阿拉伯数字体系比之前用的罗马数字体系或者其他非按位数字体系,在加减乘除的表示方面更为简洁。

 

花拉子米还建立了一套解基本方程的规则体系,比如4x + 8 = 2, x²- 8 = 4,在今天这套体系叫做代数。实际上,“代数”这个词就来源于他书中解方程那部分内容的标题,还有一个词是“算法”,它表示解决数学问题的系统流程,这其实是花拉子米的拉丁文名字。


 

 

纳皮尔(1550-1617)

 

 

这个榜单的其他数学家在各个数学分支都有大量的贡献,而纳皮尔只有一个发明,但这个发明极为重要:对数。简单的说,一个数的对数让我们知道了这个数额数量级。

 

用现在的话来说,对数有一个“底数”,一个数的对数就是得到一个数,使得这个底数的那么多次方等于这个数。比如,以10为底数,10的对数是1,100的对数是2。因为10的1次方等于10,10的平方,就是2次方等于100。

 

对数之所以这么有用,是一个重要原因是由于它的一些性质:对数能把乘法变成加法,把除法变成减法。更确切的讲,两个数乘积的对数等于这两个数分别取对数在加起来。同样,两数商的对数等于两数对数的差。

 

在没有计算机的年代,这个性质打打降低计算的难度。对两个非常大或者非常精细的小数做乘除法要比做加减法的时间长得多。所以,如果有人要对两个大数做乘法,他可以先查对数表的得到两个数的对数,在加起来,然后再用对数表返查得到结果。

 

一些计算工具,比如说计算尺,利用对数来做快速计算。这种快速计算器在科学和航海中派上了打用场,我们可以非常快得做一些大数的计算。

 

很多用数量级来衡量计量单位也是用对数来衡量的。比如地震中的里氏震级,以及衡量声音大小的分贝。



 

 

开普勒(1571-1630)

 

 

开普勒是一位天才的几何学家,他把他的数学能力强化了人们对太阳系的认识。开普勒曾经是伟大的天文观测家的第谷·布拉赫助手,而布拉赫拥有一些在当时最细致的行星运动的记录资料。通过分析这些资料,开普勒能够确定和改进哥白尼的太阳系观点:行星围着太阳转,而转动的时间是基于椭圆形状的行星轨道用并用精确定义的数学定律来描述的。

 

开普勒定律是一个伟大发现,因为它是对物理过程精确且简洁描述。像行星绕太阳的轨道这样,我们世界的事物遵循这各种各样的规律。20世纪的物理学家维格纳有一个优美的表述,“数学无理由的有效性”。开普勒定律就是这种无理由的有效性的早期例子。

 

开普勒定律也为牛顿发现他的牛顿运动律提供了条件,尤其是万有引力定律。开普勒对天体力学的贡献让美国国家航空航天局(NASA)将研究太阳系以外的行星的项目以他的名字命名,叫做开普勒任务。



 

 

笛卡尔(1596-1650)

 

 

笛卡尔最被人熟知的是他对哲学的贡献。他提出了精神与物质二元论(心物二元论),他还有一句名言:“我思故我在。”。但是,我们今天使用的大部分数学都欠笛卡尔一份“小恩情”。

 

笛卡尔对数学最重要的一份贡献就是创立了解析几何。数学在笛卡尔之前的历史长河中,代数和几何是互不联系的两个学科。一方面,我们有我们对数字和未知量进行符号化和抽象的操作。另一方面,我们又对一些平面图形和立体图形进行研究。

 

笛卡尔的解析几何统一了这两个领域。他开拓了一种把代数式和方程用坐标平面上的直线或者曲线表示的思想。他的这种基本思想至在今天的中学课程中还在学习。学生们还在练习把y=3x+5这样的方程画成直线,或者把y = x² – 4这样的方程画成抛物线。

 

这种几何与代数的结合是之后创立微积分的重要前置条件,同样,它还理所当然的还是现代数学的核心思想。为了纪念的卡尔如此重要的奠基性工作,我们把他发明坐标系定名为“笛卡尔坐标平面”。

 



 

 

 

帕斯卡(1623-1662)

 

 

法国数学家帕斯卡和这榜单的其他很多数学家一样,在数学的很多领域都有贡献。帕斯卡三角形(中国叫做杨辉三角)提供了一套计算二项式系数的漂亮方法,而二项式系数在代数和其他分支非常重要。他还发明了世界上第一台机械计算器,是现代计算机的早期原始版本。

 

帕斯卡同样还是概率论的创立者之一,他在分析游戏的取胜机会时候开创了这个理论。帕斯卡关于基本概率的工作,让我们开始有能力用数学方法理解机会与风险。

 

帕斯卡把他的概率理论用于神学研究,他提出“帕斯卡赌局”的理论,用于说明为什么我们应该相信神的存在。


 

 

 

牛顿 (1642-1727)

 

 

任何一个关于伟大数学家的榜单都不会没有牛顿。他发明了微积分(这个成就与下一位数学家分享),数学第一次可以系统的描述物体在时空中的变化。牛顿是在发展他的物理理论的时候发明微积分的。

 

微积分是描述运动最自然的语言。汽车的速度是位移的变化率,或者说是位移的导数。把一个铁球从高楼上释放下落,他的速度是变化的,速度的变化率或者说速度的导数就是加速度。牛顿还知道加速度是地心引力作用于铁球质量上的结果。

 

牛顿的物理学还是整个人类世界物理观的里程碑。早期的物理学家和天文学家,比如前面提到的开普勒,他们已经知道天体的运动和一些变量有关。但牛顿和其他的一些物理学家借助数学工具,能让人知道为什么天体运动和这些参数有关。

 

更进一步,牛顿定律是一个普适性理论,它让人明白,让铁球加速下落的力和让月亮绕地球转的力都是相同的力——地心引力。同样的物理定律被应用于宇宙的任何地方,成为科学的核心理论,也被已知的证据支持。



 

 

莱布尼兹 (1646-1716)

 

 

在牛顿于英格兰发明微积分的同时,莱布尼兹在德国独立的发明了微积分,然后在数学家之间引发了一场关于微积分发明权的争论。但无论如何,莱布尼兹当时使用的很多微积分的符号一直沿用至今。

 

莱布尼兹同时在各个方面预见了数学之后的发展。他笃信理性主义,他专注的形式符号逻辑在19世纪末20世纪初发展成了现代数理逻辑和集合论。莱布尼兹和帕斯卡一样还参与了机械计算器的改进的研究。



 

贝叶斯 (1701-1761)

 

 

贝叶斯提供了关于概率论与数理统计最重要的工具之一。这个工具让我们对概率的研究能够进行更加艰巨的探索。

 

如果我们知道一个事件发生的内在机制,那么我们计算着事件的概率是非常简单的。用基本的计算,我们能算出打扑克梭哈时,得到同花顺的概率,或者扔硬币时,连续5次都是正面的概率,再或者彩票中奖的概率。

 

但更多时候,我们更关心把上述问题反过来的情况。我们不去计算基于知道发生机制的事件的概率,而是基于观察到的现象,想得到和了解不知道发生机制的事件的发生的可能性。

 

我们需要了解在一些情况下基于观测现象背后的关联性。比如医学(如果检测为阳性,患病的可能有多大?)、比如社会科学(基于历史数据,最好的解释通货膨胀与失业率之间关系的模型是什么?)、比如日常生活(如果女孩同意和我去另外一家酒吧,他对我有意思的可能性有多大?)。

 

贝叶斯定理提供了一个形式化的工具,让我们能回答这些问题。当一种事情已经发生的条件下,定理让我们能计算这样的概率,当特定事件发生时,鉴于观测结果,基于我们把观测结果纳入特定事件看是否发生,这样能同时得到先前事件在特定事件下发生的可能性。

 

贝叶斯定理是一个分析信息缘由的强大工具,它还是整个统计学思想的底层框架。


 

 

欧拉 (1707-1783)

 

 

在牛顿和莱布尼兹之后,欧拉接过了对微积分的研究的工作。他引入了现代函数的概念:一条规则,或者说几条规则,用于把一个数变化成另外一个数。在当今数学中,这个概念把所以不相关的分支联系到了一起:线性方程、多项式方程、三角几何,甚至我们测量平面上两点间的距离的办法都能理解和表示为一系列函数以及操作它们的办法。

 

欧拉同样发展了幂级数理论:一个把复杂函数用无限个简单项之和来表示的方法。他研究了三角函数和指数函数的幂级数,让他发现了一个特别的,但很常用很重要的一个公式,著名的欧拉公式$e^{iπ}+1=0$。

 

欧拉还是最多产的数学家之一,在很多领域都有贡献。他对哥尼斯堡七桥问题的解决被认为是最早的拓扑和图论成果之一。

 

 

 

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李克强总理:国际数学界的最高奖项菲尔兹奖,中国至今没有一人获得


 

 

 

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据2015年1月29日新华网转载新京报的消息:2015年1月27日,国务院总理李克强在北京中南海主持召开座谈会,听取教育、科技、文化、卫生、体育界人士和基层群众代表对《政府工作报告(征求意见稿)》的意见和建议。其间李总理提出了对数学学科的期望。

在国务院第一会议室,围坐在会场中央椭圆形桌边的分别是国务院领导,以及被邀请来中南海给《政府工作报告》提意见和建议的10位代表。10位代表中既有棚户区搬迁居民、年轻创业者和种粮大户,也有大学校长、工程院院士,还有文艺体育界的“超级明星”。

 

 

复旦大学校长许宁生上来表示,教育界有些担忧,在经济新常态下,教育投入占GDP4%的比例还能不能保住?李克强马上回应:“我可以承诺,这个比例不会变。尽管目前财政增幅下降不小,但国家再困难,教育投入也不会减少。”

当许宁生建议政府要加大对科技创新支持时,李克强突然问:“复旦大学这几年报考纯数学的人数是多了还是少了?”

对于总理的这一提问,现场一些人最初有点不解。李克强把“包袱”留到最后。他说:“刚才为什么我要问纯数学?我们要搞原始创新,就必须更加重视基础研究,没有扎实的基础研究,就不可能有原始创新。国际数学界的最高奖项菲尔兹奖,中国至今没有一人获得。现在IT业发展迅猛,源代码靠什么?靠数学!我们造大飞机,但发动机还要买国外的,为什么?数学基础不行。材料我们都过关了。所以,大学要从百年大计着眼,确实要有一批人坐得住冷板凳的人。”

 

当哆嗒数学网的小编把这个消息发到QQ群里的时候,群友们也纷纷展开了讨论,各位网友也可以看看,注意不代表作者立场:

张小可:“最感动的,是没提到诺贝尔奖,哪次提到菲尔资,不是说,数学界的诺贝尔奖。”

黑老矮丑笨菜19:“(以前)搞得好像菲尔资奖是诺贝尔奖陪衬的一样。谁比谁厉害还不一定,菲尔资人数,尼玛,屈指可数。”

小数学:“以后提到诺贝尔奖就说是非数学界的菲尔兹奖。”

天堂在左,我往右:“只是知道菲尔兹的人少,才这么介绍的,毕竟几乎文盲都听过诺贝尔。”

Yaleking:“国家领导人提倡数学是好事啊,我有时候做梦如果我成了领导,一定要大力提倡数学.”

二次元天然呆:“但是我们国家的数学大部分还是学来考试的,不能学以致用唉”

张小可:"最好克强的话可以上腾讯新闻头条."

浙江杨尚明:“李总理有眼光!”

武汉彭翕成:“领导人重视数学,是大好事,以前拿破仑重视数学,对法国的强盛有明显的促进作用。”

武汉张德凡:“我们都搞奥数去了嘛!”

 

 

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山大数院院长:数学家是“仰望星空的人”

文章来源:山大视点

地址:http://www.view.sdu.edu.cn/new/2015/0116/69713.html

 

 

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   1月9日,山东大学数学学院刘建亚教授等完成的“自守形式与素数分布的研究”项目荣获国家自然科学二等奖。这是继1982年陈景润、王元、潘承洞获得国家自然科学奖一等奖后,数论领域再次有人获奖,期间空白了整整32年。此外也是继2008年王小云教授获自然科学二等奖之后,山大时隔6年再次获得该奖,对数论研究和山大来说都意义非凡。


  基于此,山大视点记者走近刘建亚,听他谈这次获奖,谈数学文化以及数学家的养成。时间仓促中得来些许零散的观点碎片,却不妨碍我们一窥数学女王的神秘真容,同时也体味20年磨一剑背后的艰辛与不易。

 

 

 

数学是不器之学,要多一点耐心

 

  “每个数学家房间里都有一块黑板”,这句话在刘建亚那里得到了验证。刚在办公室落座,墙上一块密密麻麻写着数学公式的黑板就吸引了记者的眼光。刘建亚解释,数学思想需要一个载体,而日常生活的语言不足以成为这个载体,所以数学家需要公式。

 

 

  初中时期的刘建亚,在读过《哥德巴赫猜想》的报告文学后,有了想要摘取数学王冠上那颗名为“哥德巴赫猜想”明珠的想法。随着研究的逐步深入他发现,哥德巴赫猜想虽然家喻户晓,但它只是线性问题,也只是素数分布领域众多著名问题之一。素数分布领域就像一个丰富多彩的果园,有着各种各样的果树与果实。哥德巴赫猜想只是一棵苹果树顶尖的一个苹果。


  早在1990年代,刘建亚与展涛教授已经开始合作,后来他们共同的学生吕广世也加入了研究团队。团队的研究不断取得进展。经过近20年的耕耘,这个团队已经系统研究了自守形式理论,尤其是自守L-函数的分析理论,开辟了一个新途径,成功地将高维自守形式应用到素数分布,并在多个问题中取得了实质性突破。


  刘建亚说,这次获奖“是个好事”,但相对于学校、学院层面的备受震撼,他本人并没有大喜过望。“可以说,这个奖是我们之前多年工作的一个总结,是一种长时间的积累。”他转而表达了自己对科研工作的看法,谈起了数学作为理论科学的独特性。


  刘建亚在期刊《数学文化》的发刊词中这样写道:“子曰:'君子不器。'数学恰是一门不器之学,堪比孔子意义下的君子。”在刘建亚看来,数学本身是形而上学,有着自身的哲学意义与文化意义;虽然数学有用,但数学不以有用为自身的目的。数学家,是康德意义下“仰望星空的人”,是这个世界的观察者,不可能像富豪名媛那样得到社会的关注,“正如哲学家从来都不是全民投票产生的”


  也正是因为这个原因,刘建亚郑重提出了自己的建议:“我们要对做事情的人多一点耐心,只要他真的是在做事情。不管做的人还是看的人,都要对数学有点耐心。

 

 

数学家,这样存在

  做数学似乎是一个苦行僧的行当。刘建亚开玩笑说任何一所大学毕不了业的学生中有一半是学数学的,“对那些数学挂科的同学说,你们绝不孤独。”


  但数学又是一门充满魅力的学科,她是所有科学的女王,是一门真善美的学问,因而吸引着众多学子围绕在她身边。


  他们中的每个人,都怀揣着数学家的梦想。那么数学家,到底是怎么炼成的?又是一种什么样的存在?作为过来人的刘建亚跟我们谈了很多。


  他说,要成为数学家,你得有一点天资,虽然用不上所谓的“最强大脑”;必须要努力,没有人仅凭聪明就能成为数学家。除了这些,起重要作用的还有另一个因素:机遇。


  在刘建亚看来,数学研究是一个纯智力的创造性过程,并非“水到”就能“渠成”,或者“铁杵磨成针”。“铁杵磨成针”强调了积累的重要性,但是不足以导致数学突破的发生。在有了积累之后,突破的发生往往出人意料,往往由别的因素诱发,正如古人说的“功夫在诗外”。这些可能诱发突破的事件,就是所谓的机遇。突破恰似数学上的“奇点”,而奇点的性质是难以研究的。

 

   “机遇是什么?有时候很简单,就是在什么时候遇见什么人。”所以刘建亚非常支持学生走出去,跟做不同学问的人交流,在碰撞中产生灵感。


  相同的道理,有人说数学家的组织是个旅行俱乐部,常常坐十几个小时的飞机去地球的另一边,只为了见一个与自己有共同语言的人,聊上几个小时。因为遇见不同的人、说不同的语言往往能给人启发,也便有了可能“豁然开朗”的机遇。


  刘建亚笑言自己如今已沦为“半个数学家”,因为院长身份而来的行政事务占据了白天很多时间,所以他选择在晚上做数学并会做到很晚,出国交流期间更是可以集中精力做研究,“那个时候会猛做”。


  前几天,一位已经成为知名数学家的学生回来看望自己,说了这么一句话:好的数学家要拿命来换。刘建亚很认同,又在后面补充了一句:有的人拿命换也换不来。

 

数学之外更有书法,一直在心中从未被放下

  在刘建亚的办公室,还有一处特别的地方。那是一方书桌,桌上并没有铺开的宣纸,砚里的墨汁也已变干,几管大小不一的毛笔静静躺在那里。书桌旁边,却有厚厚的几摞字帖。“这里有我的一百来本字帖,好几十斤。”

 

  曾经,刘建亚在数学与书法的选择上有过一次激烈的思想斗争。当时的他顶住生活压力选择了数学。这也成为无数数学学子心中在面临抉择时的一个示范。如今,已过知天命年纪的刘建亚,在面对当时“被放下”的书法时,却是怎么都放不下。

 

  “现在的我可以努力做一个业余书家,未必是作为一种职业,但心里一直装着(书法)这件事。”他这么说。

 

 


  交谈中,刘建亚指着墙上悬挂的大幅书法作品说:“练书法就像是学数学。”数学需要不断做问题练手,书法需要不断练字,这是二者的相同之处。此外当二者达到一定程度,就不是仅靠多练就能进步了,而是需要前面提过的一点机遇。


  “数学需要一个奇点去创造,书法同样需要一个突破点去创作。”所以,对于事务繁多无法保证“一天仨小时练字”这样的情况,刘建亚也坦然接受。“每天都想着,或许比每天都写来得更为重要”,想着想着就想通了,然后就会“豁然开朗”。


  兜兜转转,数学与书法当年在留与弃之间角逐,如今又重归一体,不禁让人感慨,同时又欣慰于刘建亚对两者的“执念”终能双全。

 

 

寄语年轻人:做村里第一还是世界第一,你自己定

 

  怎么样才算成功?


  一位著名数学家在接受采访时说:“这个领域里的科学家,99%的人永远也不会取得成功。”对此刘建亚笑称,可能99%的人不会取得那位数学家那样的成功,但一个人有一个人的活法,而不同的人对成功的定义也不一样。如果将成功定义为种植红薯,那么99%的人都能成功。


  他还笑着给出了自己的一句“名言”:“我们不是高斯,但不能因此就跳楼啊,为什么呢?若是我们都跳楼了,那这个世界连欣赏高斯的人都没了”。


  即便是同一个人种红薯,是否成功也有不同的标准。“是选择安安稳稳做村里的第一,还是要去争个世界第一”,还要看自己对目标的定义。种红薯要想达到世界第一,估计也得有拿命来换的思想准备。


  对于现在的年轻人,刘建亚持有同样的态度。他建议大家在成长过程中最好是有个目标,“如果你有拿命来换的打算,就定个高一点的目标;如果不打算这么做,那就定个不高的目标。总之,既不能让目标很容易就实现,也别让自己承受不起。


  同时,追求不同性质的目标,会给人带来不同变化。刘建亚总结说:“你的目标越是不含私利,你就越是趋于哲学上的善。”

 

 

 

 

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把π做成音乐玩玩

 

 

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我们都知道圆周率π等于3.141592…是一个无限不循环的无理数,把这些数字与音符做好对应,比如1对应“do”,2对应“re”,3对应“mi”等等,得到的旋律会怎么样?

 

当然,只听一个声部音乐的不会感觉十分美妙。我们报合音也做好这样的简单对应,一起弹唱。

 

最后,314除以2,得到的157的每分钟节拍数(BPM)。

 

这样,我们就把π做成音乐玩啦,听听,好听不?

 

 

 

 

 

 

 

 

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让中学生能看懂的线性拟合最小二乘的证明

 

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我们有一组数据$x_1,x_2,\cdots,x_i,\cdots,x_n$,每个$x_i$对应着一个$y_i$,于是有了另外$n$个数据$y_1,y_2,\cdots,y_i\cdots,y_n$。现在假设数据大致分布在一条直线周围,我们要找出这条直线。

 

找的思路是这样的,假设这条直线是$y=ax+b$,因为会有误差,$(x_i,y_i)$这些点,一般来说不会都在这条直线上。你把$x_i$带进直线方程的右边的时候,得到都是数不一定正好是$y_i$,就是说$y_i-ax_i+b$可能不是零。为了保证偏差最小,我们希望$\sum(y_i-ax_i-b)^2$这个值最小。这就是最小二乘法的思想。那么取怎样的$a,b$能让他最小呢?

 

遗憾的是,大部分给出的求$a,b$的办法都是用拉格朗日乘数法。这个办法需要用多元微积分的知识才能解释,这是大学学习的内容。再不然就是什么矩阵范数什么的,是更高端的数学办法。网上也有人给出一些办法,是中学生也许能看懂,不过符号过于复杂,而且就是硬算,没有思想。这里哆嗒数学网的小编,给个中学生能看懂,而且有过程有思想,过程还很漂亮的办法。

 

第一步:计算平均数,这几个常数以后会用的。

 

$\overline{X}=\cfrac{1}{n}\sum x_i$     $\overline{Y}=\cfrac{1}{n}\sum y_i$ 。

 

第二步:做变换,中学时候也说是变形的。

 

$t_i=\cfrac{x_i-\overline{X}}{\sqrt{\sum(x_i-\overline{X})^2}}$     $s_i=\cfrac{y_i-\overline{Y}}{\sqrt{\sum(y_i-\overline{Y})^2}}$

 

这篇文章最精彩的部分就是这个变形了。变形之后你会发现$\sum s_i=\sum t_i=0$,平方和$\sum s_i^2=\sum t_i^2=1$,而且能知道他是一条新的直线。对新的直线进行拟合$s=ct+d$,还是要$\sum(s_i-ct_i-d)^2$最小。啊哦,是不是已经看到漂亮的轮廓了?当然好戏在后面。

 

第三步,当然计算不可少啦。

 

$\sum(s_i-ct_i-d)^2 = \sum(s_i^2+c^2t_i^2+d^2-2cs_it_i-2ds_i+2cdt_i)$

$=\sum s_i^2+c^2\sum t_i^2+ nd^2-2c\sum s_it_i-2d\sum s_i+2cd\sum t_i$

$=1+nd^2+c^2-2c\sum s_it_i$

 

这令$p=\sum s_it_i$,那么可以进一步得到结果为$1-p^2+nd^2+(c-p)^2$。要让这个式子的值最小,当然是是让$d=0,c=p$啦。

 

得到直线方程的结果$s=pt$。这个结果简直得太漂亮了!

 

最后一步,代回本来的结果啦。

 

 $\cfrac{y-\overline{Y}}{\sqrt{\sum(y_i-\overline{Y})^2}}=\sum\cfrac{(y_i-\overline{Y})(x_i-\overline{X})}{\sqrt{\sum(y_i-\overline{Y})^2}\cdot\sqrt{\sum(x_i-\overline{X})^2}}\cdot\cfrac{(x-\overline{X})}{\sqrt{\sum(x_i-\overline{X})^2}}$

 

即$y=\cfrac{\sum[(x_i-\overline{X})(y_i-\overline{Y})]}{\sum(x_i-\overline{X})^2}\cdot x+\overline{Y}-\overline{X}\cdot\cfrac{\sum[(x_i-\overline{X})(y_i-\overline{Y})]}{\sum(x_i-\overline{X})^2}$

 

就是说,令$a=\cfrac{\sum[(x_i-\overline{X})(y_i-\overline{Y})]}{\sum(x_i-\overline{X})^2}=\cfrac{\sum x_iy_i -n\overline{X}\overline{Y}}{\sum x_i^2-n\overline{X}^2},b=\overline{Y}-a\overline{X}$,就是我们经常见到的结果啦。

 

什么?最后一步不漂亮。额,这里说一个生活经验吧,当我看见一个远远看见一位“美女”的时候,那时是“盼望”,走近时还有“希望”,真正面相对时,咳咳——我很绝望。

 

 

 

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我们太过沉迷地把科学和数学强加于孩子们

 

 

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原文2014年12月29日发表于《华盛顿邮报》的网站上,作者Emily Eckart。哆嗒数学网为你翻译。

 

 

我小时候的愿望是成为一名科学家。在一次学校的活动中,我还打扮得和亚历山大·弗莱明(英国细菌学家,青霉素发现者)一样,做了培养面包霉的实验。我狂热追逐居里夫人的事迹,就像其他女生追逐他们的影星和歌星一样。微生物学、昆虫学、神经科学、药物学——都在召唤我去探索、发现那些隐藏显微镜和数学方程背后的基本事实。

 

然后,……,就没有然后了。

 

七年级的时候,我看了劳伦斯·克劳斯(美国理论物理学家和宇宙学家)的《原子》。书中跟随了一个原子从宇宙大爆炸开始写,一直写到现在。克劳斯说:他完全是由原子组成的,即便他最后死去,这些原子也会一直存在,去组成其他物体。这段显然是书中的一个小高潮,但却让我很不爽。这些微粒和细胞相互机械作用的目的是什么——我们为什么而活,我们应该做什么?

 

当我们文艺的心在“浪荡”的时候,我们的数学和科学老师的表达会让我们这些喜欢人文学科的人深切的失望。高中的时候,当我告诉我之前的科学老师我选择音乐专业的时候,他脸色很难看地说:“你的科学怎么了?”。

 

一般认为STEM专业(STEM是科学、技术、工程和数学的简称)是“最有价值的”——价值的意思是指容易找工作以及高的收入。各种推荐STEM的文章都有明确的焦点:工作和钱。高校的各种形式的假期培训也不断增加,但也只教一些对我们当今数字时代有用的实用技能。

 

我现在还是坚定的认为,年轻人学STEM专业是有好处的,但也是短视的。由于我们的数字时代的需求,我们只教量化操作的技能。对于能把思想转化成数字语言表达的数学和科学,受到大量的偏爱,并不让人感到奇怪。

 

但是,人文学科的捍卫者们也一直认为对历史、文学、艺术以及其他技能的培养对学生的成功更为关键。品读和解析文章,人文学科培养了清晰交流的能力,无论是口头的还是书面的。

 

不断前进的世界里,还有很多问题没有确切的答案。比如什么是伦理道德,以及什么是幸福人生。《教育领导》中,大卫·费雷罗总结人文学科非常完美:“自省的国民、睿智的领袖以及优秀的人”。

 

而现在没人讨论那些最基本的问题:为什么人文学科很重要。有种冲动想知道,我们为什么存在,生死意味着什么?——这些天性可以用散文、音乐和绘画来表达——但还是无法解释又不可争辩的和地球上各个文化联系起来。不承认这些人文活动的固有价值就是不承认人之所以为人的基本特性。

 

 

我决定把我的大学时光用于研究音乐和文学。我沉浸于弦乐四重奏和研究舒伯特的各种调式。我被《伍尔夫和乔伊斯》中的内容深深抓住。人文学科的课程让我学会分析,倾听和写作,去领会美,去探究人心的深处。和朋友们的预测相反,我没有失业,我在大学图书馆找了份工作。我的生活被各种音乐会和小说阅读充实着。我开始涉足幻想小说的写作,这个挑战让人兴奋和刺激,和以前遇到过的一样。

 

由于过分强调STEM,我们给自己制造了极大的风险。我们在阻碍甚至在丧失一些依托于人类主观感受的学科。我们必须培养科学家和工程师,但我们也不能忘记培养未来的诗人、艺术家、演员和音乐家。他们会不断说出无价的真理:那是道德选择的意义;那是超越肉体的意义,那是我们短暂生命的意义,那是艺术,那是我们的爱。

 

 

 

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数据科学家成为2015年最热门职业?

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据腾讯科技1月3日报道。

 

你擅长数学,会用Python编程,而且还对某个行业了如指掌?


如果你拥有这样的技能集,那你就有可能当上数据科学家。而如果你当上了数据科学家,那你的日子就可以过得风风光光了——LinkedIn的最新投票结果显示,“统计分析和数据挖掘” 是2014年最大的求职法宝。


美国招聘网站Glassdoor的报告称,数据科学家的平均年薪为118709美元(约合人民币737550元),而程序员的平均年薪为64537美元(约合人民币400974元)。麦肯锡公司的一份研究预测称,到2018年,在“具有深入分析能力的人才”方面,美国可能面临着14万到19万的缺口,而“可以利用大数据分析来做出有效决策的经理和分析师” 缺口则会达到150万。


该领域目前异常火爆,纽约大学数据科学中心课程的负责人罗伊•洛伦斯(Roy Lowrance)表示,现在可能已经到了巅峰期。“也许存在着泡沫,” 他说。 “无论什么事情,一旦变得这样火爆,之后就肯定就会冷下来。”不过,纽约大学希望在未来几年里扩大数据科学课程的招生规模,把学生人数从40名增加到60名。本学年还有五个月才会结束,但50%到75%的学生已经找到了比较理想的工作。


为什么该领域会变得如此火爆?琳达•博奇(Linda Burtch)是芝加哥的猎头公司博奇工程的董事总经理,她表示,尽管像谷歌、亚马逊、Netflix和Uber这样的高科技公司都有自己的数据科学团队,但那些非高科技公司,比如Neiman Marcus、沃尔玛、Clorox和Gap,它们现在也需要使用这方面的人才,“很多公司都在物色数据科学家,”她说。


这些公司希望,数据科学专业人才可以挖掘新的信息,来帮助公司开源节流。IBM负责大数据业务的副总裁Anjul Bhambhri表示,航空航天制造商Pratt & Whitney现在可以预测出飞机发动机何时需要进行维护,准确率达到97%,这可以帮助它更加有效地开展业务。
虽然IBM在本月刚刚推出了基于云计算的Watson Analytics免费增值工具,但是,为了分析非结构化数据,数据科学家常常不得不亲自动手编写专门的软件程序,这正是数据科学家必须掌握编程技巧的一个原因。

 

 

学校教育


洛伦斯说,数据科学家需要具备三项基本技能:数学/统计、计算机能力、在特定业务领域的知识。纽约大学数据科学中心希望招收至少具备其中一种技能的学生,然后培养他们掌握其他技能,让学生到毕业的时候,可以独当一面负责处理数据工作。 “在学习过程中,他们要做一些数据科学项目,这些项目需要他们用到这三种技能,”他说。


但是,如果你想成为一名数据科学,也不一定非得去大学读书才行。从今年9月开始,一家名为梅蒂斯(Metis)的公司开始在纽约举办为期十二周的数据科学训练营,费用为1.4万美元。报名的人非常之多,入学竞争相当激烈。梅蒂斯公司的联合创始人杰森•莫斯(Jason Moss)说,大约有一半的学生都拥有硕士或博士学位。


第一期训练营在12月初结束。莫斯说,不过几周, 15名学生中就有6名拿到了聘用通知。


“我不认为训练营可以替代大学教育,”莫斯说。“训练营可以提供一条捷径,让你以最快的速度找到一份工作,但大学的目的不在于此。但我也不认为你必须上大学才能成为一名数据科学家,”他说。“有一种人,他们天生具有好奇心,有勇气,有决心,总想把事情理出头绪,他们在这一行可以干得很好。”


Anmol Rajpurohit是一名独立的数据科学家兼顾问,他说,做这一行工作最重要的素质就是能够快速学习东西。“与专长于任何特定编程语言相比,泛型编程技巧远远更加重要,”他说。 “在如今这个时代,技术的发展突飞猛进,语言会很快过时,新的语言则将迅速普及。因此,学东西很快的人,会比单独领域的专家更有前途。”


洛伦斯说,他认为,在某些技能方面,训练营和网上课程可以为学习者提供很大的帮助。但在另外一些方面,它们的作用就就相对有限了。纽约大学的数据科学课程有一个优势,就是可以按照正确的先后顺序来培养你的技能。“我们的教学顺序可以让你循序渐进、融会贯通地掌握技能。”他说。

 

 


数据科学家要做哪些事?


游戏公司Playstudios的数据科学家乔恩•格林伯格(Jon Greenberg)说:“在日常工作中,我需要管理一系列控制面板,它们提供的信息可以让公司知道,我们的生意到底做得怎么样? 用户在做什么事情?”格林伯格现在是一名经理了,所以他编程的时候没有以往那么多,但是他有时候仍然需要编程。通常来说,他把数据从Apache Hadoop的存储器里调取出来,在分析平台Revolution R上运行它,并对它进行一些可视化处理。 “比如说,我们可以从中得知一部分用户如何与新推出的功能互动,”他解释说。


六年前,格林伯格拿到了统计学的硕士学位。他希望进入政府部门工作,但却惊讶地发现,公司企业非常需要数据科学家。 “那个时候,数据科学领域还没有现在这么火爆,,”他说。现在,他每天都能从猎头那里收到一个电话或一封邮件。 “这种情况不只是发生在我身上,”他说。“所有的数据科学家可能都是这样。”


对于格林伯格来说,就业机会很好只是一个加分项,因为他本来就热爱这一行。 “我认为,要做数据科学工作,你必须得有分析头脑才行,而且还得有好奇心,”他说。“你必须得有灵活性和创造性,构思出不同的方法来解决问题。”这项工作的唯一缺点,格林伯格说,就是“清洁”数据(去掉那些没有相关性的结果)需要花费大量时间。“这部分任务并不是那么招人喜欢,你得花很多时间来做它。”他说。


Rajpurohit说,他花了很多精力来清洁数据和做研究。 “我很大一部分时间都花在做研究上,因为我经常会遇到全新的问题,因此,我需要研究特定领域最新文献,或者是找找专家,听听他们在这方面的看法,”他说。


“尽管数据科学这个名字和艺术毫不沾边,但是你需要把艺术和科学很好地结合起来。科学的部分很明显——数学,程序设计等等。但艺术部分是同样重要——创造力,对语境有着深刻的理解。把这两部分结合在一起,你就会变得善于解决问题。”


尽管如此,Rajpurohit也承认,数据科学并不像眼下很多人以为的那样善良迷人。这个领域确实是在变得越来越重要,而且也出现了很多高薪机会,但在数据科学家需要做的日常工作中,有很多其实都很枯燥。

 

 


你是当数据科学家的料吗?


每天花大量时间来编程,分析控制面板上的数据,获得相关信息,如果你对这样的工作感兴趣,那么你可能就适合干这一行。但如果你仅仅是想拿高工资,那么你可能就会觉得这样的日子过起来苦不堪言。你要知道:真正适合干这一行的人,常常会在业余时间里编写程序,分析数据,而他们这样做只是为了自娱自乐。


亚当•弗洛葛尔(Adam Flugel)是博奇公司的数据科学招聘猎头,他谈到了最近遇到的一名候选人。此人拥有博士学位,今年秋天将去电艺公司(Electronic Arts)工作。“真正让他脱颖而出的是优势是,他在空闲时间也做这种事情,而且纯粹就是为了好玩,”弗洛葛尔说。“他是多人在线游戏世界《坦克世界大战》的玩家,领导着一个玩家团队。于是他编写了一个从游戏服务器抓取数据的程序,然后进行数据分析,评估自己团队的表现。然后他利用这些信息来弄清应该如何调整自己的战略,应该招收哪些类型的成员,才能提升团队的整体表现。”


所以,如果你爱的并不是数据本身,而是它可以给你带来的高薪,那么你会发现,自己很难与那样的人竞争。但是博奇说,每个人都应该学会热爱数据,即便只是为了自己事业前途着想,也该这样做。 “十年之内,如果你不是数据大咖,你就别想升到‘首席XX官’的位置上”博奇说。


但是像史蒂夫•乔布斯、比尔•盖茨那样的情况又怎么解释呢?他们拥有远见卓识,并没有陷入数据科学的细枝末节之中。“那是30年前的事了,”博奇说。 “我说的是未来10年。”

 

 

 

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印度科技部长:勾股定理和代数都是印度的

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据《印度时报》网站报道,第102届印度科学大会在印度的孟买大学日前召开。刚上任不久的印度科技部部长瓦德汉博士在会议间不断强调和赞扬了古代印度的科学贡献。他表示,印度人无私地向世界分享了他们的科学知识。那么大家一起随哆嗒数学网的小编一起看看,这位部长还说了什么。


瓦德汉部长说:“我们的科学家发现了毕达哥拉斯定理(中国称作勾股定理),我们却世故的把荣誉给了希腊人。我们都清楚我们比阿拉伯人早太多得知道'beej ganit'(印度对代数的称呼),但我们仍然无私地允许它仍被唤作代数。”


实际上,这次大会非常隆重,并非一次“山寨”大会。印度总理莫迪也亲自到会参加活动。另外,还开辟了由诺贝尔奖得主、著名科学家和学术人参加的各种讨论分会。

印度的一些数学专家对这位部长的话却不以为然。一位孟买大学的教授说:“我们知道印度人为数学做出过杰出的贡献。但是,当我听到瓦德汉那样说的时候,还是很吃惊。也许,他所理解的数学和我们学术人所理解的有很大差异。”


但是,瓦德汉的言论也有支持者,他们说印度的贡献是不容忽视的。另外的一些教授说:“我们给予了世界‘0’。数学里的一切,无论是代数还是别的分支,我们必须从‘0’开始。所以我们不能忽视我们曾经对数学做出的贡献。” 瓦德汉部长还组织举办了一场题为印度之骄傲的科技展览,展示了技术、产品、研发计划以及学者。

相比之下,总理莫迪的发言还算中规中矩。莫迪说,我们需要重燃对科学与技术的爱,并且放松一些对大学不必要的管制来促进科研。

 

莫迪说:“我们的科学家应该可以去探索科学的奥秘,而不是在一些繁文缛节上羁绊太多。我们必须改变大学的体系,从砍掉我们国家的一些边缘的研究和开发活动开始。”不过,莫迪也同时强调,研究还是会有一些限制,但要给出宽泛的空间。

 

莫迪还表示出了对未来的关心,他说:“我们的孩子们都把体育明星当作偶像,科学家们也应该一样被当作偶像。爸爸妈妈们应该为自己的孩子成为科学家而感到骄傲。”

 

本次科学大会还有别的“奇景”:一位退休飞行教练在大会上指出印度人早在7000年前就发明了飞机,而且是能进行星际飞行的飞机。

 

 

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清华大学特等奖学金得主:我梦想成为数学大师

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编者按: 2013-2014学年度,清华大学共有9名本科生、10名研究生获得“特等奖学金”。本文描述的邱聪灵还有一句名言:“与数学这么美妙的东西相比,百万美元又算什么!”本文原文来自清华大学:http://www.tsinghua.edu.cn/publish/newthu/9351/2015/20150105132748922958591/20150105132748922958591_.html

“我从小热爱数学,以数学大师为英雄。我心目中的大师有两种。一种做出开创性工作,如陈省身先生,三篇论文奠定整体内蕴几何学基础,并培养了一大批杰出的几何大师;另一种则解决伟大的问题,如Wiles,证明了困扰世界358年之久的费马大定理。我梦想成为大师,成为这样的英雄。”这是获得2014年度清华大学本科生特等奖学金的邱聪灵的个人自述,这也是他从进入清华以来一直为之努力的方向。
 
与大部分学生一样,邱聪灵一考入清华学堂数学班的,就摆脱了原来枯燥的高中学习生活,仿佛进入了一个全新的世界。大一军训拉练的第二天,当大家都还在休息的时候,他就在图书馆啃了一天的数学书,这里是一个崭新的世界。他说,在这个新世界中,学数学就像呼吸一样自然和必要。
 
初窥门径的邱聪灵更加如饥似渴地探索这片美丽的新大陆。他超前选修和旁听了很多高年级甚至研究生的课程,并参与了十门数学科学中心邀请国外知名数学家开设的前沿课程。他说:“学的越多越是感动于数学的美妙,因此即使磕磕绊绊也根本停不下自己探索的脚步。”大学前三年,他的学分绩一直排在年级第一,22门专业课有4门满分,10门98分以上,他还获得了丘成桐大学生数学竞赛全能金牌、几何金牌,团体、代数银牌。
 
虽然获得了一些成绩,但邱聪灵深知一个数学大师不只在于他们能掌握并使用许多数学知识,更在于他们有原创的想法。随着学习的深入,创造的冲动归于平静,随之而来的是对数学创造更深的理解。他说:“现今数学的任何一个领域都至少有几十年甚至数百年的发展,创造谈何容易。真正的数学创造应该是来自精神深处的洪流,而不是为创造而创造。” 现在,他鼓起勇气钻研最前沿,最深奥的理论,“即使不能做,也要心怀大问题。”
 
除了自己的钻研,邱聪灵也从华罗庚先生为工人、农民讲解运筹优化的经历体会到,真正的数学大师不仅发展数学科学,也能创造数学文化。因此,他组织和参与了许多讨论班,和同学们共同进步。他还担任学术系刊《荷思》的副主编,努力提高《荷思》的影响力。他坚持给学校后勤部的职工们辅导了一年数学,希望能用数学知识帮助他们改进工作。渴望成为大师的同时,邱聪灵也希望帮助更多的人认识和进入美丽的数学世界。

 

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2015年北京大学数学专业数学分析考研试题及答案

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2015年北京大学数学专业数学分析考研试题及答案

 

答案由哆嗒数学网的数学Geek们提供,如有疏漏,敬请各位指正。

感谢:天书、鼠阿大、龙凤呈祥、Daivid、微尘、Veer的大力支持

特别感谢上海交大的姚老师的指正。

 


1. 计算 $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt-x} {\sin x-x}$.


2. 讨论广义积分 $\int_1^{+\infty}\Big[\ln\Big(1+\dfrac1x\Big) -\sin{\dfrac1x}\Big]\,\mathrm dx$ 的敛散性.


3. 函数 $f(x,y)=\begin{cases} \Big(1-\cos\dfrac{x^2}y\Big)\sqrt{x^2+y^2}, &y\ne0;\\0, & y=0.\end{cases}$ $f (x,y)$ 在 $(0,0)$ 可微吗? 证明你的结论.


4. 计算 $\int_L e^x\Big[\big(1-\cos y\big)\,\mathrm dx-\big(y-\sin y\big)\,\mathrm dy\Big]$, 这里 $L$ 是曲线 $y=\sin x$ 从 $(0,0)$ 到 $(\pi,0)$.


5. 证明函数级数 $\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\cos{nx}}{n^2+1}$ 在 $(0,2\pi)$ 一致收敛, 并且在 $(0,2\pi)$ 有连续导数.


6. $x_0=1$, $x_{n+1}=\dfrac{3+2x_n}{3+x_n}$, $n\geq 0$. 证明序列 $\{x_n\}$ 收敛并求其极限.


7. 函数 $f\in C^2(\Bbb R^2)$, 且对于任意 $(x,y)\in \Bbb R^2$, $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)\gt0$. 证明: $f$ 没有极大值点.


8. $f$ 在 $[a,b]$ 连续, 在 $(a,b)$ 可导, 且 $f(b)\gt f(a)$. $c=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. 证明: $f$ 必具备下述 两条性质中的一个:
(1) 任意 $x\in[a,b]$, 有 $f(x)-f(a)=c(x-a)$;
(2) 存在 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f^\prime(\xi)\gt c$.


9. $\mathbf F\colon\Bbb R^3\to\Bbb R^2$ 是 $C^1$ 映射, $x_0\in\Bbb R^3$, $y_0\in\Bbb R^2$, $\mathbf F(x_0) =y_0$, 且 $\mathbf F$ 在 $x_0$ 处的 Jacobi 矩阵 $\mathbf{DF}(x_0)$ 的秩为 $2$. 证明: 存在 $\varepsilon\gt0$, 以及$C^1$ 映射 $\gamma(t)\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to\Bbb R^3$, 使得 $\gamma^\prime(0)$ 是非零向量, 且 $\mathbf F(\gamma(0))=y_0$.


10. 开集 $U\subseteq\Bbb R^n$, $f\colon U\to\Bbb R^n$ 是同胚映射, 且 $f$ 在 $U$ 上一致连续. 证明: $U=\Bbb R^n $.

 

 

 

参考答案:

 

1. 计算 $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt-x} {\sin x-x}$.
由罗必塔法则有:


$原式=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{ e^{-x^2}-1} {\cos x-1}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{ {-x^2}} {-\frac{x^2}{2}}=2$

 

 

2. 讨论广义积分 $\int_1^{+\infty}\Big[\ln\Big(1+\dfrac1x\Big) -\sin{\dfrac1x}\Big]\,\mathrm dx$ 的敛散性.


$\lim\limits_{x\to+\infty} \left|\cfrac{\ln\Big(1+\dfrac1x\Big) -\sin{\dfrac1x}}{\dfrac{1}{x^2}}\right|=\left|\lim\limits_{u\to0} \cfrac{\ln\Big(1+u\Big) -\sin{u}}{u^2}\right|$
$=\left|\lim\limits_{u\to0} \cfrac{\dfrac{1}{1+u}-\cos{u}}{2u}\right| = =\left|\lim\limits_{u\to0} \cfrac{-\dfrac{1}{(1+u)^2}-\sin{u}}{2}\right|=\dfrac{1}{2} $

所以绝对收敛

 

3. 函数 $f(x,y)=\begin{cases} \Big(1-\cos\dfrac{x^2}y\Big)\sqrt{x^2+y^2}, &y\ne0;\\0, & y=0.\end{cases}$ $f
(x,y)$ 在 $(0,0)$ 可微吗? 证明你的结论.

解:不可微,证明如下

若$f(x,y)$在$(0,0)$可微,则在$(0,0)$的某邻域有:
存在$A,B$使得$f(x,y)=f(x,y)-f(0,0)=Ax+By+o(\sqrt{x^2+y^2})$
于是$f(0,y)=0=By+o(y)$,得到$B=0$。
$f(x,0)=0=Ax+o(x)$,得到$A=0$
于是$f(x,y)=o(\sqrt{x^2+y^2})$,
但$\dfrac{f(\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n^2})}{\sqrt{(\dfrac{1}{n})^2+(\dfrac{1}{n^2})^2}}=1-\cos1\not\to0$矛盾

 

 

4. 计算 $\int_L e^x\Big[\big(1-\cos y\big)\,\mathrm dx-\big(y-\sin y\big)\,\mathrm dy\Big]$, 这里 $L$ 是曲线 $y= \sin x$ 从 $(0,0)$ 到 $(\pi,0)$

 

解: 令$D$为$y=0$从$(\pi,0)$到$(0,0)$,$D'$为$y=0$从$(0,0)$到$(\pi,0)$,则$L$与$D$构成单连通区域$\Omega$的边界。
于是由格林公式
$原式=\int_{\partial\Omega} \Big[e^x\big(1-\cos y\big)\,\mathrm dx-e^x\big(y-\sin y\big)\,\mathrm dy\Big]+\int_{ D'} \Big[e^x\big(1-\cos y\big)\,\mathrm dx-e^x\big(y-\sin y\big)\,\mathrm dy\Big]$,
$=-\iint_{\Omega} \Big[\dfrac{\partial (-e^x\big(y-\sin y\big))}{\partial x}-\dfrac{\partial(e^x\big(1-\cos y\big))}{\partial y}\,\mathrm dx\,\mathrm dy\Big]+0$
$=\iint_{\Omega} ye^x\mathrm dx\mathrm dy$
$=\int_0^\pi e^x\mathrm dx\int_0^{\sin x} y\mathrm dy$
$=\dfrac{1}{2}\int_0^\pi e^x\sin^2x\mathrm dx$
$=\dfrac{1}{2}(\sin^2 xe^x|_0^\pi - \int_0^\pi e^x\sin2x\mathrm dx)$
$=-\cfrac{1}{2} \int_0^\pi e^x\sin2x\mathrm dx$
最后的那个定积分,分部积分两次可得一方程,解得
$原式=\dfrac{1}{5}(e^\pi-1)$

 

5. 证明函数级数 $\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\cos{nx}}{n^2+1}$ 在 $(0,2\pi)$ 一致收敛, 并且在 $(0,2\pi)$ 有连续
导数.

证: 由$n>1$时,$\left|\dfrac{\cos{nx}}{n^2+1}\right|\le\dfrac{1}{n^2}$,由M判别法得到级数一致收敛。
在任意关于$x=\pi$对称的闭区间$[\pi-p,\pi+p]\subset(0.2\pi)$上考察,
首先每个一般项可导,且$(\dfrac{\cos{nx}}{n^2+1})'=\dfrac{n}{n^2+1}\cdot (-\cos{nx})$,连续。
对于函数$h(x)=\dfrac{x}{1+x^2},x\ge1$有$h'(x)=\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\le0$,
说明$\dfrac{n}{1+n^2}$单调递减趋于$0$。
再注意到$\sin{\dfrac{2n+1}{2}x}-\sin{\dfrac{2n-1}{2}x}=2\cos{nx}\sin\dfrac{ x}{2}$
于是,时有,$\left|\sum_{k=0}^n(-\cos{kx})\right|=\left| \dfrac{1}{2}\dfrac{\sin{\dfrac{2n+1}{2}x}+\sin\dfrac{x}{2}}{\sin\dfrac{ x}{2}}\right|\le \dfrac{1}{\cos\dfrac{p}{2}}$
说明$\left|\sum_{k=0}^n(-\cos{kx})\right|$一致有界。
由狄利克雷判别法知,一般项求导后的级数一致收敛。
又逐项求导定理知,在这个闭区间上,原函数项级数可导,且导函数连续。
对任意 $x\in(0,2\pi)$,只需取$p_x=\min\{\dfrac{x}{2},\pi-\dfrac{x}{2}\}$,在闭区间$[\pi-p_x,\pi+p_x]$做上述讨论即可。

 

 

6. $x_0=1$, $x_{n+1}=\dfrac{3+2x_n}{3+x_n}$, $n\geq 0$. 证明序列 $\{x_n\}$ 收敛并求其极限.

解: 注意到:$x_n>1$,$x_1=\dfrac{5}{4}>x_0$,于是$x_1-x_0>0$。
注意到:$x_{n+2}-x_{n+1}=\dfrac{3+2x_{n+1}}{3+x_{n+1}}-\dfrac{3+2x_{n}}{3+x_{n}}=\dfrac{6(x_{n+1}-x_n)}{(3+x_{n+1})(3+x_n)}$
知$x_{n+1}-x_{n}$的符号都与$x_1-x_0$相同,说明$x_n$单调,
而$x_{n+1}=\dfrac{3+2x_n}{3+x_n}=2-\dfrac{3}{3+x_n}<2$
从而$x_n$有界,$x_n$极限存在,记作$x$,在递推式令$n\to+\infty$得到:
$x=\frac{3+2x}{3+x}\Rightarrow x^2+x-3=0\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$
因$x_n>0$知有:$\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=\dfrac{\sqrt{13}-1}{2}$
注意:在搞定$1$和$2$的上下界后,用上下极限的知识,可以迅速搞定。另外可以由数列的压缩性来证明极限的存在性。

 

7. 函数 $f\in C^2(\Bbb R^2)$, 且对于任意 $(x,y)\in \Bbb R^2$, $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)+\dfrac
{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)\gt0$. 证明: $f$ 没有极大值点。

证: 设$f$在$(a,b)$出取得极大值,则有$f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$。
那么$f(x,b)$在$x=a$的某领域内有$f(x,b)-f(a,b)\le0$,
在这个邻域内使用由中值定理,则存在$x$与$a$之间的某数$c_x$,
使得$f(x,b)-f(a,b)=f_x(a,b))(x-a)+\dfrac{1}{2}f_{xx}(c_x,b)(x-a)^2=\dfrac{1}{2}f_{xx}(c_x,b)(x-a)^2\le0$
得到$f_{xx}(c_x,b)\le0$
令$x\to a$,则$c_x\to a$,得到$f_{xx}(a,b)=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)\le0$
同理可证$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b)\le0$。
于是$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)+\dfrac {\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b)\le0$。矛盾。

注意:利用黑塞矩阵相关手段,会有更简洁的表达。

 

8. $f$ 在 $[a,b]$ 连续, 在 $(a,b)$ 可导, 且 $f(b)\gt f(a)$. $c=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. 证明: $f$ 必具备下述两条性质中的一个:
(1) 任意 $x\in[a,b]$, 有 $f(x)-f(a)=c(x-a)$;
(2) 存在 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f^\prime(\xi)\gt c$.

定义$F(x)=f(x)-f(a)-c(x-a)$
令$F(x)=f(x)-f(a)-c(x-a)$,有$F(a)=F(b)=0$
若$F(x)$恒为$0$,则满足条件(1)
否则存在$y\in(a,b)$,$F(y)\neq0$
现在只需证明存在$\xi\in(a,b)$,$F'(\xi)>0$
由中值定理存在$\eta\in(a,y)$及$\zeta\in(y,b)$满足:
$F'(\eta)=\dfrac{F(y)-F(a)}{y-a}=\dfrac{F(y)}{y-a}$及$F'(\zeta)=\dfrac{F(y)-F(b)}{y-b}=\dfrac{F(y)}{y-b}$
因为$y-a,y-b$异号,故$F'(\eta),F'(\zeta)$中必有一个为正数

 

9. $\mathbf F\colon\Bbb R^3\to\Bbb R^2$ 是 $C^1$ 映射, $x_0\in\Bbb R^3$, $y_0\in\Bbb R^2$, $\mathbf F(x_0)=y_0$, 且 $\mathbf F$ 在 $x_0$ 处的 Jacobi 矩阵 $\mathbf{DF}(x_0)$ 的秩为 $2$. 证明: 存在 $\varepsilon\gt0$, 以及 $C^1$ 映射 $\gamma(t)\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to\Bbb R^3$, 使得 $\gamma^\prime(0)$ 是非零向量, 且$\mathbf F(\gamma(0))=y_0$。

 

证: 记$\overrightarrow{x}\in\mathbb{R}^3$,$(\overrightarrow{x})_i$为$\overrightarrow{x}$的第$i$个分量。
由于${\rm rank}J\mathbf{F}=2$,所以存在一个二阶子式非零,不妨设$\left.\dfrac{\partial(f_{1},f_{2})}{\partial(x_{1},x_{2})}\right|_{\overrightarrow{x_{0}}}\neq0$
考虑映射$\mathbf{f}:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 ,\overrightarrow{x}\mapsto (\mathbf{F}(\overrightarrow{x}),(\overrightarrow{x})_{3})$
那么$\mathbf{f}$在$\overrightarrow{x_{0}}$处的雅可比行列式$\left.\det\left(\begin{matrix}\dfrac{\partial(f_{1},f_{2})}{\partial(x_{1},x_{2})}&\\&1\end{matrix}\right)\right|_{\overrightarrow{x_{0}}}\neq0$
记$a=(\overrightarrow{x_{0}})_{3}$,根据局部的逆映射定理,存在$(\overrightarrow{y_{0}},a)$邻域上的映射$\mathbf{T}$满足$\mathbf{f}\circ\mathbf{T}=\mathbf{\mathscr E}$
因此存在$a$的邻域$I=(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$使得$
\mathbf{f}\circ\mathbf{T}(\overrightarrow{y_{0}},x)=(\overrightarrow{y_{0}},x),\forall x\in I$
令映射$m(t)=a+t,t\in(-\varepsilon,\varepsilon)$
那么考虑$\gamma(t)=\mathbf{T}(\overrightarrow{y_{0}},m(t))$
显然$\gamma\in C^1$且$\gamma'(0)\neq0$,而且$\mathbf{F}(\gamma(0))=\overrightarrow{y_{0}}.$

 

 

10. 开集 $U\subseteq\Bbb R^n$, $f\colon U\to\Bbb R^n$ 是同胚映射, 且 $f$ 在 $U$ 上一致连续. 证明: $U=\Bbb R^n $.

证: 设$U\not=\mathbb{R}^n$,取$x\in \overline{U}\setminus U$,则存在$U$中的点列$x_n$收敛于$x$。

由一致连续性,对给定$\epsilon >0$,存在$\delta>0$,当$s,t\in U,\|s-t\|<\delta$时,$\|f(s)-f(t)\|<\epsilon$

于是存在自然数$N$,当$m,n>N$时$|x_m-x_n|<\delta$,于是$\|f(x_m)-f(x_n)\|<\epsilon$

说明$\{f(x_n)\}$柯西列,设$f(x_n)\to y,n\to\infty$。

得到$x_n=f^{-1}(f(x_n))\to f^{-1}(y)$。

即$x=f^{-1}(y)\not\in U$,矛盾。

 

感谢阅读。

pdf版下载地址:http://vdisk.weibo.com/s/u6Kzj7Q6LuWDh

 

 

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中国数学教学经验的首次“输出”

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文章来源:英中网 http://www.ukchinese.com/News/2014-11-14/9955.html

11月3日起,上海数学教师精英团队来到英格兰的一些小学,传授他们世界领先的数学教学方法,将他们的教学秘诀与英国老师和学生分享,帮助英国学校提高数学教育质量。据悉,这也是中国数学教学经验的首次“输出”。

29名上海数学老师抵英授课

为期三周,以提高英国教师教学技巧

继今年9月,71名来自英国32所数学中心学校的数学老师前往上海师范大学,开启了中英数学教师交流项目的英国老师中国行之后,按照日程安排,上周,第一批29名上海小学数学教师抵达英国,开始了为期三周的数学教学交流工作。

据了解,2015年2月到3月期间,第二批30名上海小学数学教师也将赴英国工作4周。到明年6月,英国的中学数学老师和上海的中学数学老师将进行交流。

此次项目中第一批来到英国的这29位老师,将在挑选出的英国小学工作三周,并与当地数学教学中心的专家们合作。

在这次交流中,英国教师将重点学习上海教师如何使学生掌握重点数学知识,从而为以后的学习打下坚实基础。

英国学校改革部长尼克·吉布(Nick Gibb)十分欢迎中国教师的到来,并表示此次交流项目将会为世界教育领域的相互学习和合作树立一个典范。

据调查发现,小学阶段学生如果学习数学和物理的成绩比周围的孩子水平更高一点,未来进入顶尖大学的可能性也就更高,而且这类小学生未来的收入比其他人要高10%。

“显然,在上海,人人都知道学好数理化,走遍天下都不怕,这也是为什么有那么多校内外老师非常擅长教授数学。而且上海的孩子们很大程度上受益于数学教学的专业性,甚至上海孩子从5岁时就开始学数学。”尼克告诉《英中时报》记者。

他说:“我们的计划是保证在英国的孩子能够接受世界领先的教育,学习在全球竞争环境中生存所必须的技能和知识。”

“上海的数学教育有着世界领先的水平,英国的孩子没有理由达不到这样的标准。这次独创性的教学交流项目将会提高英国教师的教学技巧,也是履行我们提升英国数学教育质量承诺的一部分。”尼克说到。

上海老师推崇“教学至上”

分享教学方法,提供额外辅导

据负责此次中英数学教学交流计划的安娜贝尔·埃利斯(Annabel Ellis)介绍,上海的数学教育一直处于世界领先行列,这次来自上海的老师们将分享他们的教学方法,同时,他们还会对在数学学习中有困难的学生提供及时的额外辅导。

据了解,上海在小学数学教学方面的全方位方法主要体现在五个方面:

首先,推崇“教学至上”,即老师不断强化学生有能力学好数学的信心,鼓励学生努力学习以获得优异成绩。其次,除了让大多数学生能够在课程内容上达到相同的进度外,透过加深知识点来实现学生与学生之间的区别化。同时,为了强化教学质量,老师会根据学生的不同特点,有效地结合教科书和教学方法来设计课程,不仅提高了教学质量,同时也减少了老师的工作量。此外,在教授不同的相关数学概念时,实现流畅的过度,帮助学生巩固了旧知识,同时学习了新的概念点。最后,老师时常进行随堂测验,考察已学习的知识和概念,从而定期评估学生的学习结果和能力,并且判断是否需要加以辅导,使得尚未掌握全面的学生能够跟上进度。

“我们想从上海优秀的数学老师身上,学习如何教导世界级数学方式,以提升英国数学水平。在交换计划的第二阶段,我们将提供英国老师机会去发展他们的教学技巧,跟与目前在领导数学领域的专业人士交流知识。”她说。

“上海方法”适合英国新教纲

英国老师“取经”将广泛运用

早在今年9月,来自英国各个地区的71位顶尖数学老师已奔赴上海与当地的重点学校和大学进行教学交流。在培训中,英国老师已经发现了可以应用于英国教学体系的方法,其中的一些老师已经把学习到的方法运用到他们的实践教学中。”

来自达灵顿地区的St. Augustine's R.C.小学校长,马提娜·马克库洛姆也参与了这次交换项目,她告诉《英中时报》的记者:“这次来到上海的学习经历是极其有价值的。我们在这里见识到了精准的教学设计和强大的教学调研团队,也在数学课上亲眼目睹了学生们的显著进步。”

“我们已经研究了上海数学教学的各个方面,比如数学课的长度,频率和家庭作业的内容以及对数学较差学生的课外补习。”她说。

对于此次中国教师来到英国,她表示:“我们非常高兴又一次与中国同事们一起工作,我们可以互相学习,确立正确的教学策略以保证英国学生接受到最好的教育。”

英国国家数学教学中心主管,查理·斯德普(Charlie Stripp)在接受采访时说:“我对上海小学教授数学的方法印象深刻,并且我肯定英国的老师和学生可以在与上海老师的交流中获益。

“上海教师掌握着非常优秀的数学教学方法,这很适合新的英国数学教学大纲。”

“有些数学教学方法已经成功地在一些英国学校中实施,我确信这些方法将在英国学校中更深入更广泛地运用。”他说。

他还乐观的表示,“我是第一批在上海亲眼目睹这些教学方法有效性的人,所以我相信与上海教师的交流将会成为英国数学教育改革的催化剂,同时也将提高全英学生的数学水平。”

英国新课标数学难度更高

“学好数学将来能挣更多钱”

据悉,英国政府已将数学教育的研究摆在首要地位,因为学好数学对年轻人的未来起着至关重要的作用:它意味着更高的收入,更低的失业率和更多的就业机会。

根据研究调查,将学生先天资质和后天努力相结合,在十岁时获得数学高分的孩子,到了30岁时的收入,将比十岁时获得较低分数的孩子多7%。研究同时显示,数学成绩达到A level的人,未来将比拥有同等天赋却没有获得同样成绩的人,多赚7~10%。

由于数学教育备受诟病,英国今年新学期开始启用“同步世界标准”的教育新课标,其中一个重点就是更加注重小学生的阅读理解、写作和数学教育。新课标针对多个年龄组,对历史、数学、英语、科学、计算器应用、设计及技术等多门学科进行改革。借鉴了世界各地顶尖的教育体系精髓,包括中国香港、美国马萨诸塞州、新加坡和芬兰等地的实践经验。

按照新课标,低龄学生接受难度更高的数学教育;5岁学生将要学会二分之一和四分之一等基本的分数概念;9岁学生将接受12以内乘法教育;二年级学生应在期末前学会20以内的运算,并能理解和运用位数;初中学生的新课标还加强了数学建模和解题能力的培养,其中包括精密机械的内容。

此外,新的课程内容还引入了计算器的课程,将教小学生如何编写代码。按照新标准,5至7岁学生将学习“计算器演算规则的概念”,并能够“创建并调试简单的程序”;11至14岁学龄儿童将研习编写代码和实用多种编程语言去解决计算器问题。

据悉,在中国老师来英国之前,英国教育部已经于9月派出71名数学老师到上海实地“取经”和交流。这些老师在上海停留两周,在上海的小学里观摩优质教学,并与上海的同行们讨论学习方法,有的英国老师在回国后已经开始在教学方法上有所改变。

 
 
 

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贴个诺贝尔奖得主的窗花过新年

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窗花可能是我们生活中用得最多的分形装饰。在圣诞假期未过,新年将至的时节。我们来把数学、诺贝尔奖和剪纸艺术结合一番——把诺贝尔奖的得主们做成分形贴在窗户上试试?哈哈,哆嗒数学网的小编想着都觉得好好玩!

 

第一个中招的必须是爱因斯坦啦!他是1921年诺贝尔物理学奖得主,获奖理由是光电效应规律的发现。其实,爱因斯坦还有三个伟大成就:布朗运动理论、狭义和广义相对论以及质能守恒定律。

 

 

第二个嘛——居里夫人。凭借对放射性的研究,居里夫人两次获得诺贝尔奖,1903年的物理学奖和1911年的化学奖。所以,窗花上放射性的标志不可少啦。

 

 

最后一个,就是他了!薛定谔和他的猫。薛定谔因发现量子力学的基本方程获得1933年诺贝尔物理学奖。当然,和薛定谔同样出名的还有“薛定谔的猫”。

 

 

最后,哆嗒数学网的小编们和大家一起伴随着视频中圣诞节的欢快音乐,共祝来年更美好!

 

 

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数学家们谈数学的昨天、今天和明天

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在陶哲轩、西蒙·唐纳森、马克西姆·孔采维奇、雅各·卢里、与理查·泰勒五位数学家参加完科学突破奖的颁奖典礼之后,他们又来到斯坦福大学参加学术活动。活动有一个与五位顶尖数学家问答互动环节,数学家们与提问者一起讨论了关于数学的有趣的问题。其间,他们还为历史上的数学家排了排座次,非常有意思。

互动讨论,由科学突破奖的出资人之一的尤里·米尔纳主持。

 

 

问:数学是人类的发明吗,还是说他是一种发现?

理查·泰勒: 发现。我非常强烈的感受到我在发现已经存在数学思想。我们之中一些人猜想了一些确定事实,只是证明来要很长时间。

 

问:如果有一天我们联系上了外星文明,他们的数学会和我们一样吗。

陶哲轩:我想是一样的。

理查·泰勒:我同意。但用的语言和符号可能会不同,所以也很难看出数学的底层结构会不会有大的不同。

 

问:数学能被“统一”吗?数学的发现会不会终结?

雅各·卢里:数学在一定意义下已经被“统一”了,几乎所有的数学家都在几十年前确定的一系列公理为基础进行工作。

其它人:不管怎样,数学会不会终结这个问题没有意义——每次进步都会有新问题出现的。

 

问:我们还不知道ABC猜想是否真的被证明了。类似这种情况——就是说我们可能要用相当长的时间来确认一个伟大的数学成果的正确性——会越来越频繁的发生吗?

一些人:的确有这样的情况,但也有很多原因。比如,望月新一提交的证明方法用了一些只有他本人才用的“奇怪”方式。验证佩雷尔曼的庞加莱猜想用了两年,但在完整证明被确定之前,已经有另外好几位数学家为此做了贡献。

马克西姆·孔采维奇:在更早的时候,这个问题做了细化及扫清了障碍。这些更复杂的情形,是数学中重要但被低估的贡献。

 

问:在未来,我们可以用计算机系统来验证每一篇数学论文吗?

陶哲轩:我希望能。或许,再简单点说,我们写论文能不用LaTeX,而是用一些形式数学系统。

 

问:数学的集体学术组织会继续向前发展吗

陶哲轩:现今有一个最好的例子就是数学“博学者”计划(PolyMath)。现在,我们有很多正在合作实例项目,有数十位数学家参与。现在我们有生物论文有超过300人的作者,有物理论文超过2000人的作者。

雅各·卢里:但是,大多数论文是被一个或者几个作者完成了。

 

问:100年或者1000年后,计算机的数学能力会超过人类吗,就像它们在国际象棋中的那样?

陶哲轩:计算机当然会越来越强大,但我还是希望还是由人来做数学,计算机辅助。

理查·泰勒:问题更好的提法是,计算机能不能得到菲尔兹奖。

马克西姆·孔采维奇:我想它能。

雅各·卢里:1000年时间太长了,很难讨论出一个可信的答案。

 

问:最伟大的三位数学家是哪些?

理查·泰勒:我会说高斯、欧拉还有希尔伯特。

陶哲轩:我会加上牛顿和费马。

西蒙·唐纳森:我会加上黎曼和庞加莱。

 

问:在未来数学的研究中,最有用的计算机工具会是什么?

陶哲轩:我真的需要一个搜索工具来搜数学文章。现在我搜到的东西很多时候是没用的。

雅各·卢里:我想看到一个计算机的数学证明验证系统,并且有很好的用户界面,而且不需要100倍我写讨论的时间来验证。能想象吗,25年内,都用计算机来验证数学证明?

 

问:对新入行的数学家们,有什么职业建议?

陶哲轩:多问傻问题。别怕这个问题是不是很简单。

 

 

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分形:找寻纷繁世界的简单模式

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澳大利亚国立大学的一位数学家发明一种新的数学方法,去揭示一些看上去很复杂系统的规律模式。比如,云团、材料裂纹或者股市走向。

 

新方法叫做分形傅里叶分析,是建立在分形几何上的一个新数学分支。

 

分形傅里叶分析或许能帮助科学家们把一些从身体里传出的复杂的信号理解得更好,比如神经冲动或脑波。

 

 “这个方法提供了一个全新的方法来分析信号。”在澳大利亚国立大学分形几何新方向大会工作的迈克尔·巴恩斯利教授说道。

 

 

“分形几何是描述世界本来面貌的数学新分支,他比用一系列直线或者球体描述得更好。在自然界中,直线和球体是很少的。在自然界中,你找到的形状都很粗糙。”

 

 “新的分析方法和传统的傅里叶分析关联很大,而傅里叶分析已经成为图像处理和音频信号过程领域中的必备数学工具。

 

“分形傅里叶分析提供了一种办法,把复杂信号拆分成一些易于理解的构建单元,就像傅里叶分析中把信号拆分成一些光滑的正弦波一样”,迈克尔·巴恩斯利教授继续说。

 

迈克尔·巴恩斯利教授的工作基于19世界末的数学家卡尔·魏尔斯特拉斯的工作的。后者发现了一系列的函数,它们处处连续,但处处不可导。

 

“我们非常好的办法,来把连续函数和可导函数打散成分形。”

 

“我们的身体也是由不断重复的分支结构组成的——呼吸系统、供血系统、皮肤细胞排列,甚至癌症都是分形。”

 

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美国数学会2015斯蒂尔奖得主确定

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2015年的美国联合数学会议将于明年1月10日到13日在圣安东尼奥举行。届时,将颁发美国数学届的开年大奖斯蒂尔奖(Steele Prize)。现在斯蒂尔奖的得主已经提前确定,他们是:

 

斯蒂尔终身成就奖:由来自麻省理工学院的Victor Kac获得 , 他因为“对李理论及其在数学和数学物理中的应用的突破性贡献”而获奖。(哆嗒数学网的小编这里再多嘴一句,代数方向的数学家大概无人不知的Kac-Moody代数就是Kac发现的)。

斯蒂尔开创贡献奖:由来自德州农工大学的Rostislav Grigorchuk获得。他因为其具有广泛影响的论文《有限生成群增长的度及不变均值理论》(Degrees of growth of finitely generated groups and the theory of invariant means)而获奖。

斯蒂尔 论述奖:由来石溪大学的Robert Lazarsfeld 获得。他因为他的专著《代数几何中的正性》(Positivity in Algebraic Geometry)而获奖。

斯蒂尔奖1970年由斯蒂尔捐资设立,美国数学会颁奖。1979年开始每年颁发三个奖,奖励全部数学工作有影响的数学家、一篇具有基础性或长期影响的论文的作者、有重要价值的一本书或一篇综述论文的作者,每一个方面授奖一人。

 

 

 

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学数学只需要知道的8个数

 

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翻译自Business Insider网站的《The Only 8 Numbers You Need To Do Maths》,有改动。

 

原文链接:http://www.businessinsider.com.au/numbers-you-need-to-do-math-2013-11?op=1#zero-1

 

 

数是无限多的,处理数的办法也是无限多的。

 

数学家们常常把数表示在一条直线上,这条直线就是教材上说的数轴。在数轴上取一个点,这个点就代表了一个数。

 

到头来,我们所用的几乎所有的数都是建立在构成数学基础的那些非常重要的数之上。

 

下面介绍的的八个数,是你构建数轴必须的,也是你做其它和数相关的事需要的。

 

 

“0”:一切从“零”开始

“0”表示没有。“0”也是我们构造数系必需的一个数。当我们要写的数不止一位数时,“0”就是一个占位符号——“0”让我们清楚地知道2块钱和20块钱的区别。

 

“0”本身在数学时也是至关重要的数。“0”是“加法单位元”——任何数加上“0”得到的还是那个数本身:3+0=3。“0”的这个性质也是它在算术和代数中的核心性质。“0”在数轴中间,把数轴分成正半轴和负半轴两部分,而且它还是我们构建数系的起点。

 

 

“1”:只有零我们做不了太多,于是我们有了“一”

“0”是“加法单位元”,而是“1”是乘法单位元——任何一个数乘以“1”得到的数都是那个数本身:5×1=5。

 

有了“1”,我们就能开始构建我们的数轴了。特别的,我们用“1”来得到自然数:0,1,2,3,4,5,等等。我们不断地在其自身上加上“1”来得到不同的数:2就是1+1,3就是2+1,4就是3+1,不断下去,直到无穷。

 

自然数是我们最基本的数。我们利用它们来数东西。同样,我们可以用自然数来做算术:两个自数然,它们相加或者相乘,能得到别的自然数。 一些时候——当然不是任何时候——我们也能用减法和除法得到别的自然数:10-7=3以及18÷2=9。只需用“0”、“1”和基本的算术运算,我们已经能做得很不错了,很多数学也只用到了自然数。

 

 “-1”: 自然数已经非常好了,但它能做的事还是很有限。

刚才说过,不是任何两个自然数相减都能得到自然数。如果我们所有事都围绕自然数来做,我们无法解释像这样一个式子:3-7。

 

在数学里,有一种精彩的事故——当遇到类似局限时,我们可以扩充我们的系统来打破这样的局限。为了让每个减法有意义,我们加入“-1”来扩充我们的数轴。“-1”能生产出所有负整数,因为“-1”与任何数相乘能得到那个数的相反数:-3就是-1×3。带来负整数的同时,我们也解决了刚才减法的问题:3-8=-5。把正整数、零和负整数放在一起,我们得到了整数,而且我们在任何时候都可以将两个整数做减法,得到的还是整数。整数为数轴提供了很多锚点。

 

负数对欠款的表示很有用。如果我信用透资取了500块钱,于是我可以认为银行账户的余额为-500元。负数也让我们在一些数量表示时,使用比零小的数成为可能,比如说气温。在冰冷南极,平均气温能达到-40°C左右。

 

 

“1/10”:整数适用于描述完整的事物,但对于一些事物我们需要讨论它的一部分。

同样的,整数的算术体系同样不完整——即便我们任何时候把两个整数做加、减、乘还是得到整数,但是有时候,两个整数做除法,我们得不到整数。如只有整数,9÷5将没有意义。

 

为了应付这个情况,我们在数轴上加入“1/10”,或者说“0.1”。有了“0.1”,我们对他做乘方能得到0.01,0,001,0.0001,等等。这样,我们能表示分数和小数了。9÷5就是1.8。两个整数相除(被除数不能为零)能得到小数。它们有的是有限小数,像1.8,有的是循环小数,像1÷3=0.33333……,无限个3循环下去。这种形式的小数,我们叫有理数,他们能表示成两个整数的比值,即分数。有理数在算术运算下已经是封闭的了——对任何两个有理数做加、减、乘、除得到的还是有理数。

 

有理数让我们能表示出整数之间的数,也能表示出一个整体的一部分。比如我和我的三个朋友要分享一个大蛋糕,我们把蛋糕切了,每人拿到蛋糕的1/4,0.25或者25%。有理数帮助我们开始填补数轴上整数与整数之前的缝隙了。

 

“根号2”:有理数打开了无理数的大门,因为有的数不能表示成整数的之间的比。

一个数的算术平方根是这样一个非负数,即它的平方等于原来的那个数。于是9的算术平方根是3,因为3² = 3 x 3 = 9。我们能为每一个正数找到算术平方根,只是有一些,他们的算术平方根有些复杂。

 

2的算术平方根就是这样复杂的数。它是一个无理数——他的小数展开后,不会终止,也不会循环。“根号2”展开的数字是这样的1.41421356237……看起来规律很奇怪和混乱。实际上,大部分有理数的算术平方根都是无理数——而一些例外,比如说9叫做完全平方数。平方根在代数是非常重要,它们是很多方程的解。比如说“根号2”是x²=2的解。 

 

有理数和无理数放在数轴上,我们就能铺满整个数轴。有理数和无理数一起,我们称为实数,它们是在各种计算中最常用到的数。现在,我们完成了整个数轴的构建,我们来看看一对非常重要的无理数。

 

“π”: 现在我们来增加维度,到平面和立体几何中去

圆周率“π”——圆周长与直径之比——可能是几何中最重要的一个数。“π”展示了一些关于圆和球的基本关系——半径为r的圆的面积是πr²,半径为r的球的体积是4πr³/3。

 

“π”在三角函数也有重要性质。2π是基本三角函数正弦函数和余弦函数是最小正周期。就是说,函数值在每一个2π长度的区间上不断重复。这样的函数用于描述周期变化或者不断往复的事物,比如说声波。

 

和“根号2”一样,“π”是一个无理数。它的小数展开不会终止,也不会循环。开始的几位小数大家非常熟悉, 3.14159……,数学家用计算机,通过夜以继日的计算,面把“π”展开到了10万亿位以后,但我们大多时候只需要前面很少的几位,去得到一些精确的结果。

 

“e”: 用它来计算复利

自然对数底,又叫欧拉数,用“e”来表示。“e”是指数函数的底数。指数函数用来表示一个事物数理倍增或者衰减的过程。如果一开始两只兔子,一个月后有了4只,两个月后有了8只,三个月后有了16只。推广下去,n个月后,有了2n+1只,——n+1个2自己乘起来。

 

“e”是无理数,展开是2.71828……,但和所有无理数一样,小数点后面的数字永远不会终止也不会循环。ex叫做自然指数函数,他是其它指数函数的基准。原因有些许复杂,因为ex很特别。如果你们学过微积分,你会知道ex 的导数还是ex。就是说对每个x,函数ex的在点x的增长率正好是函数值本身——比如x=2,那么ex在这点的增长率是e²。这是只有ex才具有的唯一性质,使得ex在数学上有着非常漂亮的操作性。

 

ex在大部分指数过程中很有用。有一个常见应用就是计算复利。初始的本金是P,年利率是r,那么在t年投资回报A(t)可以表示成公式A(t)=Pert

 

“i”:现在,虚数来了

我们之前提到的内容,我们知道每个正数都能计算的算术平方根,所以我们来看看对于负数会发生什么。负数在实数范围内是没有算术平方根的。两个负数相乘得到的是正数,所以任何实数的平方都是不小于零的,即没有一个实数的平方是负数。但是,我们之前也说过,当遇到局限时,我们可以扩充我们的系统来打破这样的局限。

 

所以,我们遇到的局限是“-1”没有平方根,于我们就傻傻地问自己,如果有会怎么样?我们定义了“i”,叫做虚数单位,作为“-1”的平方根。然后,把所有的数作加、减、乘、除,想办法让这些结果有意义,于是我们把实数扩展到了复数。

 

复数有着很多让人惊奇的性质和应用。我们把实数用一条直线表示,我们也能把复数用一个平面表示,横轴表示实数,纵轴上的点都是虚数,用来表示负数的平方根。每个多项式方程至少有一个复数解,这是一个非常重要的结果,数学家们称为代数基本定理。在几何上,复平面能导出很多让人吃惊和漂亮的结果,在物理的电学和工程中也有很多应用。

 

 


 

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科普:博雷尔分层与在实变函数里的一些应用

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最近,哆嗒数学网的一位小编成为百度实变函数吧的吧主。发现很多初学者都会提一些新手问题,而很多问题都和我的这篇文章要讲的博雷尔分层(Borel Hierarchy)有关系。

 

哆嗒数学网温馨提示:这篇文章需要学完同学有数学分析的基础。本文的目的诣在于帮助各位实变新手梳理一套思考方式。

 

博雷尔分层是什么东西呢,它把博雷尔集(Borel Set)按一定规则“排队”的办法。就像我们有一堆书,要把他按一种分类方式放进一个高高的书架,第一层是哲学,第二层是数学之类,这样放好之后,以后需要用的时候,只要告诉这书是在哪一层取的,比如说第二层,恩,我就能知道它就是数学书,书里一定有很多数学定理之类,使用起来就很方便了。

 

一般实变书没在定义博雷尔集的时候,只说博雷尔集所组成的集族是由所有开集生成的σ代数,即是由开集出发,不断地做可数个集合之间交、并、补运算得到的结果还是在集族里。注意所有博雷尔集一定是包含所有开集的最小σ代数,所谓最小是指在集族包含关系的最小,就是说如果还有一个族是包含所有开集σ代数,那么这个集族一定以博雷尔集族为子集族。比如,一个集合的所有子集组成幂集集族也是包含所有开集的σ代数,但不是最小的,这意味着存在一个集合,它不是博雷尔集,这个在后面会讲。

 

这里顺便说一句,理论上应该证明一下这样的最小的σ代数是存在的。证明过程大致是这样,幂集集族说明了包含所有开集σ代数是存在的。而任意多个所有开集σ代数的交起来还是所有开集σ代数,于是,我们把所有包含所有开集σ代数交起来,就得到了那个最小的博雷尔集簇。

 

现在,我们要来做书架来放书了,来说我们的博雷尔分层。

 

每一层,我们分为两部分,说成一左一右吧。

 

第零层,把所有开集放左边,并把左边部分取个名字叫$G_0$,然后把每个左边的开集取补集放入右边,即所有的闭集放成了右边,右边就叫做$F_0$吧。这样第一层的东西就放完了。

 

第一层,把$F_0$里所有的东西之间做所有可能的可数并,再放入左边,取名$G_1$,同样的,我们把G_1里的每个成员做补集,放入右边,定名$F_1$。这样放完第二层。熟悉实变函数的人知道,第二层的左边其实就是$F_σ$集,而右边是$G_δ$集。

 

这一直做下去,一直要做完每一个可数序数(Countable Ordinal)。可数序数的概念说起来有点话长,这里请读者自行wiki吧。

 

对于一个后继的可数序数$ξ+1$,第ξ+1层左边的东西就是$F_{ξ}$里东西之间做所有可能的可数并,并定名$G_{ξ+1}$,而再把$G_{ξ+1}$里的每个成员做补集,放入右边得到$F_{ξ+1}$。这样$ξ+1$层放完。

 

而对于一个极限的可数序数$ξ$,那边第ξ层左边的东西,就是把之前所有比$ξ$低的那些合在一起,即并起来,叫$G_ξ$。右边同样是把左边的每个成员取补集,叫做$F_ξ$。

 

这样,我们就把博雷尔集分成$ω_1$层,这里$ω_1$是最小的不可数序数。

 

还是要啰嗦一句,我们还需要说明的事,这样的分层的确是一个不漏,且无任何额外添加的把所有博雷尔集分完了。无额外添加好说,因为每一层的东西,无非是对前面的东西做可数并或者补运算。对于一个不漏,我们这样说明,注意到一个很有趣事,对于第$ξ$层里的左边的$F_ξ$和右边的$G_ξ$,它们里面成员是分别包含了比他低层里的所有成员的。所以任意在这个分层里取可数成员,一定能找到一个它们存在的一个共有层次,于是他们之间做可数并或者补运算不会越过$ξ+1$层。这说明,把所有层的成员凑在一起,它们构成一个σ代数,所以一定包含博雷尔集族(回忆一下前文说过的,博雷尔集族是最小的σ代数)。

 

于是我们把所有的博雷尔集放到一个分层良好的“书架”里。

 

分层好了,我们来看看一起实变的简单结论。

 

结论1: 所有博雷尔集有$\mathfrak{c}$个,这里$\mathfrak{c}$是连续统基数,即实数的基数。

 

用超限归纳法可以证明,每一层的成员个数都是$\mathfrak{c}$个,所以所有博雷尔集的势不会超过$ω_1·\mathfrak{c} = \mathfrak{c}$ 。而每个单点集都是博雷尔集,所以不会少于$\mathfrak{c}$个。再由伯恩斯坦定理,得到基数正好为$\mathfrak{c}$。

 

由结论1,能得到这个推论1。

 

推论1:存在一个不是Borel集的可测集合。

 

因为康托集(Cantor Set)是零测的基数为$\mathfrak{c}$的集合,而零测集的子集都是零测的。且零测集都是可测的。于是康托集有$2^\mathfrak{c}$个可测子集,而$2^\mathfrak{c} > \mathfrak{c}$。而Borel只有$\mathfrak{c}$个,于是得证。

 

结论2:对于可测函数$f$和博雷尔集$B$,$f^{-1}(B)$可测。

 

注意到这些事实$f^{-1}(A∪B)=f^{-1}(A)∪f^{-1}(B),f^{-1}(A∩B)=f^{-1}(A)∩f^{-1}(B),f^{-1}(A^c)=f^{-1}(A)^c$。利用超限归纳法,对每一层的博雷尔集进行归纳即可。

 

 

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中国教授进述数学故事首获美国数学会大奖:还是北大!

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2015年的美国数学会年会将于明年1月10日到13日在萨斯州圣安东尼奥举行。关于该学会2015年度的各项大奖也在陆续揭晓。由于美国在数学界的领军地位,所以其学会的各项颁奖也及其受人关注。

 

这一次,美国数学会首次将学会大奖颁发给在中国工作的数学家。来自中国北京大学的宗传明教授以及美国密歇根大学教授Lagarias一起将被授予莱维·柯南特奖。颁奖仪式将于2015年1月11日举行。

 

宗传明与Lagarias的获奖工作——文章《神秘的正四面体堆积(Mysteries in Packing Regular Tetrahedra),系统评述了正四面体的堆积理论。这个问题的追溯也的确够得上神秘。2300多年前古希腊哲学家亚里士多德认为,所有的正多面体都被神赋予了灵性,而正四面体应该和正方体(正六面体)一样,通过无缝隙的拼接,可以塞满整个空间。但这是亚里士多德犯下的又一个错误,这个论断虽然饱受质疑,但在1800年以后的16世纪,才被严格证明是错的。在之后的研究中,关于这个问题不断有人取得进展,也有断有人犯错。犯错的人当中,也不乏数学大师,比如闵可夫斯基。1900年,数学大师希尔伯特在第二届数学家大会上提出著名的23个问题,其中第18问题是:“确定一个给定几何体的最大堆积(或定向堆积)密度”。而正四面体的堆积问题,是这个问题的一部分。2006年,这个问题有了一个里程杯式进展,有数学家发现能用四面体堆积,能填上72%的空间。而本身这个堆积方式还是比较松的,那么还有填补更多的堆积方式吗?或者说最大填补的堆积方式是什么?

 

 

宗传明与Lagarias两位获奖者的文章详细讲述了上面的故事。文章漂亮的讲述了这一古老问题魅力和戏剧性以及与我们世界错综复杂的联系。

 

据了解,莱维·柯南特奖设立于2001年,每年颁发一次,旨在奖励过去5年中发表于《美国数学会纪要》或《美国数学会通讯》,评述数学领域重要研究方向或报道重大科研成果的最杰出论文作者。过去的14届获奖者中,多位还曾获得过菲尔茨奖、沃尔夫奖、奈望林纳奖等其他重要奖项,其中就包括在中国人气极旺的陶哲轩。

 

 

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米老鼠陪你学数学,迪士尼进军互联网教育!

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米老鼠在数学里出现?当然,还会出现在在科学、艺术、阅读里,甚至他还会来教你社交技能。

 

正当国内互联网教育逐渐兴起的同时,引来腾讯、网易、搜狐等各巨头纷纷加入的同时。国外教育界也在经历这场“革命”。这次,哆嗒数学网小编给你介绍的是世界娱乐巨头迪士尼。

 

迪士尼上线了一个新的学习工具的产品线,用来辅助家长帮助3到8岁孩子们的课外学习。其旗下的品牌Imagicademy首先从一系列移动应用入手,然后逐步扩展到它的其它产品,诸如书籍和互动玩具。再晚些时候,针对的年龄层次会提高。

 

迪士尼的首款应用,会在12月11日在iPad上发布,应用名称叫做《米奇魔法数学世界》(Mickey's Magical Math World),用于教孩子一些基础的数学知识,比如数数,图形,逻辑和排序。应用中有五个扩展包,我们熟悉的米老鼠和他的朋友本会在这些扩展包中出场,比如米奇的女朋友米妮,以及笨狗高飞。应用的基本版是免费的,而扩展包是每个4.99美元,或者19.99美元得到全部五个。

 

 

迪士尼进入学习应用领域可谓是在教育类应用最热门时候。移动设备的增长越来越快,越来越多的父母们也愿意让自己的孩子使用移动设备。然而美国儿科学会建议,儿童每天花在类似电视、电脑、手机等娱乐媒体的时间不要超过2个小时,而这两个小时应该是接触“高品质”的内容。

 

迪士尼是世界上最大的儿童读物出版商,他们希望他们的应用内容能在娱乐和学习中找到平衡点。迪士尼坚信他们的品牌认同度及应用的品质能让他们在超过十万的儿童教学应用中鹤立鸡群。

 

其实在教育应用领域内,并不缺乏大品牌,比如说“芝麻街”。但迪士尼消费产品部门总裁鲍勃·查伯克仍对自己的产品充满信心,他说:“家长们向我们公司说,在列表中的数千个应用中找到一个高品质的太难了,好不容易找到一款合适的,但应用中又没有一个系统化的进程,让你进入一下阶段和下一课程的学习。”

 

 

查伯克继续说:“不同的是,我们提供的课程是系统化全方位的。而且,我们会用孩子们喜欢的人物和故事来讲述课程。”

 

数学的应用上线后,会很快上线其它学科的课程。比如科学、艺术、阅读、社交技能。

 

 

我们来听一位妈妈对这样应用的评价:“这当然很有用!现在的孩子太难管了,但是如果你说你要拿走他手上的iPad的话,情况则完全不同了。”

 

 

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数学告诉你:《星际穿越》的B计划也是悲剧的

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《星际穿越》在2014年11月7日在美国各大院线公映,11月12日登陆中国大陆。应该说这是一部非常不错科幻电影,无论从视觉效果,揭示的主题,还是从科幻本身的硬度来讲,都是值得称道的。

影片讲的是科幻故事里的老生常谈。地球快完了,人类必须搬家,要找一个新星系,因为太阳系已经没有用了。要瞬间到达别的星系不是件容易是事,但从虫洞过去就能很快。一切关于虫洞,以及虫洞对面的事都是未知的,也许充满着危险,所以一定是要勇敢人。于是乎,主角们进行了一段勇敢的故事。

然而,所有的科幻艺术作品,只要你认真起来,它一定是会“输”的。公映以来,无数的“科学家”们开始吐嘈电影里的设置。“为什么穿越虫洞还能活着?”,“半米深的水面何来千米高的巨浪?”,“什么枯萎病毒如此牛X,能传染地球上所有植物?”。

OK,都很有道理!哆嗒数学网小编也来加入吐嘈,吐嘈的对象是影片里的B计划——PLAN B。 B计划是说,如果没有能力把大量的地球人带到新的星系生活,那么就把飞船上的5000个受精卵,通过“代孕”方式在新的星球上进行“孵化”,达到殖民目的。

为什么要带5000个那么多?影片解释是为了遗传多样性,要有足够多的个体才能保证遗传多样性。很不错,很专业,考虑很周到!

这里,我不吐槽船队只带了一个女人过去,如果这个代孕体“孵化”不出新的女人(宫廷剧里就有很多王的女人,好几胎都“刷”不到阿哥,因而郁闷得要死,这里需要“刷”足够多的格格),得到新的代孕体怎么办。就算有一个技术,影片没有交代,就是人类可以像《星际争霸》游戏里的虫族的母巢那样,一下子把数千个受精卵“爆”成“成品”。那么,那5000个成品,恐怕也是不够的。

卡梅隆·史密茨是美国波特兰州立大学的天文学家。他做了一项研究,计算了如果人类要做星际殖民,要带多人合适,才能保证遗传多样性。他的研究结果发表在今年4月的《天文学报》(Acta Astronomica)上。注意,这是一个严肃的学术杂志。

答案是,1万人是下限,如果能带4万人以上是最好不过的。史密茨用的方法是数学建模模拟,设定好非常非常多的与之相关的随机变量,然后用著名的数学软件Matlab分别对带150人、500人、2000人、10000人及40000人的情况进行模拟。除40000人的那情况只模拟一次外,其它情况都每种模拟10次(因为40000人的那情况模拟时间实在太长,需要18小时)。摸似的繁衍时长是300年。

从上面的图表看出,4万人的表现是最棒的,多样性被100%的保持着,而1万人也还不错。如果你觉得2000人的那个曲线还行话,有件事必须告诉你,你得考虑一些极端情况——灾难。诸如地震之类的天灾,或者人为事故,比如把什么引爆了都可能让人口骤然减少,下面的两个图,就是遇到灾难的情况。

再把人口少的放大了看看。

总之,在《星际穿越》里,还好有个书架后面的四维空间,要不人类挂定了。所以小墨菲对父亲说的一句话的确是最好的选择:“留下!Stay!”。

 

 

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大数学家关于数桔子的“重要发现”

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巴尔戈瓦是2014年“数学诺贝尔奖”——菲尔兹奖的得主。他在获得此奖后,曾和周围的朋友兴致勃勃聊起他的数学成长的心路历程。其中,巴尔戈瓦提到了一个他孩提时代的“重要发现”,引起了我们的思考。

那年,巴尔戈瓦才8岁,应该还是小学生。他和他妈妈去超市买东西。超市里的一堆一堆的桔子引起了小巴尔戈瓦的兴趣。桔子是这样堆放,最顶层有1个桔子,第二层有4个拼成一个正方形,第三层有9个,同样拼成正方形。这样,很多层的桔子就堆成一个金字塔形状的一座座“小山”。

   小巴尔戈瓦心想:如果一座“小山”有n层,那么这座“小山”是由多少个桔子组成呢?8岁的巴尔戈瓦当时没有想到答案,但他一直对这个问题保持着好奇,一直努力地试图解决他。终于在“研究”数月之后,他独立的找到了答案——n(n+1)(2n+1)/6。

   巴尔戈瓦的“重要发现”其实就是每个中国中学生都会学的平方和公式。但每次巴尔戈瓦回忆这个故事的时候,总是怀着喜悦与幸福。他说:“这是一个让我非常兴奋的发现。这个虽然不是什么新发现,但他是我靠自己的能力完成的第一个数学问题,而那时我才8岁。在那之后,我在研究中思考问的方式和解决那个问题的思考方式是相同的——把一些关于数字的对象理解成特定空间的图形。”

   于是我们哆嗒数学网小编们又想,如果这故事发生在中国,会不会有人允许小巴尔戈瓦在这方面耗费几个月的时间。另外,剧本会不会变成下面这样:

   巴尔戈瓦:“妈妈,这堆桔子有多少个,怎么算呀?”

   妈妈:“额……这个,明天你去问你数学老师吧。”

   第二天。

   巴尔戈瓦:“老师,这堆桔子有多少个,怎么算呀?”

   老师:“恩……这个你以后会学的,现在你别问了。对了,你这回考了多少分?”

   巴尔戈瓦:“……”

 

 

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数学老师的黑板同学你不要擦

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注:此文由苏家宝发表于科网,有些许改动,原文《我听姜伯驹先生讲数学》

1994年9月初,我进入中科院数学所念博士。

开学不久,我便到北京大学旁听了一学期姜伯驹先生开的课《同调论》。

20年过去了,姜伯驹先生讲课的具体内容,我听了个大概,听了当时就忘,因为原来没有学过么。但是姜伯驹先生讲课时一些很独特的风格,我记得十分清楚。

20年前,北大东门的那几座新大楼还没有动工修建,姜伯驹先生的上课地点在文史楼,离未名湖不远,早上7点40分就开始上课。

姜伯驹先生的板书写的很工整、很漂亮,同调的长正合列与交换图,写的如同脱氧核糖核酸分子链(DNA)般漂亮,还用不同的彩色粉笔把箭头或者重要的地方标的十分醒目。上课前,姜伯驹先生先把本次课所留的作业整整齐齐地写在黑板靠右边的地方。

北大教室的右上角,贴有一张爱心图,上有几个大字:请帮老师擦黑板。

我当过中学教师多年后才又走进大学,知道在上课中间,最好不要擦黑板,因为老师前面在黑板上写的内容,后面讲课可能要用到。

有一次课间休息,姜伯驹先生出去了,一个不知情的学生献了爱心,要擦掉姜伯驹先生的板书,我看见了,忙挡住了,但已经擦掉了一块,姜伯驹先生回来,看见了,笑了笑,又把那个学生擦掉的部分补了回来。

我还惊奇的是,上完课,学生们大多自顾自地走了,姜伯驹先生把黑板擦了之后才离开教室,而作业题,他没有擦掉。

后来,还是有学生长了眼色,课后主动帮姜伯驹先生擦黑板,其中自然有我。

有一次天下大雪,早晨起来,我骑着自行车,冒着大雪去听课,雪厚,我还摔了几跤。我心想,雪这么大,不知课还上不上。等我骑车快到了教室的时候,看见姜伯驹先生冒着大雪,骑着破自行车,按时到了。那次学生来的少。

我后来才知道了姜伯驹先生在中国数学界的学术地位。

一个真正的数学大师,对于讲课,是那么认真,不光讲的认真,而且写的认真,让下面听课的人,在听枯燥的数学当中,有赏心悦目的感觉!
作为中国的顶级数学家,姜伯驹先生以行的方式,展示了一个大学教授的风范。

姜伯驹先生没有用言语去说教和指点别人该怎么去做,他自己在做的过程,就是在教别人该怎么去做,就看下面坐的人是不是有心去学。
能不能在看别人做的过程中学到好的有用的东西,就是世界观的问题!

一个人,如果看了别人如何做都不学的话,就别指望他能听了别人的话去学。

我认得姜伯驹先生,姜伯驹先生到现在并不知道我是谁。我用不着去为讨好姜伯驹先生而写此文,我只是记录了我的见闻。早在很多年前,我就和姜伯驹先生的博士我现在的同事赵学志教授在聊天时说过我当年听他导师的课时的有趣见闻,而且不止一次。

除了20年前第一次走进北大的教室后,我和姜伯驹先生打招呼说过话,以后我再没有和姜伯驹先生说过话,即使他来首都师范大学做演讲或者参加一些公开的学科研讨活动。

我听过姜伯驹先生于2007年12月份在首都师范大学做的有关“手性数学”的学术演讲。我压根就没有听懂,就记住了一个非常有趣的情节。
为了很形象地打比方,姜伯驹先生当场解下了裤带当作工具做演示,做完后接着又系上了裤带,还提了提裤子。能盛100多人的大教室里发出了一阵会心的笑声。

我记得姜伯驹先生好像并没有笑,整好衣服后,认真地继续着他的演讲。

从细节中学习是我的长项。我从姜伯驹先生的课上学到的东西,用到了我的教学生活中。

我上数学课,无论是本科生或者是研究生的课,板书写的很整齐,但比不上姜伯驹先生。我从不允许学生擦黑板,自己也基本上不擦黑板,如果黑板够用的话。

不好意思的是,课后我就不擦黑板了,四大块写得满满的,太多。

一个大学教授,面对的是将要走上社会的年轻学生,那该怎么样在课堂上体现“学为人师,行为世范”呢?不是说,而是做,做得怎么样?!

一个即将步入社会的年轻人,在大学的课堂里,该学的仅仅是知识吗?是不是该在似乎微不足道的细节中汲取对自己成长有益的营养呢?!

 

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马云:“陶哲轩们”闯进崭新世界

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科学界最“土豪”的奖项莫过于科学突破奖了。此奖项由谢尔盖·布林与安妮·沃西基夫妇、马云与张瑛夫妇、尤里·米尔纳与茱莉娅·米尔纳夫妇以及马克·扎克伯格与普莉希拉·陈夫妇共同出资创立,奖励用于表彰科学家以及激励人们从事科学工作。有三个方向——生命科学、基础物理及数学——的科学家将获奖,每位得主奖金300万美元。

 

2015年度科学突破奖颁奖盛典于2014年11月9日在美国加州的美国国家航空航天局(NASA)举行。共12位科学家或团队获奖,于是总奖金达到3600万美元,其中获得数学奖的得主中,有大家熟知的著名华人数学家,2006年菲尔兹奖得主陶哲轩。另外,为鼓励物理学术新人,还增发了物理“新锐”奖,共有7人获得,奖金10万美元。

 

颁奖盛典邀请了科技界、商界、娱乐界以及学术界中各自领域中的大人物到场助阵。其间,克里斯蒂娜·阿奎莱拉还演唱了她的招牌曲目《美丽如我》(Beautiful)。

 

最后,我们和哆嗒数学网的小编一起来看看奖项的出资人们都说些什么吧。

 

扎克伯格说:“我们世界面临着很多基础性的挑战,有很多出色科学家、研究学者以及工程学家在解决它们。今年的科学突破奖的得主的发现能帮助人们治愈疾病并推动世界前进。他们理应受到英雄般的对待。”

 

尤里·米纳尔说:“大多的时间被我们用于处理世俗的事情。今晚,让我们来思考生命分子、素数结构以及宇宙命运。这是让每个人振奋的时刻。”

 

马云:“我们为这些出色的科学家颁了奖,他们不接受我们所知的传统观念。他们怀疑一切,他们闯进崭新世界。”

 

据悉,此次颁奖盛典的录像已于11月15日在美国的探索频道和科学频道播出,以及11月22日在英国广播公司(BBC)向全球转播。

 

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我的朋友——几何学家陈省身①

 

作者 安德烈·韦依著

译者 杨振宁

 

这是一篇极难得的文章,文章写的近代的微分几何大家陈省身。作者是可与陈省身比肩而立的数学大师 Weil,而译者是陈省身教过的最得意的一名学生,首位诺贝尔奖华人得主杨振宁!

 

本文由哆嗒数学网转发,原文地址

 

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原文见《自然杂志》第2卷(1979年)第8期,479-480页。这是一篇极难得的文章,文章写的近代的微分几何大家陈省身,作者是可与陈省身比肩而立的数学大师 Weil,而译者是陈省身教过的最得意的一名学生,中国首位诺贝尔奖得主杨振宁!杨振宁在最近还写过一篇追忆陈省身的文章菩萨、量子数与陈氏级,其中提到了Weil。 杨先生这里给出的是节译,全译本在此可以找见,也收入到《陈省身文选》(科学出版社,2011年)。

 

 

为了庆祝陈省身的成就,他的朋友和同事们计划出版这本选集。他们要我写一篇文章。这是我不肯随便推却的荣誉。我其实不能对他的工作给以恰当的评价,虽然我相信未来的微分几何史一定会认为他是E.嘉当[3]的继承人。我所能做的是写一点我们长期交往的回忆——同他的交往,不管学术或私人方面, 都是我一生中最可宝贵的经历之一。

 

 

我必须承认,当1942年《数学评论》杂志要我评论他的一篇关于积分几何的文章时, 他的名字对我是陌生的。其实在1936 ~ 1937年间我曾在巴黎见过他,那时他在E. 嘉当那里做研究作。不过当时我们没有什么往还,所以后来我不记得他了。我对他的那篇积分几何的文章印象很好。虽然我也指出文章中有一二弱点,总的来讲它把布拉施克④学派的积分几何工作推进到了更高的阶段。我尤其对文章中的深刻见解有很好的印象。我把这些印象写在评论里面,而且和H.韦尔[5]讨论过。恰好那时维布伦⑥ 已经知道陈在射影微分几何方面的工作, 他和韦尔正在考虑请陈到普林斯顿高等研究院来。这在战时情形下不是一件简单的事情。当时我自己只是一个在美国的难民, 不能对实际请陈的事有多大贡献,只向韦尔竭诚赞助这计划。我对1943年把陈请到普林斯顿这件事作了这一点推动工作,这是一直使我很高兴的。

 

 

他1943年到普林斯顿以后, 离我的工作地点不远, 所以他常常来访问我。我们很快发现我们有很多共同的兴趣。我们都对E.嘉当的工作和卡勒书中对嘉当工作的介绍有极深的印象。我们都曾在德国认识卡勒。我们都对高斯一邦尼特定理感兴趣。我们都开始认识纤维丛⑦概念在很多几何问题中的重要性,虽然这些重要性当时还不很明显。更重要的是我们似乎对这些问题,和对整个数学,有许多共同的观点。我们都企图能不管别人的看法而直接向每一个问题从根上下功夫。

 

 

陈和我都对当时数学界关于示性类的概念很有兴趣,虽然当时对于示性类的知识还是很少的。在他第一次访问我时我们就谈到了这些问题,以后又一再谈到这些问题。大家都知道,不久后示性类的概念被陈的工作整个地改观了,先由于他对高斯一邦尼特定理的证明,然后通过他对复结构和准复结构的基本发现。这些都是历史了,我不想多谈,只想指出陈对高斯一邦尼特定理的证明第一次用了内在的丛,也就是切丛,因而把整个问题大大地明朗化了。

 

 

1944年底我去巴西,他于1946年回到中国去和他的家庭团聚。我们在分开的几年内没有通过多少消息。我自己对纤维丛在代数几何中的应用通过他在复流形上的工作而逐渐成熟起来。

 

 

1949年夏他全家来到芝加哥,我们成了邻居,住在芝加哥大学教员公寓。以后十多年的时间是他和我的工作都颇有成果的一段时间。纤维丛、复流形、齐性空间都是我们当时研究的对象。记得我们在埃克哈特大楼我们的办公室中讨论,在我们家中讨论,在附近公园中一面散步一面讨论,在一切时候讨论。我们与同事、与研究生的关系都很好。美国和其他国家的数学工作者经常来芝加哥大学,作短期或长期的访问。爱德· 斯帕尼尔当了芝加哥大学教授以后, 我们又有了一位拓扑学同事。陈和我在那十几年内的工作都充分表现出当时芝加哥大学数学系活跃的科学研究空气对我们的影响。

 

 

后来他和我都由于各种原因,包括气候和居住环境方面的考虑,离开了芝加哥。象我们曾戏言的一样,他迁往伯克莱离中国近了些,我迁往普林斯顿离法国近了些。我们的友谊并没有因此而受到影响,但是我们彼此间工作的接触自然地减少了,虽然我们仍设法不时见面。他与他的中国同事们保持了联系, 通过他的关系,我在1976年秋被邀请访问了中国——一次给我极深印象的访问。我不想对这些私人往还的事再多叙说,也不想对陈在近十五年间的工作加以评述(它们的价值是众所周知的,我不是最有资格讨论的人) , 只想对几何在数学中的地位——对今天的数学和未来的数学——讲一些意见。

 

 

显然,微分几何中的一切都可以翻译成分析的语官,就象代数几何中的一切都可以翻译成代数的语言一样。有时候数学工作者,因为他们的自然喜爱,或者错误地为了“ 严谨” ,太注意翻译后的语言而忘记掉了原文。虽然这种办法也曾偶而引导出重要的结果,但是如果没有真正几何学家出来挽救的话,几何题材的形式化处理一定会把这门学科扼杀掉。历史上的蒙日对于解析几何, 近代的列维一齐维他、和更重要地E.嘉当对于张最分析的工作,都是真正几何学家的贡献的例子。真正的几何直观恐怕是心理学所永远不能了解的。

 

 

过去几何直观主要与三维空间中的构想有关。现在既然我们经常讨论更高维度空间的概念, 构想最多只能是部分的或象征的。触觉的想象⑧ 也多少有一些作用。不管怎样,假如没有E.嘉当、海因茨·霍普夫⑨、陈省身和另外几个人的几何构想,本世纪的数学是不可能有它的惊人进展的。我相信未来的数学进展还要靠他们这样的数学工作者。

 

 

译者注:

 

 

①. 这是最近出版的《陈省身论文选集》(Sprniger Verlag 出版社,1978年)中的第一篇介绍性的文章.陈省身教授是当代大数学家. 1911年10月26日出生于浙江省嘉兴县.1930年毕业于天津南开大学.1934年毕业于清华大学研究院.曾任教于清华大学、西南联大和美国芝加哥大学。现任美国加州大学伯克莱分校教授。最近受聘为北京大学名誉教授。

 

 

② André Weil(1906——1998)是当代法国大数学家,在数论、代数几何和微分几何方面都有巨大贡献。

 

 

[3] Élie Cartan(1869-1951)是法国大数学家。Gauss(1777-1855)、Riemann(1826-1866) 和 Cartan 被公认为历史上最伟大的微分几何学家.

 

 

④ Wilhelm Blaschke(1885-1962) 是德国数学家.陈省身的博士论文(1936年) 是在他的研究室中作的。

 

 

[5]Hermann Weyl (1885-1955) 是德国大数学家。1933年起任美国普林斯顿高等研究院教授。

 

 

⑥ O. Veblen (1880-1960) 是美国数学家. 先后任美国普林斯顿大学和普林斯顿高等研究院教授。

 

 

⑦纤维丛是重要的几何概念。近年来在基本粒子物理学中有重要的应用。各种相互作用(即基本粒子间的力量)都与纤维丛的概念有密切关系。

 

 

⑧ 原文是 tactile imagination。作者似乎认为几何的构想与触觉有关。这是很重要的问题。 据译者所知,研究这问题的工作还很少见。

 

 

⑨ Heinz Hopf (1895-1971) 是瑞士大数学家。

 

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赶超中国?美国为超级计算机砸25亿!

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据路透社报道,美国联邦政府能源部表示将斥资4.25亿美元(约合25亿人民币)研发超大规模计算并建造两台世界上最快的超级计算机。这两台计算机分别定名为“顶峰”(Submmit)和“塞拉”(Sierra),建造完成后两台超级计算机的计算速度将分别达到15亿亿次每秒及10亿亿次每秒。而在这之前,世界上最快的超级计算机为中国人民解放军国防科技大学研制的“天河二号”,计算速度为5.5亿亿次。由此,美国将重夺超级计算机计算速度的头把交椅。IBM、Nvidia、Mellanox三个人们熟知的IT巨头也是建造计划的参与者。

超级计算机常用于需要大量运算的工作,譬如天气预测、气候研究、运算化学、分子模型、天体物理模拟、汽车设计模拟、密码分析等。另外在数学研究中,计算机或者超级计算机也越来越多的发挥着作用,而计算机科学本身的发展也离不开包括数学在内基础学科的发展。比如美国这回建造的“顶峰”和“塞拉”除了用于核武器的开发,另一方面就是用于基础科学的研究。而中国的“天河一号”、“天河二号”从搭建完成之初就担负着很多重要的数学任务。另外数学上的一些重要结果也不断应用于计算机科学,国际数学家大会甚至还专门设立奖项——奈万林纳奖——表彰在这些方面做出贡献的学者。2014奈万林纳奖得主科特如是说:“我认为计算机科学就是一种数学,像代数、几何一样,是数学的分支”。数学与计算机科学的关系正如彭翕成在他的博文《计算机正在改变数学》中提到的那样:“计算机科学就好比是数学科学的孩子.虽然这个孩子长大了,搬出去住了,但身上始终流着母亲的血液,仍然从母亲这里吸取着养料.数学也并没有白养这个孩子.在计算机产生和发展的过程中,数学也同时得到发展.”

最后,再顺便提提前些日子炒得比较热的量子计算机。诚然,即便是最快的超级计算机在量子计算机面前都只能算做手动算盘,但现在量子计算机研究还处于实验室阶段。因为,最好的量子计算机的工作时间也无法超过40分钟,而且需要在零下200摄氏度以下的环境中工作。所以,现阶段超大计算领域的突破,还是主要依赖于超级计算机。

哆嗒数学网在文章结尾抛出一个小调查,下面那件事你希望超级计算机来做。请大家回复参与吧!

1、 计算七阶幻方的个数

把1至9这九个数字填入一个3×3九宫格内,保证九宫格内每条横线、竖线、对角线的数字相加正好相等。满足条件的填数方法有8种。如果把1到49这些数字填去7×7的方阵格子内,也要满足每条横线、竖线、对角线的数字相加正好相等,有多少种填法呢。有一本数学书上给出这样的填法有363916800种,但没给任何说明,不知道是不是真的。

2、 计算R(5,5)、R(6,6)是多少

如果两个人之间,可以通过一串QQ好友关系联系起来,我们就说这个两个人有“好友联系”。比如如果小明是小红是QQ好友,小红和小刚是QQ好友,那么无论小明和小刚是不是QQ好友,我们都说他们有“好友联系”。在6个人中,我们能找到3个人他们相互有好友联系,或者能找3个人,他们之间完全没有好友联系,而5个人是不一定行的。于是R(3,3)=6。如果我要问,最少有多少人就能保证他们之间要么有5个人有好友联系,要么有5个人之间毫无好友联系?把“5”改成“6”呢?有数学家曾说,计算R(6,6)的难度不亚于消灭入侵地球的外星人。

3、 提供一个世界冠军级别的围棋电脑选手

无论是国际象棋还是中国象棋,人脑已经不是计算机的对手了。而在围棋上,计算机一直处于低水平。前段时间,中国的百度公司曾经宣布他们研发了一个能达到低段位水平的围棋选手,如果借助超级计算机,这个程序可以和世界冠军叫板,真的吗?

 

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光棍节细数十大数学光棍大咖

 

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第十名 切比雪夫


 

俄罗斯数学家。我们在概率书上经常见他的名字。比如切比雪夫不等式,切比雪夫大数定律等等。其实这位大神在数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面都有贡献。切比雪夫终身未婚,一直和自己的表姐关系很好。在孩提时代,当其他孩子们在庄园里玩耍时,表姐就陪着教他唱歌、读法文和做算术。所以一直到临终,切比雪夫都把这位表姐的像片珍藏在身边。

 

第九名 帕斯卡


法国数学家。同时,他还是物理学家、哲学家、文学家。虽然数学很厉害,但他最热衷还是神学,可以说他爱上帝胜过爱数学。最著名的叫做“帕斯卡的赌注”,用这个来说明理性的人应该相信上帝的存在。帕斯卡没有结过婚,甚至都没有恋爱经历。原因除了他对上帝的笃信外,也许和他短命有关系,这位天才39岁就挂了。

 

第八名 索菲·热尔曼(女)


法国女数学家,很受拉格朗日看好。他在数学交流中,不想暴露自己的妹子身份,所以常用假名与包括高斯在内的其它数学家通信交流,于是有了“数学花木兰”的称号。没有嫁过人,在娘家终老。

 

第七名 莱布尼兹


德国数学家。微积分的独立发明人之一。同时莱布尼兹还是哲学家,研究领域也很广泛,被誉为“十七世纪的亚里士多德”。终生未娶,但在他宫廷当差期间,和女生发生过些暧昧的故事。

 

第六名 埃尔德什

匈牙利数学家,共发表1475篇论文,超越欧拉成为历史上发表论文最多的数学家。因为战争以及政治等各方面的原因,在世界上四处漂泊,也因此有了更多和各地不同学者合作的机会。虽然埃尔德什一辈子都没有结婚,但他却成就过别人的姻缘。他和另外两位一男一女数学家研究“幸福结局问题”时,让他们幸福的走到一起,成为一段佳话。

 

第五名 艾米·诺特()


德国女数学家。终生未婚,把全部精力献给了她所热爱的数学事业,被爱因斯坦称为“最伟大女数学家”。当时,由于艾米·诺特的行事方式很“中性”,于是德国数学家兰道曾这样说:“我可以作证她是一个伟大的数学家,但是对她是一个女人这点,我不能发誓。”也许,男人婆的形象和他的爱情空白也有一定关系吧。

 

第四名 笛卡尔


法国数学家,哲学家。他有一名言:“我思故我在”。在数学方面,创立了解析几何。笛卡尔终身未婚,没有享受到家庭生活所带来的快乐。据说他有一私生女,但不幸夭折。

 

第三名 哈代


英国数学家。在纯数学领域做出过非凡成就,但非常不喜欢应用数学。哈代其实是长得很帅的那种,但据说为人极度自恋,从不照镜子,也极少照像。终生没有结婚,和自己妹妹一直在一起。他妹妹也终生不结婚,一直照顾哈代到他离开人世。

 

第二名 希帕蒂亚(女)

古希腊女数学家、哲学家、天文学家,也是世界第一位女数学家。希帕蒂亚在20岁左右时,已经是远近闻名的大美女,求婚者络绎不绝。但这位才貌双全的美女想干一番大事业,不想被婚姻影响。她说:“我只嫁给一个人,他的名字叫真理”。这位有远大抱负的美女学者却死得很悲惨,肢体被一群暴徒卸成几大块,分块焚烧掉。

 

第一名 牛顿

英国数学家、物理学家,万有引力发现者,微积分创始人之一。他的举不胜举的伟大成就这里不再多说。牛顿其实有两段恋爱经历,都被传成过佳话,但这两段故事都不是幸福的结尾。前一段是因为自己太闷骚没及时把爱意传达到对方而错过,后一段则是因为谈情说爱时,思维突然跳跃到二项式定理而误把旁边美人的手指当成烟草往烟斗里硬塞,让女孩不敢再与“疯牛”交往。总之,牛顿就是一辈子光棍。
 

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日本综艺节目: 做一个数学题给你1亿


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这是某岛国的综艺节目,节目是让一位老师做一个数学题目,如果能做出来就当场给这位老师1亿日元的奖励(约合100万美元)。

是不是发财的机会?这是个什么题目呢?哆嗒数学网的小编来告诉你这个题目。

证明对任意的紧致简单规范群,在四维欧几里得空间上都存在一个非平凡的杨-米尔斯理论,以及有一个质量缺口Δ > 0

看不懂?不明觉厉是吧?这不重点!重点是这个题目克雷研究所提出的七个千禧年问题之一,叫做杨-米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口问题。这七个问题目前只有一个是被完全解决了,这个被解决的叫做庞加莱猜想。看不懂这个问题内容,现在至少知道问题的难度了吧?这明显在坑那位老先生嘛!

注意视频的几个亮点:

1、  老先生拿到题目就认真的写起来,写的东西也是一串数学公式,吊炸天!

2、  当老先生在做题遇到困难的过程中,掏出了量角器。恩,你没看错,是量角器!

3、  当老先生正想放弃这个题目时,工作人员在旁边放了1亿日元,于是斗志重燃。

4、  主持人还是很认真的介绍了题目背景和发表的注意事项,没有误导观众。





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USNEWS全球最佳大学数学学科排名

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美国有多个机构对大学进行排名,其中最有影响力的就是由《美国新闻和世界报导》在每年下半年公布美国大学排名,也就是常说的每年的USNEWS排名。日前,2015年USNEWS全球最佳大学排名已经公布。哈佛大学、麻省理工学院、加州大学伯克利分校三所美国大学分列前三,而榜单的前500名高校中,美国学校占了134所、德国42所、英国38所。中国取得了不俗的表现(makes a strong showing),有27所入围500强。


该榜单同样公布了学科排名。数学学科的前三名同样被美国大学包揽。第一名是加州大学伯克利分校,而斯坦福大学、普林斯顿大学分列二、三名。前十名中,出现了两所亚洲大学,分别是第七名沙特阿拉伯的阿卜杜勒阿齐兹国王大学及第九名香港大学,这两所大学的排名甚至超过了第十名大名鼎鼎的剑桥大学。第四到六名分别是:加州大学洛杉矶分校、牛津大学、哈佛大学,而巴黎第六大学排在第八位。



哆嗒数学网还为您整理了中国方面的排名。在该榜单的数学排名中除了香港大学的第七名外,北京大学与香港中文大学以17名与19名分列中国地区的第二、三位。如果只看中国内地高校的排名,那么排在第二、三位的是25名的复旦大学与37名的浙江大学。






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再给你一个喜欢“七”的理由

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有一个调查是说“七”是世界上最受欢迎的数字。不管你信不信,反正这项调查的发起者亚历克斯·贝洛斯信了。但喜欢它的理由不尽相同,有的是因为它是一个素数,有的因为自己的生日日期里有很多“七”。但是,菲尔兹奖得主巴尔戈瓦给又给了我们一个爱上这个数字的理由:指数丢番图方程。

你不是不是和哆嗒数学网的小编一样,觉得这个方程的名字很高端?其实丢番图是古希腊亚历山大的数学家。丢番图方程以这位数学家的名字来命名。这些方程的未知数都在整数范围内取值。这里的指数丢番图方程是指至少有一个未知数在指数位置上。

1913年,印度数学家拉马努金猜想关于未知数n,x指数丢番图方程$2^n-7=x^2$只有在$n=3,4,5,7$及$15$的时候,有整数解。1948年,挪威数学家纳格尔证明了这个猜想,但他的这个证明是对他同胞永格伦的回应,而不是拉马努金。(1943年永格伦在独立情况下,也提出过这个猜想)

$2^n-7=x^2$这个方程不是一个普通的方程,其实他是有特别之处的。对于这样形式的方程$2^n-D=x^2$,当$D$非零且不等于$7$的时候,方程最多只有两个整数解。它有两个让人不解的地方。第一,为什么$7$如此特别?第二,拉马努金本人是否知道$7$是特别的一个?如果答案是否定的,为什么他在无限多个方程中把这个拿出来说?我无法找到答案。

除了这个梗,巴尔戈瓦还讲了很多数论中的梗,但我喜欢这个梗。如果在数学中,有一个数字能让情况变得特殊,这个数通常是$0$或者$1$,偶而会是$2$。 但$7$是真的是非常非常少见的。


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如果想当富豪,就来学理工科吧!

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近日美国杜克大学天才甄别计划项目成员,心理学家Jonathan WaiQuartz(美国著名全球新经济数字媒体)发表文章说,选择STEM专业会非常有“钱途”。

 STEM代表的是科学、技术、工程以及数学。在中国,理工科代表的各个学科能大致涵盖上述四个领域。下面请大家来看看,这位心理学说了些什么。文章由哆嗒数学网的小编翻译,因水平有限,有的意思不尽准确,敬请各位看官指正。

 在通常的叙述中,STEM之所以重要,是因为我们需要更多的数据科学家、工程师以及其他STEM的专业人才。但是推广STEM教育还有一个重要原因,它在传授人们创造性解决问题的方式,而后者,在当今社会的用处更为广泛,也更被需要。STEM教育和很多成功案例关联,这些案例不仅仅在STEM领域,在其他学科,甚至很多顶级富豪的成功,也和STEM教育有关。

 数学的核心是模式识别以及和摆弄数字的游戏乐趣。心理学上叫做流体推理或者精神力量。当你遇到困难不知道怎么办的时候,它就会派上用场。它包括模式识别、抽象推理和问题解决方法,被认为是计算能力动力引擎。正如埃里克•布林约尔松和安德鲁•麦卡菲在《第二次机器时代》中指出的那样,它是非常之多的人类进步和技术进步的源动力。这时,数学教育做的事就是训练人们在一个逻辑范围内进行创造性思考和解决问题。

 然而,就算是学数学专业的人,他们大多数也没有成为数学家。但是,他们在各自从事的行业中,把这种创造模式及问题识别技能转化成了一种对兴趣的追求,比如商业、新闻、政治、法律或学术。一项对有数学天赋学生的跟踪研究表明,个人爱好可以把数学专业的学生引向其他创造性职业并有益于社会。 MATHCOUNTS基金会(美国为中学生数学兴趣培养组织——哆嗒数学网注)执行总监卢•迪焦亚曾对我说他见过很多人,都把他们的成功的关键归功于他们学到的创造性解决问题的技能。 

事实上,很多富豪把成功的关键归咎于模式识别。在克里斯蒂娅•弗里兰的《富豪》一书,就讨论了这种数据极客不断增加的趋势。卡洛斯•斯利姆(前福布斯世界首富——哆嗒数学网注)是学工程的,他认为对数字的灵感帮他得到了财富。史蒂夫•施瓦茨曼(黑石集团创始人——哆嗒数学网注)认为,他的成功是因为他具有在一大堆数据中“看到别人看不到的模式的能力”。我的一些研究能为这些故事提供一些数据支持,在商界,有 29.9% 的亿万富豪和23.8%的达沃斯出席人是学STEM专业的。所以,如果你想成为大富豪,也许学STEM的专业是个不错的选择。

 研究还表明,在有数学天赋的学生和优秀的STEM毕业生中选取独立的样本,这些最后都获得了STEM博士、出版了作品,获得了专利,取得大学的终身职位,或即将就任此类职位的人,都很有可能在大学之前就有过STEM的受教育经历。所以,在早期就增加学生此类受教育经验的强度和广度,有可能会增加STEM创新力,甚或提高在STEM领域之外的创新力,如商业。 

埃利奥特•施拉格是前谷歌全球通联总监,当他被问到什么领域应当鼓励我们的孩子们去学习时,他回答:“统计学,因为理解数据的能力将会成为二十一世纪最强大的技能。”所以,本质上说,从数据和我们世界中发现数学规律或者其它模式规律是通往未来的关键。而这种思考方式通常能在统计学,数学和其它STEM学科教育中找到。在这些学科中,当学生们会学到创造性解决数学和科学问题。

 伊丽莎白•格林在她的《成为更优秀的教师》中提出教学是一种手艺,第一次发现美国人要治愈他们的“数学盲”用传统的教学方法是不行的。保罗•洛克哈特在《一位数学家的挽歌》中提出,“你没法教他们怎么教别人”。我们要他们待在教室里,而这些人正是对数学创造和探索有兴趣的人,他们也想教别人,而不是别的什么。他深刻地指出:

 “通过不断做相关的事来学习某个东西,然后记住这个东西和你本身有什么关系。我们很多大人都能背得烂熟的口诀:‘2a分之负b加减根号下b平方减4ac’,但完全不知道背了些啥东西。原因就是他们从没有机会为他们自己去发现或者发明这样的东西。”

 保罗•洛克哈特说得对,我们应当传授数学中探索的乐趣,因为这个教授的核心在于激发对模式识别与创造性解决问题的喜爱。“数学不应该是跟从式学习,而应当是探索式学习。”伊丽莎白•格林也说得对教师们有能力且应当提升他们的教学手艺。为了解决这世界上的一些大问题,比尔•盖茨曾建议:“把世界上最聪明的人更多得吸引到技术领域来。”我补充一点,我们这样做不仅是因为我们的世界需要更多数学家,科学家或者工程师,还因为在这些领域之外,数学和科学的思考方式是解决这世界上如此之多问题的核心。






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2014年世界大学数学学科学术排名

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根据上海交大最近公布的2014年世界大学学术排名,哈佛大学、斯坦福大学、加州大学伯克利分校三所美国大学分列前三,彰显了美国在当今世界学术中心的地位。 

数学学科排名方面,前三名同样被美国院校占据第一名是普林斯顿大学,而哈佛大学、加州大学伯克利分校分列二、三名。值得一提的是,一改前几年美英法三国囊括前十的状况,这次榜单的前十中出现了亚洲学样的身影,沙特阿拉伯的阿卜杜勒阿齐兹国王大学。这也是亚洲国家学校的最高排名。第四到九名分别是:巴黎第六大学、斯坦福大学、剑桥大学、巴黎第十一大学、牛津大学、加州大学洛杉矶分校。


 在中国的高校中,排名第一的是香港城市大学28名。这个排名甚至超过了在数学上大名鼎鼎的法国巴黎高等师范学校的第30名。北京大学,香港中文大学分别以第37名和43名分列第二、三名。中国共有36所高校进入榜单。哆嗒数学网下面再为你奉上所有中国高校的排名。

 



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这些日子,数学很火!

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一位叫Basulto的未来学家在美国《华盛顿邮报》发表文章,说数学在这些日子在美国很火。文章主要列举了四大愿因。

文章开篇说,数学,Math,是STEM(STEM表示科学,Science,技术,Technology,工程,Engineering,数学,Mathematics)四个字母中M代表的学科,但可能是STEM中最不吸引人的领域。有趣的作者还要求读者列举当今的数学名人,但不能举罗素·克劳演的《美丽心灵》中的约翰·纳什。

文章以“事物总会变的”一句转折,展开了全文的讨论。现在就由哆嗒数学网的小编和大家一起,看看这位未来学家说了些什么。

文章列出第一大原因是2014年菲尔兹奖的颁发。这个奖一直被视为数学界的诺贝尔奖的数学项,在它近80年的历史却从未有女性数学家得到。美国斯坦福大学教授米尔扎哈尼,这位37岁的伊朗人却在2014年做到了。其意义可媲美宇航员萨莉·赖德在美国历史上首位进入太空。她们都为小姑娘们提供了成长的偶像。文章援引米尔扎哈尼的话说:“这是个莫大的荣誉。……我确信,未来几年里,会有更多的女性在获得类似的奖项的。”

文章说那很重要。毕竟,在很多时候,STEM领域的女性们缺少榜样和精神导师。米尔扎哈尼的获奖能让其它顶级数学家更受关注,同时也能吸引一大批孩子对数学感兴趣。

文章给出的第二大原因,来自于就业形势的变化。数学看上去比以往火的原因和数学毕业生薪资增长和就业前景有关。在CareerCast(美国著名求职招聘网站)最近出炉的调查显示,数学家(或者说做数学的人)是“世界上最让人满意的工作”。理由很简单,在技术产业的所有热门领域里,从做大数据到做计算机搜索算法,这些工作都和数学强烈相关。CareerCast调查认为,数学家现在的平均年薪能超过10万美元,且到2022年,还能有23%的增长。

而最近的用人趋势也似乎能印证这一点。文章引述《华尔街日报》的了文章,说一些高端人才都是在内的各个领域的研究人员,他们之中有数学家。他们在硅谷很吃香,因为他在一个新兴领域驾轻就熟——大数据领域。这些人才现在在硅谷利用他建立的复杂数学模型来预测用户行为。但是,他有可能被华尔街的经纪人挖走,用来搞复杂的对冲投资组合的技术。

文章列举的第三大原因是数学和其它学科的融合加深。他再次回过来提到米尔扎哈尼。虽然她所研究的课题还是很深奥的,——“黎曼曲面及其模空间的动力系统与几何”。但在外行人看来这些数学理论成果能应用到了密码学、工程学什么的。而本次菲尔兹的另外一个获奖者马丁·海尔所做的成果,据说能为大气科学建立新的研究模型。数学不再孤单。也不再只是充满诸如费马大定理或者庞加莱猜想这种让人受尽折磨问题的学科。现在,数学已经成了一些学科不可分割的一部分,比如说生物、化学和计算机科学。

文章说的第最后一个原因是文化的变化。作者说,突然间,就像达伦·阿罗诺夫斯盖1998年的电影《生死密码》里的数学狂一样,我们在不断感受周围不断增加的数学符号。孩子们在网上看数学视频。圆周率日,这个本来像是一群数学呆子恶搞的日子,也有了自己的谷歌徽标。孩子们报名数学夏令营,并真切地享受其中。在TED(美国著名创意分享平台)上,一个关于“分数”的数学讨论也能有100万的浏览量。

文章对这种文化的变化持肯定态度,说数学越多地成为流行文化的一部分,越是一件好事情。在我们的数字文化下,人们对数学如何成为对未来发展的背后的驱动力会越来越感兴趣。这种兴趣可以小到手机如何运转,大到人工智能研究的最新进展,而之前我们认为那些是相当然的事。文化的变化会让下一代们真正的喜欢上数学,并亲眼看到数学在日常生活中的直接应用。



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被人忽略的“穷”猜想(五):关于倒数和的埃尔德什-图兰猜想(完结)

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导读语: 近十几年来,给数学猜想玩百万级悬赏似乎成了一种时尚。先有2000年3月Faber为哥德巴赫猜想给出100万美元悬赏,要求人类尽快把猜想两字改成定理。然后克雷研究所紧随其后,在5月悬赏700万美元,给出包括黎曼猜想、庞加莱猜想在内的7个问题的悬赏,每个100万,俗称“千禧年问题”。2013年,美国数学会发布消息,比尔猜想悬赏也提高到了100万美元。除了具体的数学问题的悬赏,对数家本身也进行百万级悬赏表彰。2002年,邵逸夫数学奖100万美元。2014年,科学突破数学奖300万美元。虽然数学家们并不以追逐奖金为数学研究的动力,但俗话说,重赏之下必有勇夫,在高额奖金刺激下,一定会有更多人投入到数学研究的行列中的。比如说比尔猜想,在没有100万的刺激之前,关注度定不会像现在这样高的。

然后,还有一些数学猜想,表述简单,但难度极大,几十年没有解决。这些问题,有的没有公开的悬赏,有的即使有悬赏,赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题,在很多人心目中,同样值100万美元。


哆嗒数学网-被人们忽略穷的猜想


数学问题玩悬赏是从什么时候开始的大概很难考证出一个准确结果了。不过,近现代以来为数学问题悬赏征答的风气据说是埃尔德什带起来的。这位以高质量论文巨量产出闻名数学界的数学家,总是喜欢把自己提出数学猜想添上几十、几百或者几千美元的彩头。一方面,吸引其他人来关注,另一方面,用一种奇特的方式,展示每个问题在他心目中的地位。

这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第五篇,完结篇:关于倒数和的埃尔德什-图兰猜想。

在他的诸多问题中,最贵的被悬赏3000美元。叫做关于倒数和的埃尔德什-图兰猜想。这个问题的彩儿后来被提高5000美元。不过,还是和100万没法比。


还是从简单情况说起。我们都知道,1+1/2+1/3+…把所有正整数倒数加起来是发散的。但如果我们不把所有整数取完,而只取其中的一个子集,在把子集的中的每个数做倒数求和,那么有可能收敛。比如,我们取所有2的正整数次幂的集合,得到1/2+1/4+1/8+…,这个能算出来是收敛于1的。


我们只来关注让那些倒数和发散的子集,并且认为这些子集都是从小到大排序的。那么,这个子集里是不是一定能包含任意长度的等差数列。打个比方,我叫出一个数100,你就能在其中找到a, a+d, a+2d, ..., a+99d这样形式的100个数,而叫出1000,你也能找到p, p+q, p+2q, ..., p+999q这样的。无论叫多少,都能从中找出对应个数的数,他们正好是等差数列?这就是关于倒数和的埃尔德什-图兰猜想。


问题有多难呢?这里举一个例子,比如利用数论知识我们可以知道,如果上面的子集取所有质数,那么所有质数的倒数和是发散的。那么质数中存在任意长度的等差数列?答案是肯定的,这是由陶哲轩和格林合作完成证明。这个证明可以说是陶神在数论方向的顶级神作之一,他能获得菲尔兹奖和这个作品有很大关系。也就是说,在这个问题里,找一个极特殊的情况,也有可能是菲尔兹级别的问题。


不过,陶哲轩和格林的方法太过于特殊,很难推广到一般情况。要完全证明,估计还很久远。

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有趣的数学之歌(The Math Song)

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今天介绍一个在国外某著名视频网站上有60万点击的音乐视频。视频展现了一位亚裔女孩在数学考试前的精神状态。歌曲的原曲调来自“火星哥”布鲁诺·马尔斯的《懒汉之歌》(THE LAZY SONG),歌词也模仿了不少,很有意思。


Girl:come in
进吧!
Mom:  Kim,it's time to go to bed.what have you been studying for?
Kim,该睡了,你还在学习什么?
Girl: Maths, I don't know what I'm gonna do. I'm not going to get it.
数学,我不知道做什么,我得不到答案。
Mom:  Don't worry,honey, it'll come to you.
别担心,宝贝,答案会有的。
Girl: I am so worried about my test.
我好担心我的考试。
Mom:  Don't worry honey, just sleep on it
别担心,宝贝,明天再说吧。
Girl: Ok, good night.
好吧,晚安。




歌词

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
I just wanna focus on math
只想专注于数学
Domain and range and rate of change
定义域、值域还有变化率
It all makes me go insane
这一切让我疯掉了

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
Now let’s sketch graphs
那我们就来画函数图象吧
Try to figure out how to represent relation
试着弄清关系的表达
Ordered pairs and table are the destination
做出有序对和表格是我们的目标
Learn about this function notation
了解这个函数符号
I’ll be graphing linier functions
我来画线性函数图象
And interpreting relations
和表示函数关系
Did you know that y=mx+b?
y=mx+b你懂了吗?
So in my math class, I’ll get good grades
所以我的数学课,我能得到好成绩

Oh yes, I know, I know
噢,是的,我懂了,我懂了
I said it cause I know
我那样说,因为我懂了
Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
I just wanna focus on math
只想专注于数学
Domain and range and rate of change
定义域、值域还有变化率
It all makes me go insane
这一切让我疯掉了

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
Now let’s sketch graphs
那我们就来画函数图象吧
Gonna ace my test and stop all that slacking
绝不懈怠,通关考试。
And I’m gonna scream out “I did great!”
然后尖叫着说:“我做得很好!”
I’m gonna walk around
我还四处奔走
And show all my friends
向我所有的朋友秀成绩
I bet my old man will be so proud of me
我打赌我的老爸会以我为荣
Don’t worry pops , I’ll keep doing great
不过,老爹您别担心,我会继续保持的。
Oh yes I aced it, I aced it
噢,是的。我通过了,我通过了!

I aced it cause I can
我通过了,因为我能!

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
I just wanna focus on math
只想专注于数学
Domain and range and rate of change
定义域、值域还有变化率
It all makes me go insane
这一切让我疯掉了

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
Now let’s sketch graphs
那我们就来画函数图象吧
Oh,I know all the definitions
噢,我知道了所有的定义
And I know what a function is
还知道函数是什么
One element of the domain
定义域中的一个元素
Goes with the range
映射到值域
There are different types of variables
有不同类型的变量
The dependent and independent
相关和不相关的
The relationship between
有关系存在于
Two sets of things
两个集合之间

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
I just wanna focus on math
只想专注于数学
Domain and range and rate of change
定义域、值域还有变化率
It all makes me go insane
这一切让我疯掉了

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
Now let’s sketch graphs
那我们就来画函数图象吧



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被人们忽略“穷”猜想(四):沙努尔猜想

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导读语: 近十几年来,给数学猜想玩百万级悬赏似乎成了一种时尚。先有2000年3月Faber为哥德巴赫猜想给出100万美元悬赏,要求人类尽快把猜想两字改成定理。然后克雷研究所紧随其后,在5月悬赏700万美元,给出包括黎曼猜想、庞加莱猜想在内的7个问题的悬赏,每个100万,俗称“千禧年问题”。2013年,美国数学会发布消息,比尔猜想悬赏也提高到了100万美元。除了具体的数学问题的悬赏,对数家本身也进行百万级悬赏表彰。2002年,邵逸夫数学奖100万美元。2014年,科学突破数学奖300万美元。虽然数学家们并不以追逐奖金为数学研究的动力,但俗话说,重赏之下必有勇夫,在高额奖金刺激下,一定会有更多人投入到数学研究的行列中的。比如说比尔猜想,在没有100万的刺激之前,关注度定不会像现在这样高的。

然后,还有一些数学猜想,表述简单,但难度极大,几十年没有解决。这些问题,有的没有公开的悬赏,有的即使有悬赏,赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题,在很多人心目中,同样值100万美元。


哆嗒数学网-被人们忽略穷的猜想


这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第四篇:沙努尔猜想。


沙努尔猜想(Schanuel’s Conjecture)其实是超越数论中最基本最前沿的问题之一。这个猜想其实并没有被“忽略”过。在2009年5月由科学出版社出版的《10000个科学难题•数学卷》中也有专门的介绍。这里把他写出来还是因为他“穷”。沙努尔其实提出了两个猜想,一个是猜想本身,一个是沙努尔猜想的逆猜想,各自悬赏1000美元,共2000美元。


本文只介绍猜想本身,它已经足够难了。


我们先来回忆两个高等代数中的内容。对于$n$个复数$z_1,z_2,…,z_n$,如果不存在不全为零的有理数$q_1,q_2,…,q_n$,使得$q_1\cdot z_1 + q_2\cdot z_2 + … + q_n\cdot z_n = 0$,我们说$z_1,z_2,…,z_n$在有理数域上线性独立。比如,我们可以证明$1$和$1/2$不是线性独立的,只需要取$q_1=1,q_2=-2$就行。而$1$和$π$是线性独立的,因为π是无理数。另外一个概念,对于$n$个复数$z_1,z_2,…,z_n$,如果不存在一个有理系数的$n$元非零多项式$P$,使得$P(z_1,z_2,…,z_n)=0$,我们说$z_1,z_2,…,z_n$在有理数域上代数独立。比如$1$和$π$不是代数独立的,我们可令$P(x,y)=1-x$,于是$P(1,π)=0$。而只有一个$π$它本身是代数独立的,因为$π$是超越数。


沙努尔猜想说:对于$n$个在有理数域上线性独立复数$z_1,z_2,…,z_n$,,它们和$e^{z_1},e^{z_2},…,e^{z_n}$组成的$2n$个复数中,最少有$n$个是在有理数域上代数独立的。


关于这个猜想的一个有趣的特例。当$n=2$时,令$z_1=1,z_2=πi$,由欧拉公式$e^{πi} + 1 = 0$,沙努尔猜想能推出$e$和$π$是代数独立的。就是这样一个特殊情况,人们也还没有证明。实际上,现在我们对这两个最常使用的无理数四则运算后的结果知道的并不多,连$e+π$和$e/π$是有理数还是无理数都还不知道。



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张益唐:我还年轻!

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去年,随着其成果的公布,张益唐登上了数学的主舞台。他发现的定理被誉为“素数分布研究领域里程碑式的定理”。这位华裔学者所做的工作,使得孪生素数猜想这一最古老数论问题的研究有了重大进展。他的一如既往与坚持让他战胜了在该领域其他专家没有的困难。他已经58岁,但在他成果公之于众之前却默默无闻。北大研究生毕业,并在1991年在美国普渡大学完成博士学业。在新罕布什尔大学找到了一份讲师的工作之前,有很长一段时间没有一份稳定的学术工作。现在,张益唐已经是学院的教授了。

 

2014年韩国首尔国际数学家大会期间,张益唐在接受了一次采访时说,他乐观的天性和对数学热爱帮助他度过了艰难的岁月。采访是在星期二韩国首尔COEX中心,由牛津大学的数学教授Minhyong Kim 主持进行的。(注本文由哆嗒数学网翻译自2014国际数学家大会《Math & Presso》,因水平有限,有不足之足,望得指正)

 

问:跟我们谈谈,在你的发现之后,孪生素数猜想的进展吧。

张益唐:2013年五月,我收到来自一家普林斯顿杂志的一封邮件,问我是否能宣传我的事。然后,数学界的所有人都知道那些事了。那时,我说素数间隔小于7000万,到了现在,我所知道的,经过一年多一点时间,素数间隔已经缩小到了252。(随后,他又更正为246)。

 

问:在你的启发下,很多数学家一起加入Polymath项目来缩小素数间隔,并取得重大进展。对此,有何看法?

张益唐:要证明孪生素数猜想,最终的目标是要把素数间隔缩小到2。我去年刚得到这个结果的时候,我就意识到它非常有可能缩小到小于7000万。但那个时候,我没有计算机程序,不能做大量计算。我发表了我的论文,我认为他已经足够好了。我没有预料到素数间隔会以这种方式被缩小,但我明白它在将来一起会被缩小的。报道我工作的记者们说,证明这样一个常数的存在性已经是了不起的成就了。如果我能给出这样一个数,而我的确给出了这样一个数,我想已经足够了。

 

问:你是如何启动对孪生素数猜想的研究的?

张益唐:我喜欢关注数学里的主要进展。2005年,三位数学家(GoldstonPintzYildirim)进行了一次学术演讲,展示他们对证明孪生素数猜想所取得的重大进展。虽然,他们没有得到一个有限的素数间隔,但他们的结果离得到一个有限值已经很接近了。200511月,在加州理工学院举行了一个专题讨论会,想要得到这个有限素数间隔。几年之后,他们发现了一个无法逾越的关系性困难。我进入这个问题要晚一些,大约是在2007年或者2008年。我读一篇文章,文章里有提到这个问题的的进展,其它人做了什么以及有哪些主要问题需要我们解决。于是,我开始了对这个问题的研究,并用各种办法对它进行思考。你可能都听说过这个事了,20127月,我正在科罗拉多的朋友家休假的时候,我找到了这个问题的解决办法。我只是利用我这些年积累的知识,尽我所能,做到了我能做的事。你也许会说,那只是你一时的灵感,但我知道我能做到。

 

问:你很多年不在主流的数学圈子了。你是如何完成这个一个壮举的?

张益唐:对我来讲,我认为那并不难。就算在我去新罕布什尔大学之前,我也一直操持着对数学问题的思考。有些时候,我也会一所大学里,到它们的图书馆里去查阅一些论文。就算在那些时候,我也总是在做一些数学相关的事。所以,当我来到新罕布什尔大学的时候,我已经能很快发表一篇论文了。我没有完全离开过数学。我真的是热爱数学。这是最重要的。我知道如何坚持。这是我的基本品格。

 

问:你是否认为在做日常的数学和做难度更大的长周期项目之间找到一个平衡点是件重要的事。你是如考虑协调它们的办法的。

张益唐:如果要我给其它搞数学的人,尤其是年轻人建议的话,那我的建议是:“我不是学习的榜样。”我的情况非常特殊,我酷爱挑战各种问题。而且不喜欢做小问题。但是,如果我需要给其它人建议的话,我会说你同样需要做一些短周期的小问题。你得发表论文,否则你可能找不到工作,可能没有邀请,以及其它别的什么事。但有一件事,我得说明,平时做短周期的小问题,但要保持对长周期大问题的关注。这很重要,至少要关注,而且要关心那些有重大意义的问题。

 

问:有一种观念是说数学是年青人的游戏,而你是一个很好的反面例子。你有试图刻意的去反驳这种观念吗?

张益唐:因为年轻人脑子好身体棒,所以数学应该年轻人来做。虽然我身体是老了,但我感到自己还年轻。现在的生活条件比以前好多了。中国有句古诗说,人活七十古来稀。但现在并非如此。我对自己说,我真的依然保持着青春。如果你能在心理上保持年轻,你就能像年轻人一样思考。拥有梦想不是年轻人的专利。今年春天,我见到了高等研究院的著名数学家Bombieri,他已经70多岁了,好像是74岁(Bombieri实际上73岁)。他每天都去办公室,一直在研究黎曼假设。


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张益唐又斩获一大奖——“天才”奖!

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张益唐——美国新罕布什尔大学华裔数学家——又获奖了!这回是麦克阿瑟奖!



麦克阿瑟奖,很多媒体称它为“天才”奖,创设于1981年,旨在表彰社会上在各自领域彰显出非凡创造力和奉献精神的“天才”(talented individual)。每年选出20到40人的获奖者。获奖者可以得到62.5万美元奖金。和一些别的奖要求奖金用于科研用途不同的是,这个奖金完全归个人支配,没有任何使用限制的。


张益唐,这回是因为他对素数间隔的研究而获奖的。他第一次给出了这个间隔一个有限的上界,是一个古老数论猜想“孪生素数”猜想的重大进展。


张益唐的科研经历也堪称传奇。他分别于1982年和1984年在中国的北京大学获得学士和硕士学,然后在1991年获得美国普渡大学博士。他干了很多工作,比如会计员、快递员。就算1999年到了新罕布什尔大学工作,也是长期当讲师。成为教授也只是最近事,这时,已经58岁了。


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被人们忽略“穷”猜想(三):箱式乘积问题

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导读语: 近十几年来,给数学猜想玩百万级悬赏似乎成了一种时尚。先有2000年3月Faber为哥德巴赫猜想给出100万美元悬赏,要求人类尽快把猜想两字改成定理。然后克雷研究所紧随其后,在5月悬赏700万美元,给出包括黎曼猜想、庞加莱猜想在内的7个问题的悬赏,每个100万,俗称“千禧年问题”。2013年,美国数学会发布消息,比尔猜想悬赏也提高到了100万美元。除了具体的数学问题的悬赏,对数家本身也进行百万级悬赏表彰。2002年,邵逸夫数学奖100万美元。2014年,科学突破数学奖300万美元。虽然数学家们并不以追逐奖金为数学研究的动力,但俗话说,重赏之下必有勇夫,在高额奖金刺激下,一定会有更多人投入到数学研究的行列中的。比如说比尔猜想,在没有100万的刺激之前,关注度定不会像现在这样高的。

然后,还有一些数学猜想,表述简单,但难度极大,几十年没有解决。这些问题,有的没有公开的悬赏,有的即使有悬赏,赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题,在很多人心目中,同样值100万美元。


哆嗒数学网-被人们忽略穷的猜想


这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第三篇:箱式乘积问题。


学过拓扑的同学都知道,对于实数集的可数无穷笛尔卡乘积$R^ω$的拓扑有两种生成方式。第一种,也是最常用的,叫做吉洪诺夫(Tychonov)乘积,就是取所有形如有限个开区间与剩下无限个R做笛尔卡乘积来生成拓扑空间。这样,好处是可以保持很多有限乘积拓扑的性质。另外一种做法,虽然不常用,但想法却很自然,就是用所有开区间做笛尔卡乘积来生成拓扑空间。这个叫做箱式乘积(Box Product),生成的拓扑叫做箱式拓扑(Box Topology)。箱式拓扑,一般大家不太喜欢因为很多性质不太好。比如说紧空间的乘积可能不紧,$R^ω$甚至都不可能成为度量空间。


虽然不太喜欢,但我们可以提问。箱式乘积问题(The Box Product Problem)是问:实数集的可数无穷箱式乘积是否是正规空间。即对其中任意两个不相交的闭集,是否存在分离它们的开集。


如果把可数的条件换成不可数在1994年被证明不是正规空间。而可数无穷的情况,在那之前的20多年前的1972年,在承认连续统假设的情况下,证明了猜想是成立的。但这不是大家想要的结果,但最少说明猜想本身一定不是假命题。现在只剩两种可能,要么猜想真成立,要么猜想是不可判定的命题。如果是后者,从以往的情况来看,问题将会变成非常麻烦。


纽约州立大学水牛城分校的教授Scott W. Williams给这个问题的悬赏是42美元。问题提出已经过了三、四十年了,上网查了查,没有查到这个奖金是否一直没变过……


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被人们忽略“穷”猜想(二):柯拉柯斯基序列问题

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导读语: 近十几年来,给数学猜想玩百万级悬赏似乎成了一种时尚。先有2000年3月Faber为哥德巴赫猜想给出100万美元悬赏,要求人类尽快把猜想两字改成定理。然后克雷研究所紧随其后,在5月悬赏700万美元,给出包括黎曼猜想、庞加莱猜想在内的7个问题的悬赏,每个100万,俗称“千禧年问题”。2013年,美国数学会发布消息,比尔猜想悬赏也提高到了100万美元。除了具体的数学问题的悬赏,对数家本身也进行百万级悬赏表彰。2002年,邵逸夫数学奖100万美元。2014年,科学突破数学奖300万美元。虽然数学家们并不以追逐奖金为数学研究的动力,但俗话说,重赏之下必有勇夫,在高额奖金刺激下,一定会有更多人投入到数学研究的行列中的。比如说比尔猜想,在没有100万的刺激之前,关注度定不会像现在这样高的。

然后,还有一些数学猜想,表述简单,但难度极大,几十年没有解决。这些问题,有的没有公开的悬赏,有的即使有悬赏,赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题,在很多人心目中,同样值100万美元。


哆嗒数学网-被人们忽略穷的猜想


这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第二篇:柯拉柯斯基序列问题。


我们来看下面这个只由“1”和“2”组成的字符串:
 
“122112122122112112212112122112112122122112122121121122122112”


我们把上面那个字符串中,连续出现最长的相同数字的那部分,叫做这个字符串的一节,那以这个字符串就由很多节组成。从左往右数,第一节是“1”,由1个“1”组成,第二节是”22”,由2个“2”组成,第三节是“11”,由2个“1”组成,第四节是“1”,由1个“1”组成,等等。我们再做一件事,从左往右开始,把每一节里组成数字的个数写出来,拼成一个新的字符串,你会得到:第一个数字是1,第二数字是2,第三个数字是2,第四个数字是1,第五数字是1,第六个数字是2……。拼在一起,”12211212212211211…”。太坑了!居然和原来的那个的前面的部分一模一样!


实际上,我们可以做出一个无限长的“字符串”。这个“字符串”只由“1”和“2”组成,并且按上面的办法,把每一节的个数写出来拼成一个新的无限长的“字符串”,两个字符串是一模一样的!如果,这时我们还规定“字符串”的第一个字符是是“1”的话,这个字符串还是唯一确定的。这个唯一确定的“字符串”就叫做柯拉柯斯基序列(Kolakoski sequence)。


一位名叫Chris Kimberling数学教授围绕这个数列提出了5个问题,并为每个问题悬赏200美元。这五个问题是:


1、 这个数列是否有显式表达的公式?
2、 如果一串数字在柯拉柯斯基序列中出现过一次,那么它是不是一定会再出现一次?比如“2122122”。
3、 如果一串数字在柯拉柯斯基序列中出现过一次,那么把这串数字倒着写的一串新数字是不是也一定会出现一次?比如“122122”,“221221”。
4、 如果一串数字在柯拉柯斯基序列出现过一次,那么把1换成2,2换成1得到新的一串数字是不是也一定会出现一次?比如“122122”,”211211”。
5、 数字“1”在这个字符串里的出现频率是否是存在,如果存在是否等于0.5。


Chris Kimberling说,虽然是五个问题但你解决其中任意一个,就有可能顺便解决其它的问题,尤其是后面4个问题。


对于第5个问题,维基百科上给出目前最好的结果是,如果这个频率存在,那么这个频的值不会超过0.50084。不过,在维基百科上看,这只是一个声明结果,没有公开发表。


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被人们忽略“穷”猜想(一):回文数猜想

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导读语: 近十几年来,给数学猜想玩百万级悬赏似乎成了一种时尚。先有2000年3月Faber为哥德巴赫猜想给出100万美元悬赏,要求人类尽快把猜想两字改成定理。然后克雷研究所紧随其后,在5月悬赏700万美元,给出包括黎曼猜想、庞加莱猜想在内的7个问题的悬赏,每个100万,俗称“千禧年问题”。2013年,美国数学会发布消息,比尔猜想悬赏也提高到了100万美元。除了具体的数学问题的悬赏,对数家本身也进行百万级悬赏表彰。2002年,邵逸夫数学奖100万美元。2014年,科学突破数学奖300万美元。虽然数学家们并不以追逐奖金为数学研究的动力,但俗话说,重赏之下必有勇夫,在高额奖金刺激下,一定会有更多人投入到数学研究的行列中的。比如说比尔猜想,在没有100万的刺激之前,关注度定不会像现在这样高的。

然后,还有一些数学猜想,表述简单,但难度极大,几十年没有解决。这些问题,有的没有公开的悬赏,有的即使有悬赏,赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题,在很多人心目中,同样值100万美元。


哆嗒数学网-被人们忽略穷的猜想

这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第一篇:回文数猜想。

在说这个数学问题之前,我们现来说一个历史故事。

清朝乾隆年间,乾隆爷到一家名叫“天然居”的酒楼吃饭。然后机灵一想,想出一个句子:客上天然居,居然天上客。这个句子很有意境,而且这个句字正读倒读都一样,我们把这样的句子叫做“回文”。回文其实是语句中文字上的对称。

英语中,也有类似的回文。据说亚当遇见夏娃的第一句话是:“MADAM, I’M ADAM!”这句话的字母从正着看或者倒着看都是一样的。

自然数中,也有和上面提到的文字一样,数字无论从左往右,还是从右往左都是相同字符顺序的数,我们叫它们“回文数”。比如323、3334333、345676543都是回文数,而35456、45等,都不是回文数。

对于一个自然数,如果他不是回文数,我们把他的数字顺序倒过来,再和原有数相加得到一个新的自然数。如果新的自然数还不是回文数,就再倒过来,再相加,一直做下去。比如自然数38,倒过来就是83,然后38+83=121得到了一个回文数。再比如176,按前面的办法反复做:176+671=847,867+748=1595,1595+5951=7546,7546+6457=14003,14003+30041=44044,还是得到一个回文数,虽然过程的步骤更多。那么是不是所有的自然数按上面的办法反复操作,都能在某一步得到一个回文数呢?如果和哆嗒数学网的小编们一样猜“是”,就是回文数猜想。

也有很多人猜不是。那么如果一个自然数无法通过上面的步聚得到回文数,我们把他叫做利克瑞尔数(Lychrel Number)。回文数猜想也可以是这样表述:不存在利克瑞尔数。

最小的疑似利克瑞尔数是196。但也有人想通过计算机,以196起始,按上面过程,希望在某一步得到一个回文数。可是,人们对196已经做了很多步骤了,仍然没有得到回文数。

1987年一个叫John Walker的人,用当年电脑程序算了近3年,算了2415836步,得到了一个包含100万位的自然数,但没有得到回文数。

1995年 Tim Irvin用超级计算机,得到了一个200万位的自然数,这回只用了三个月,但没有得到回文数。

2000年Jason Doucette得到了1千多万位的自然数,但没有得到回文数。

2006年VanLandingham得到了3亿位的自然数,但没有得到回文数。

2011年 Romain Dolbeau用分布式处理,进行了10亿步,得到一个4亿多位的自然数。但没有得到回文数。

2012年同样是Romain Dolbeau,同样用分布式处理,得到一个6亿位的自然数。但没有得到回文数。

至今196是不是利克瑞尔数还是不被人知晓。



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被100万美元“缉拿”的比尔猜想

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2013年6月,美国数学会在其网站发布,将比尔猜想(The Beal Conjecture)的悬赏额度提升到100万美元(当然钱由赞助者提供啦)。于是,这个猜想继哥德巴赫猜想、千禧年七问题之后,又一个有“百万身价”的数学猜想。俗话说,重赏之下必有勇夫,在100万的高额刺激下,一定会有更多的数学家关注这个问题的。

比尔猜想是这样一个命题:设$A,B,C,x,y,z$都是正整数,且$x,y,z>2$。若$A^x+B^y=C^z$,那么$A,B,C$必有大于$1$的公因数,这里$A^x$表示$A$的$x$次方。

然而,当哆嗒数学网的小编百度这个“比尔猜想”的时候,在搜索结果首页却是大量“吐槽”这个猜想的条目。甚至,有人还说,这个猜想值100万“简直一个笑话”。

首先,如果这个命题对的。那么是这个问题的难度证将会相当相当的逆天。因为这时,只需要令$x=y=z$,这时方程变成了$A^x+B^x=C^x$。于是两边约去最大公因数,就能得到没有公因数的解。这样就得到了矛盾。于是这里方程只能无解。哇呜,我们做了什么?对!我们证明了著名的费马大定理!就是说,如果这个命题如果能得到证明,我们用这个能一句话证明费马大定理。而费马大定理的难度,我这里就不再多说了。

有人试图找过一些满足方程的例子。比如$2^x+2^x=2^{x+1}$,这里有公因数2。$7^3+7^4=14^3$这里有公因数$7$。但去找一个反例,似乎也不太容易。前些时候,日本数学家望月新一声明证明了ABC猜想,而ABC猜想能推出满足比尔猜想的反例最多有限多个。我相信有不少数学家或者程序员把这个方程验证到了很大的数,而没找到反例。如果,ABC猜想也被证实。那么反例可能非常非常的大,如果数学理论不能给一个比较好的寻找方向,那么对于无穷多的自然数来讲,找这样的反例,无异于大海捞针。

这里再多说几句。有的所谓的“反例”是不合法的。比如$1^x+2^3=3^2$,因为我们要求所有指数位置的数都得大于$2$。而所有底数,也只能在正整数范围内。这里有一个好玩的事:有人找到了底数在高斯整数内取值的“反例”$(-2+i)^3+(-2-i)^3=(1+i)^4$,于是得到了象征性的50美元的奖金。


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十大坑爹高数题

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开学啦!进了大学,数学上,第一个要学习的就是高等数学或者数学分析了。这是让有的人感到头痛,有的人带到新奇的学科。利用高中集合和函数做衔接,我们进入了一个新的数学世界。见到之前没见过的函数,之前没见过方法。也颠覆了之前对数学的一些理解。

学习数学,“刷题”是必然不能少。我们不断的做练习,遇到了各种奇怪的题,然后被我们逐个解决。然而,有一些“长”得很像高等数学题目的问题,其实在高数或者数学分析框架下很难解决,而用更高级的办法几乎是秒杀。高数高手们遇到了这些问题,就算是掉坑里了。

这里,哆嗒数学网小编为你列举十个“坑”。问题方式为了方便大家参与讨论,都以“是否”形式提问。以下提到的函数,如无特殊说明,都为$R→R$的实函数。




No.10
函数的单调性高中就学啦,一个单调函数可以是$y=x$这样的连续函数,还可以是$y=x·sgn(x)$这样有间断点的函数。你还能写出很多单调函数,有无穷多个间断点。不过你画图象时,这些函数的间断点大概都是一个一个离散开的。那么间断点可能稠密吗?
问题: 是否存在一个在无理数点连续,有理数点不连续的严格单调函数。
高级秒杀:有理数是可数的。利用级数构造一个特别的函数。见http://duodaa.com/?qa=906,第二题。


No.9 
有的人也许学了黎曼函数$R(x)$,他是一个有所有无理点处连续,所有有理点处不连续的函数。那么可以反过来吗?
问题:是否存在一个在有理数点连续,在无理数点不连续的函数。
高级秒杀:先要知道$G_δ$集,$F_σ$集的概念,连续点集只能是$G_δ$。而有理数集不是$G_δ$集。


No.8 
好了,我们学了导数了,虽然高中也学过,没有像高数那样,平凡的对一个函数某点是否可导进行讨论。“可导必然连续,连续不必可导”,这一句顺口溜一直记于脑海。老师还说,存在处处连续,但处处不可导的函数呢。那么,对于严格单调函数,会怎么样呢。
问题:是否存在一个严格单调,但处处不可导的函数。
高级秒杀:有个定理是说:单调函数是几乎处处可导的。


No.7
一个可导函数$f(x)$求导数后变成了$f'(x)$,$f'(x)$还是一个关于$x$的函数呢。$f'(x)$可能不再连续呢!那么$f'(x)$可能处处不连续吗?
问题:是否存在一个可导函数,它地导函数处处不连续。
高级秒杀:连续函数列只能收敛到一个间断点集为第一纲集的函数。而实数集是第二纲集。


No.6
函数函足$f(x+y)=f(x)+f(y)$,高中就见过啦。高中还让你证明他是奇函数,在多给一些已知条件的情况下,求$f(1)$、$f(8)$什么的。到了大学,在给定$f(x)$连续情况下,我们能证明$f(x)$的图象一定是过原点的直线,那么如果f(x)不连续呢。
问题:如果函数函足$f(x+y)=f(x)+f(y)$,$f(x)$是否有不连续的例子。
高级秒杀:实数看成有理数域上的线性空间是无限维的,还要用到线性代数中基的概念。当然,我们承认选择公理。见http://www.duodaa.com/?qa=704


No.5
高中里的集合交并运算,都是有限个里在做,多没意思。大学里可以对无限个集合求交并啦。比如R可以写成形如$[n,n+1)$的并集,其中n跑遍整数集合。注意到,对于不同的整数,他们还两两不交呢。那么把半开半闭区间改成闭区间呢?
问题:实数集是否能写成一列不相交闭区间的并。
高级秒杀需要知道:基数、完备集的概念,完备集的基数是不可数的。而如果可以写成,那些区间的端点可以构成完备集。


No.4
泰勒展开真神奇,能把一些函数写成一个幂级数的形式。但我们一定也知道了,就算是一个无穷次可导的函数,他本身也不一定等于它的泰勒级数。那么展开式是多项式的情况呢?
问题:一个无穷次可导函数在任意一点的泰勒展开式都是多项式,这个函数是否是多项式。
高级秒杀:利用贝尔纲定理,精巧的构造一些东西,大概不能算秒杀。见http://www.duodaa.com/?qa=920


No.3
对于形如两个数列取幂$f(n)^{g(n)}$这样的,计算极限,我们有了很多办法。比如凑重要极限形式计算,取对数计算等等。但有一些形式非常简单的极限,解决却不容易。
问题:$n→∞$时,数列$|sin(n)|^{1/n}$的极限是否等于$1$。
高级秒杀:刘维尔数的概念,以及π不是刘维尔数。后者是Mahler在1953年的论文上写的,不过,如果不是专门这个方向的一般看不懂,哆嗒数学网小编的也看不懂。见http://www.duodaa.com/?qa=2476/


No.2
高中就知道了自然对数底$e$,老师还说他是无理数,但没告诉我为什么是无理数。上了大学,我们终学会了如何证明$e$是无理数。于是,跃跃欲试,要证明其他数是否是无理数了。
问题:$\sqrt{2}^\sqrt{2}$是否是有理数。
高级秒杀:格尔丰德-施奈德定理可以推出他是超越数,当然就是无理数啦。


No.1 
接上个问题。同样,我们还学会了证明圆周率$π$是无理数。两个无理数相加可不一定是无理数呢。
问题:$e+π$是否是有理数。
高级秒杀:些问题人类还没有解决。你能秒杀我叫你大神!。



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菲尔兹奖得主马丁·海尔:钱不是最重要的

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海尔,2014年菲尔兹奖得主之一。这位英国华威大学教授在颁奖前,并非最热门的人选。然而,他当选了,给他的评语是“对随机微分方程的有凸出贡献,尤其是为一类方程创立的理论。”。这对海尔教授来讲是一个惊喜吧。



当大会记者要求海尔向普通大众简单介绍一下他的成果时,奥地利人哈哈大笑,他说这永远是一个很难的问题。 不过,海尔还是在努力的描述:随机偏微分方程(简称SPDE)是用来描述,在含有随机因素的情况下,一个系统在一定时间和空间内的演化 。有一些很搞笑的情况,有些方程可以用古典规则写下来,但由于一些项我们不知道如何在方程中表示,所以在数学上看是没有意义的。于是,我建立了一个一般性的理论,这个理论描述了为这些项赋予意义的方法。这是一个为SPDE提供严谨数学意义的系统方法,解决一些方程看上去很自然很有用但又没意义的问题。

海尔继续举例子,比如一块在有温度房间的磁铁,看看会发生什么。在通常温度下,这个磁铁会产生一个磁场。如果这是升高温度,到某个点时,磁场就会消失。 这个点就是磁铁变为中性点临界温度。这个时候磁铁不再像磁铁,而是跟一块普通的铁块差不多。如果关心接近临界温度时,磁铁内部的变化情况,磁场这时是有很大的随机波动,而不是之前很好的向一个方向变化。

菲尔兹对任何数学家来讲都是一个莫大荣誉。海尔因为创立了一套理论而获奖。但海尔说这套理论现在还很年轻,理论的主要文章也没出版。在未来几年,海尔想把这个方向做得更深。这里还有几个问题没解决,当然时不时换换方向也是不错的。海尔没有说更远的将来的要做的事,他认为,那和周围人想法有关。

经费、老师和想法哪个对做数学是最重要的。海尔认为是好的想法。他说,对大多数做研究的人来讲,拥有一定数量的经费很重要。但对于很多基础数学家,只要足够能宽裕的邀请同行,维持合作以及参加会议,哪怕经费比其他人少一些,就会非常开心的。海尔还认为,现在颁奖有一个不好的倾向,就是只给获奖人一堆钱,而其他人什么都没有。奖励并没表彰到为这些成果做出贡献的整个圈子。哆嗒数学网的小编觉得,海尔教授对他的学术同行真是太好了。

 

海尔曾在他的论文中写到:“这是第一次,允许我们,给在物理中关心的一些SPDE赋予了严格的数学意义。”这看起来对数学家是一个很重要很让人兴奋的成果,但一些物理学家对这种严格不感兴趣。海尔解释说,基础数学家的工作一般是解决基础问题。通常,数学家完成了一个证明,而在物理学家看起来,是某所程度的理所当然,因为从直观上就应该是那样。有点像修房子,都知道要有坚固的地基,浇灌足量的混凝土,分散好房子的承重。数学家们就是在做这样的底层工作,有很多情况下不会有什么问题,但有时候会有问题。比如说纳维-斯托克斯方程问题,这是克雷研究所悬赏100万美元的千禧年问题。这个问题完完全全是一个数学陈述,但很多物理学家会说:“谁在意呢?”。答案似乎很简单,跟本不需要方程呀!只需要对流体进行观察实验发现他们不会突变或者发生别的什么事就行了。但是,实验的结果并不能让人知道,你所找到的解是否唯一。陶哲轩教授好像是这样认为的,在有些特别的初值条件下,解可能不唯一。如果,真不唯一,那说明在有些时候纳维-斯托克斯方程并不能合理地描述流体。如果我们不能证明那方程不会有这样奇怪的表现,那么意味着这些人一开始就错了

 

 

 

 

 

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科特:搞数学是份好工作

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除了菲尔兹奖,四年一度的国际数学家大会还颁发其它的重要奖项。其中一项奖项就是内万林纳奖,这是一个为表彰在计算机科学和信息科学做出贡献的学者而设立的奖项。和菲尔兹奖一样,它的获奖年龄条件也设定在40岁以下。2014年的奈万林纳奖的得主是印度理论计算机科学家科特(Khot)。

哆嗒数学网的小编通过查找相关资料了解到,科特在中学时期,就获得1994年及1995年两届国际数学奥林匹克(IMO)的两枚银牌。但他后来并没有从事数学的研究工作。科特说这和印度,这个他从小长大的地方有关系。也许,现在的情况有所变化,但在科特小时候,数学学科的关注度是严重不足的。每个人都很尊重数学,但由于各种原因,没人把它当作一个可终身从事的职业来教导。从某种意义来讲,由于关注度不够,没人知道如果选择了数学做职业,未来会有哪些发展。



即便现在,很少有人以数学家称呼科特。但科特认为,从某些层面上讲,计算机科学与数学的差别是很虚的。他甚至认为,理论计算机科学就是纯正的数学。如果你有一个计算机科学方面的问题,你们去思考解决这个问题你需要多长时间,或者说多少步骤。这种效率和时间代价的问题是计算机科学的特殊性。当然,有很多计算机方面的问题,科特认为,回答这些问题的方式就是一种数学,就像数学中的几何或者其他分支一样。过去的10年间,计算机科学与数学之间的联系越来越紧密,越来越多的人也逐渐接受了科特的这种观点。其实,已经有很多例子表明,一些数学家们关心的问题计算机科学家有能力解决。事实上,计算机科学家能为数学家们解决这些问题,这事本身就很重要。

科特也为这次数学家大会为提升数学欠发达地区的数学发展所做的努力发表了看法。他认为,关键还是要提升关注度,让人们知道做数学是一个有前途的工作。科特生长的地方对数学毫不关心。要不是后来遇上了一个数学研究员,知道了其他地方的人和事,那么科特极有可能和他父母一样,去做医药方面工作。


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